Глава I

ДО МОНОГРАФИИ

§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИСХОДА ИГРЫ И ЕЕ ИСТОЧНИКИ

1. Для большинства конфликтов, а потому и для игр типа состязаний, являющихся моделямц или имитациями конфликтов, характерна неопределенность исхода. Именно это обстоятельство побуждает к сознательному вступлению в конфликт тех его участников, которые объективными причинами в действительности с самого начала обречены на поражение. Именно оно привлекает к состязаниям их участников и свидетелей. Наконец, именно благодаря ему всякое принятое игроком в процессе игры решение оказывается решением в условиях неопределенности.

Количественные характеристики неопределенности, рассматриваемые в теории информации (или в теории сложности), несомненно, влияют на принятие решений в условиях этой неопределенности. Однако это влияние еще недостаточно изучается в рамках теории игр, и ему посвящены лишь отдельные, эпизодические работы теоретико-игрового характера.

С чисто качественной точки зрения причины неопределенности результата игры можно разбить на три группы.

2. Начнем с того, что правила игры могут допускать такое разнообразие партий, что априорное предсказание исхода каждой партии практически невозможно, хотя с принципиальной точки зрения, если отвлечься от различия между потенциальной осуществимостью и реальной осуществимостью, никаких препятствий для такого предсказания нет.

Источники неопределенности этого типа можно назвать комбинаторными, а игры, для непредсказуемости исхода которых комбинаторные причины оказываются решающими,- комбинаторными играми. Явно выраженной комбинаторной игрой являются шахматы.

Ясно, что комбинаторная сложность игры носит исторически преходящий характер. Разработка отдельных приемов правильной игры, обобщаемой иногда в виде надлежащего математического аппарата, делает множество вариантов игры все более обозримым, а использование вычислительной техники расширяет само понятие обозримости .

Различные игры находятся в настоящее время в разных фазах этого исторического процесса. Те игры, для которых этот процесс дошел до конца, практически утрачивают черты состязания и превращаются в раз* влечение, не лишенное, впрочем, известной педагогической, а иногда и научной ценности. Так случилось, например, с известными играми типа ним , состоящими в поочередном взятии игроками предметов из нескольких куч в соответствии с предписанными правилами. Эти игры поддаются полной формализации, и нахождение выигрывающих комбинаций (разумеется, в тех случаях, когда такие выигрывающие комбинации существуют) сводится к решению логических задач не слишком большого объема.

В других играх, более сложных, чисто логические принципы хотя и не позволяют дать исчерпывающий анализ игры, но приводят к некоторым прогнозам общего характера. Наконец, в играх, сложность которых

находится на уровне сложности шахмат, логические соображения не выходят за рамки здравого смысла (хотя иногда и весьма изощренного), и центр тяжести искусства игры перемещается в область умения анализировать, оценивать и сравнивать большое число вариантов.

3. Другим источником неопределенности исхода игры является влияние случайных факторов. Случайное может появляться в игре либо как результат действия тех или иных стихийных сил (рассеивание при стрельбе, метеорологические условия, случайные обстоятельства, определяющие загрузку каналов систем массового обслуживания, и т. п.), либо в результате сознательных поступков участвующих в процессе игры людей, которые осуществляют специальным образом организованные рандомизированные действия (бросание монеты или кости, использование таблиц случайных чисел и т. д.).

Игры, в которых исход оказывается неопределенным исключительно в силу случайных причин, называются азартными. Типичными примерами азартных игр являются разного рода игры в кости, а также игра в орлянку в той ее форме, когда один игрок подбрасывает монету, а его противник стремится угадать, какой стороной монета вскроется. Чисто азартной игрой является также известная, рулетка. Говорить о правильности или об оптимальности поведения игрока в азартной игре не приходится: исход игры не зависит от его действий. Единственные решения, которые он может принимать, касаются лишь целесообразности его участия или неучастия в той или иной игре в зависимости от ее правил. Впрочем, принятие такого решения лежит уже в значительной степени в психологической плоскости (см. по этому поводу далее I. 3. 4 *)).

Разумеется, можно указать игры, сочетающие в себе черты комбинаторных и азартных игр. К числу таких игр относится, например, триктрак вместе со своими довольно многочисленными современными разновидностями, а также разного рода карточные пасьянсы, где неопределенность обусловливается, с одной стороны, случайным расположением карт в колоде, а с другой - комбинаторной сложностью конфигураций, составленных из открытых карт на столе.

4. Третий источник неопределенности исхода игры имеет стратегическое происхождение: игрок может не знать, какого образа действий придерживается его противник. В отличие от двух предыдущих источников неопределенности, этот является игровым по существу. Он дает неопределенность, исходящую от другого участника игры, который может быть как реальным (человек, коллектив), так и условным (природа, обстоятельства). Игры, в которых неопределенность исхода возникает по указанной стратегической причине, называются стратегическими играми.

Как это ни кажется странным, стратегические игры в их чистом виде распространены сравнительно редко. Простейшим примером стратегической игры является игра в орлянку в той ее форме, когда два участника игры независимо друг от друга кладут на стол по монете. Если окажется, что монеты выложены одинаковыми сторонами вверх, то выигрывает первый игрок; в противном случае выигрывает второй.

При всей примитивности этой игры она в одном отношении является более трудной , чем, скажем, шахматы. В шахматах действие разыгры-

*) Здесь и далее так будут обозначаться ссылки в пределах данной статьи. В ссылках на текст монографии Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна при номере главы всегда будет присутствовать слово глава , при номере параграфа - символ §, а при указании шункта - буква п. .

вается на открытой доске, и можно себе представить, хотя бы мысленно такого идеального игрока , который видит все возможности, заложенные в каждой из позиций. Каждый ход, который обдумывается одним из партнеров, в равной мере обдумывается и его противником. В отличие от этого* в описанной игре в орлянку игрок принципиально не может узнать, что сделал его противник. Именно это обстоятельство и делает такую игру стратегической.

С правильностью, оптимальностью поведения игрока здесь дело обстоит существенно сложнее, чем в предыдущих случаях. Ясно, что само по себе выкладывание монеты лицевой или оборотной стороной не может считаться ни хорошим, ни плохим поведением, ибо, как замечает Н. Винер ...эффективность оружия зависит от того, какое имеется другое оружие, способное противостоять ему... [1].

В действительности в стратегических играх оптимальным оказывается рандомизированное поведение. Применительно к игре в орялнку , это означает, что целесообразно не выкладывание монеты на стол той или иной стороной, а подбрасывание ее для того, чтобы она с равными шансами могла выпасть каждой из своих сторон.

Стратегичность игры может сочетаться с ее комбинаторностью ( морской бой -г разновидность шахмат, где каждый игрок на своей доске играет, видя лишь свои фигуры, а посредник снимает их в результате взятия, объявляет шахи и фиксирует мат или ничью), с азартностью (покер), а также с комбинаторностью и азартностью одновременно (преферанс, в котором азартность проистекает от случайного расклада карт стратегичность - от назначения игры и определения сноса , а комбина-торность - от трудности ориентироваться в раскладах карт, даже в тех случаях, когда они раскрыты).

§ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ИГРЫ

1. По-видимому, первое появление комбинаторной игры в облике математической задачи относится к началу XVII века. В известном Сборнике математических развлечений Баше де Мезирака, вышедшем в свег в 1612 г. [1], помещена задача следующего содержания: двое называют поочередно числа от единицы до десяти и выигрывает тот, кто первый доведет до ста сумму чисел, названных обоими игроками.

Решение этой задачи не составляет труда: если игроку удастся довести сумму всех названных чисел до числа вида 100 - 11а, то он может обеспечить себе выигрыш. Для этого ему следует после каждого хода противника называть число, дополняющее только что названное противником число до 11. В частности, начинающий партию игрок может своим первым, ходом назвать число 1 и, тем самым форсировать выигрыш.

Очевидно, эту игру можно интерпретировать как процесс поочередного взятия игроками от одного до 10 предметов из кучи, насчитывающей первоначально 100 предметов.

Более сложной является игра фан-тан , по-видимому, китайского* происхождения. В этой игре игроки имеют дело с тремя кучами предметов; они выбирают на каждом ходе любое число предметов из произвольной кучи. Выигрывает игрок, забирающий последние предметы. Полная теория этой игры была опубликована в 1902 г. Баутоном [1].

В еще более общей форме эта игра называется игрой ним и выглядит следующим образом. Имеются п куч предметов. Каждый из двух поочередно ходящих игроков выбирает р куч и из каждой выбранной кучи берет