К числу азартных игр следует отнести прежде всего игру в кости. Различные варианты этой игры в течение долгого времени являлись основным источником теоретико-вероятностной проблематики и единственной областью ее приложений. Заметим тут же, что бросание костей практиковалось не только в состязательных целях, но также и при гаданиях, причем каждая комбинация выпавших очков имела свое значение.

Обратим внимание на следующие два обстоятельства. В подавляющем большинстве азартных игр (и в том числе в игре в кости) случайное возникает не как спонтанное действие тех или иных стихийных сил, а в результате сознательных поступков участвующих в процессе игры людей. Кроме того, использование костей для гаданий означает, что рандомизирующие устройства применялись в вопросах принятия решений.

2. Первые вероятностные рассуждения и даже в какой- то мере подсчеты, касающиеся различных исходов бросаний костей, встречаются, по-видимому, в трактате Кардано Об азартной игре (см., например, у Цей-тена [1], стр. 168), а исчерпывающий анализ вероятностей различных исходов при бросании трех костей содержится в работе Галилея О выходе очков при игре в кости (см. статью Майстрова [2]).

Затем, почти полвека спустя, происходит известный обмен письмами между Паскалем и Ферма [1], где (в письме от Паскаля к Ферма от 29 июля 1654 г.) излагается решение задачи де Мере и тем самым, как принято считать по традиции, рождается математическая теория вероятностей. В это же время в (1657 г.) Гюйгенс завершает свой трактат [1] 0 расчетах в азартной игре , в котором, между прочим, пишет: ... при внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы теории глубокой и весьма интересной . Однако лишь через 14 лет Жан де Витт применяет вероятностные расчеты к вычислению значений пожизненной ренты, и только с этого момента теория вероятностей как раздел математики покидает свою игровую питательную среду и начинает самостоятельное существование. По поводу роли азартных игр в возникновении теории вероятностей см. статью Майстрова [1].

3. Если целью игрока в комбинаторной игре является выигрыш и оптимальными действиями, стратегиями игрока считаются те, которые ему этот выигрыш обеспечивают, то в условиях азартной игры никакое искусство игрока (не выходящее за рамки правил игры) не может гарантировать ему желаемый исход, зависящий, помимо всего прочего, еще и от случая. Поэтому получение игроком какой-либо фиксированной суммы не может, вообще говоря, рассматриваться им как та цель, для достижения которой он выбирает ту или иную свою стратегию. Здесь цель оказывается более сложной.

Самым естественным представляется стремление игрока максимизировать тот выигрыш, который он ожидает получить. Количественная оценка надежд игроков в различных играх (фактически - в условиях неоконченного матча, состоящего из нескольких партий) была уже в XVI веке предметом полемики между Кардано и Лукой Пачиоли (см. у Цейтена [1] на стр. 169), а столетие спустя в упоминавшемся выше письме Паскаля она была положена в основу справедливого разделения неразыгранной ставки. Гюйгенс назависимо от Паскаля и Ферма пришел к аналогичному результату, выраженному в более общем виде и позволяющему говорить о математическом ожидании.

Таким образом, максимизация математического ожидания выигрыша оказалась ведущим принципом участника азартной игры. Впоследствии Лаплас [1] включил его в число своих основных принципов исчисления

вероятностей (VIII принцип), сформулировав его следующим образом: Если выгода зависит от многих событий, то, беря сумму произведений вероятности каждого события на благо, связанное с его наступлением, мы получим эту выгоду . Лаплас поясняет, что эта выгода и есть математическое ожидание.

На этой же почве возникло представление о безобидной игре как о такой игре, перед началом которой математическое ожидание выигрыша каждого игрока равно нулю:

Если подходить к азартным играм с позиций максимизации математического ожидания выигрыша, то исчерпывающий их анализ принципиально может быть осуществлен средствами, теории вероятностей. Трудности, которые при этом встречаются, носят чисто технический характер. Поэтому мы не будем здесь останавливаться на дальнейших математических исследованиях азартных игр, проведенных на основе этого принципа.

4. Некритическое применение принципа максимизации математического ожидания может привести к парадоксам. Первый пример такого парадокса был указан Николаем Бернулли и получил название петербургского парадокса . Он состоит в следующем.

Пусть два игрока подбрасывают монету до первого выпадения герба . Если герб впервые выпадет на тг-м бросании, то первый игрок получает от второго 2П единиц. Здесь математическое ожидание выигрыша первого игрока бесконечно. Поэтому, какой бы он первоначальный (конечный) взнос ни сделал, игра будет не безобидной, а выгодной для него. Этот вывод, однако, противоречит здравому смыслу , потому что практически капитал второго игрока ограничен, и при затянувшейся партии первый игрок не сможет получить всего причитающегося ему выигрыша. Кроме того, ограниченными являются и способности освоения выигрыша первым игроком. Поэтому при достаточно большом п выигрыш 2П с вероятностью 1/2п предпочтительнее выигрыша 2n+1 с вероятностью l/2n+1: оба выигрыша практически .одинаково громадны , но первый из них имеет большую вероятность, чем второй.

Приведенные два возражения разнородны по существу. Первое более формально и может быть столь же формально снято, если отождествить потенциальную осуществимость с практической осуществимостью.

Второе возражение, несмотря на кажущуюся нарочитость, более содержательно: оно отражает то обстоятельство, что приращение полезности, происходящее от приращения выигрыша, зависит не только от самого приращения выигрыша, но и от абсолютной величины выигрыша. Даниил Бернулли (племянник Николая Бернулли) принял, что полезность приращения выигрыша dx прямо пропорциональна dx и обратно цропорцио-нальна х. Как легко видеть, это равносильно тому, что полезность самого выигрыша пропорциональна его логарифму. Отсюда следует, что выигрыш некоторой суммы с последующим ее проигрышем, равно как и проигрыш с последующим отыгрышем, выгоден для игрока, ибо в каждом из этих случаев он теряет меньшую долю своего капитала, чем приобретает. Это утверждение также в какой-то мере парадоксально. Во всяком случае, можно привести очевидные соображения как за него, так и против.

Измеряемая по такой логарифмической шкале полезность приводит к замене математического ожидания моральным ожиданием , которое, впрочем, правильнее было бы назвать психологическим ожиданием . Такое измерение полезности Лаплас также причисляет к своим принципам исчисления вероятностей (X принцип), квалифицируя его, однако, лишь как принцип, могущий быть полезным во многих случаях .

5. В наиболее общем и полном виде теория азартных игр строится Дубинсом и Сэвиджем в их монографии [1], Основную задачу теории они формулируют как нахождение оптимального поведения игрока, располагающего к моменту начала игры некоторой заданной суммой и обладающего заданной функцией полезности.

Весьма существенно, что классические вероятностные (т. е. счетно-аддитивные) распределения оказываются недостаточными для исчерпывающего описания возникающих в азартных играх явлений. Поэтому Дубине и Сэвидж приходят к необходимости разработки более общей теории - конечно-аддитивных дискретных вероятностных процессов.

Далее станет видно (см. III.2.5), что конечно-аддитивные распределения оказываются важными и для стратегических игр.

§ 4. СТРАТЕГИЧЕСКИЕ ИГРЫ. РАБОТЫ Э. БОРЕЛЯ

1. В отличие от комбинаторного и азартного аспектов игр, корни математической разработки которых уходят вглубь столетий, стратегические вопросы игр имеют значительно более короткую историю.

Первая математическая трактовка стратегического аспекта игры встречается в курсе теории вероятностей Бертрана [1], где рассматривается вопрос о целесообразности прикупать к пяти , играя в бакара. Рассуждения Бертрана носят в значительной мере психологический характер: он оценивает целесообразность для понтера прикупать или не прикупать в зависимости от того, знает или не знает банкомет его обычное поведение.

Сказанное Бертраном следует рассматривать даже не как математическую постановку вопроса, а лишь как указание на ее возможность.

2. В 1921 г. вышла в свет небольшая, но весьма содержательная заметка Э. Бореля Теория игры и интегральные уравнения с кососим- метричными ядрами [1]. В этой работе были впервые сформулированы основные понятия, связанные со стратегическими играми (точнее, с теми играми, которые впоследствии получили название симметричных антагонистических игр).

Стратегия определялась как система правил, точно определяющих действия игрока в любых возможных обстоятельствах. При этом игра рассматривалась как азартная, и выбор двумя ее участниками А и В соответственно стратегий Ct и Cj приводил к победе игрока А с вероят-

ностью y+afj (из симметричности игры вытекает, что atj = - a>

а ан = 0).

Борель высказал также идею использования доминирования стратегий: если c/Lih 0 при всех значениях h, то стратегию Ct можно считать плохой и исключить из рассмотрения.

Наоборот, если при всех значениях h имеет место aih 0, то стратегию Си можно считать лучшей .

В случае, когда плохие стратегии исключены, а лучшие отсутствуют, следует попытаться выработать систему игры, основанную на чередовании стратегий, причем это чередование должно опираться не на психологические соображения, а на правила игры. Единственную возможность Борель видит здесь в выборе игроком А каждой своей стратегии Ck с некоторой вероятностью рк. Аналогично игрок В будет выбирать свои стратегии Ck с вероятностями qh. Тем самым Борель впервые установил целесообразность использования смешанных стратегий.