В результате указанного выбора смешанных стратегий вероятность победы игрока А окажется равной

г j

Нетрудно видеть, что если число стратегий каждого игрока равно трем, то

Pi Pz Рз а = ?t ?2 Яз 023 а31 а12

Ясно, далее, что при отсутствии плохих и лучших стратегий числа 23? 31 и ai2 будут одного знака, и можно найти такую систему вероятностей рг, рз, что а будет равно нулю независимо от того, какой будет система вероятностей qu qz, q3.

Тем самым, говоря современным языком, Борелем была доказана теорема о существовании оптимальных стратегий (называемая также теоремой о минимаксе) для симметричных матричных игр размера 3x3.

Ясно, что это доказательство опирается на весьма конкретные соображения, связанные с тем, что число чистых, нерандомизированных стратегий у каждого игрока равно трем. Борель сомневался в возможности распространить это результат на случай произвольного числа стратегий, склоняясь даже к отрицательному решению вопроса в общем случае. Он полагал, что, вообще говоря, каковы бы ни были числа pk, можно выбрать числа qk так, чтобы а имело заранее предписанный знак. Однако, высказав такое предположение (оказавшееся впоследствии неверным), Борель приводит рассуждение, показывающее глубокое понимание им стратегических ситуаций, приводящих к смешанным стратегиям. Он пишет: Поскольку это так, какую бы случайную чередуемость (variete) ни ввел в свою игру А, раз эта чередуемость определена, для игрока В будет достаточно знать ее для чередования своей игры таким образом, чтобы одержать верх над А. Обратное также справедливо, из чего мы должны заключить, .что теория вероятностей может служить лишь для облегчения исключения плохих способов ведения игры и вычисления значений а; в остальном искусство игры зависит от психологии, но не от математики . Только теперь мы можем по достоинству оценить это рассуждение. Мы еще вернемся к этому вопросу.

Далее Борель распространяет постановку вопроса на случай непрерывного множества стратегий игроков. При этом дискретные вероятности переходят в вероятностные распределения, а суммы - в интегралы Стил-тьеса. В качестве примера он приводит любопытную задачу, являющуюся в каком-то смысле прообразом современных задач о распределении безгранично делимых ресурсов: каждый из игроков А и В выбирает по 3 числа, составляющих в сумме единицу,

x + y + z=l, *i + yi + Zi = l,

и упорядочивает их произвольным образом. А побеждает, если

(xi - x)(yi - y)(zi - z)>0

(по поводу другой интерпретации этой игры см. П.5. 3).

В заключение статьи Борель отмечает, что вероятностные и аналитические проблемы, которые могут возникнуть в военном искусстве или

в экономике и финансовых делах, не лишены сходства с рассмотренными игровыми проблемами.

Таким образом, в этой первой работе, посвященной стратегическим играм, Борель скорее ставит, чем решает вопрос, но делает это вполне обоснованно даже с современной точки зрения.

3. В 1924 г. Борель в статье [2] вернулся к рассмотрению стратегических игр. В ней он приводит исчерпывающий анализ симметричных матричных игр с тремя и пятью стратегиями у каждого игрока. Попутно в одном из подстрочных примечаний Борель указывает на возможность симметризации произвольной игры, которая основана на участии игроков в двух партиях такой игры, причем в этих партиях игроки выступают в различных ролях (точное описание этой симметризации было осуществлено Брауном и фон Нейманом в 1950 г. [1]).

Отметим еще одно, на первый взгляд несколько странное явление, подобное которому мы уже наблюдали в XVII веке, когда Паскаль и Ферма фактически пользовались формулой полной вероятности, т. е. математическим ожиданием условной вероятности, но не математическим ожиданием выигрыша как таковым. Последнее осуществил Гюйгенс. Сходным образом и Борель в своей заметке 1921 г. имеет дело не с численными выигрышами, а с вероятностями победы, которые он усредняет. Математическое ожидание выигрыша встречается у него только в статье 1924 г.

Отчасти это можно объяснить тем, что формула полной вероятности выполняет переход от вероятности к вероятности же. Но математическое ожидание выигрыша, хотя и измеряется в тех же единицах, что и выигрыш, само по себе выигрышем не является. Для того чтобы его понимать как выигрыш, необходимы дополнительные соглашения, не всегда очевидные и даже не всегда естественные. Полная ясность в этот вопрос была внесена лишь после создания аксиоматической теории полезности, о которой пойдет речь в гл. II.

В остальном статья Бореля 1924 г., равно как и его последующие публикации на эту тему, не содержит ничего нового по сравнению с его заметкой 1921 г.

4. В 1953 г. в журнале Econometrica были в английском переводе воспроизведены работы Бореля [1, 2, 3, 4] с коротким предисловием М. Фреше [1], озаглавленным Эмиль Борель - инициатор теории психологических игр и ее приложений . Как истый математик, Фреше приводит используемое им определение термина инициатор , принадлежащее Легу-ве: Я называю инициаторами тех привилегированных существ, тех магнетических созданий, которые заставляют трепетать в нас до этого немые струны, которые будят души . Но как раз в этом смысле Бореля нельзя считать инициатором теории психологических (стратегических) игр. Ничьих душ его статьи по теории игр 20-х гг. не разбудили, никаких печатных откликов они не нашли. Имя инициатора теории игр можно было бы по праву присвоить Борелю даже в том случае, если бы он разбудил душу одного только фон Неймана. Но, как явствует из подстрочного примечания фон Неймана к работе [1] (см. стр.186 русского перевода), он познакомился с заметкой Бореля [1] лишь при окончательном оформлении своей статьи.

Имя Бореля не нуждается в каких-либо титулах. Но чтобы выразить одним словом его место в истории теории стратегических игр, уместнее всего употребить термин первооткрыватель , который пришел, увидел и ... все. Но увидел Борель немало.

§ 5. К ТЕОРИИ СТРАТЕГИЧЕСКИХ ИГР

1. В 1926 г. Дж. фон Нейман занимается игровыми вопросами *). Он обсуждает их с Д. Кёнигом, а 7 декабря, накануне дня, когда ему исполнилось двадцать три года, выступает перед гёттингенским математическим обществом с докладом о теории игр. Через полтора года в томе 100 журнала Mathematische Annalerm появляется статья фон Неймана К теории стратегических игр .

Эта статья содержит важнейшие идеи современной теории игр и ее основополагающие результаты.

Сам фон Нейман формулирует цель этой статьи как попытку дать ответ на следующий вопрос: Пусть п игроков Si, S2, . Sn играют данную стратегическую игру @; как должен действовать отдельный игрок Sm, чтобы добиться по возможности наиболее благоприятного результата? . Он, правда, не перечисляет возможных практических интерпретаций этого вопроса, но замечает, что едва ли найдется в повседневной жизни ситуация, в которой он бы не возникал . Однако сама постановка, по мнению фон Неймана, недостаточно ясна.

В сущности, основным достижением данной статьи и является четкая математическая формулировка этого вопроса, которая позволила не только дать на него ответ, но и указать своеобразное исчисление вопросов такого рода.

Статья начинается определением стратегической игры п игроков Si, . . . , Sn путем задания системы событий ( ходов ), которые делаются игроками или же случаем. Тем самым игра @ задается как позиционная с нулевой суммой (т. е. при любом исходе игры сумма выигрышей всех игроков равна нулю). Такие игры называются также антагонистическими.

Далее фон Нейман устанавливает, что фактически стратегиями игроков являются системы из возможных действий в различных информационных состояниях. Это дает возможность при решении основных теоретических вопросов ограничиться нормальной формой игры, в которой стратегии игрока рассматриваются независимо от их происхождения, т. е. как элементы абстрактного множества стратегий.

Случаи, когда число п участников игры равно 0 или 1, не представляют интереса. Случай же п = 2 не только является простейшим из нетривиальных, но, как окажется в дальнейшем, принципиально важным для всей теории. Поэтому фон Нейман переходит к подробному изучению игры двух лиц с нулевой суммой, правила которой он формулирует так:

Игроки Si, S2 выбирают каждый, не зная выбора другого, соответственно по одному из чисел 1, 2, . . ., 24 и 1, 2, . . ., 22. Если они выбрали числа х и у, то получают соответственно суммы g (х, у) и - g (х, у). При этом функция g (х, у) может быть совершенно произвольной (определенной для х = 1, 2, . . ., у = 1, 2, . . ., 22) .

После этого идут рассуждения, которые в наше время выглядят трафаретными и даже примитивными, но именно они составляют ядро теории игр, выделяющее ее из остальных разделов математики. Речь идет о том, что игрок Si при любом своем выборе х получает выигрыш не меньший, чем min g (х, у), и поэтому должен выбрать х так, чтобы макси-у

мизировать этот минимум, т. е. обеспечить себе получение max ming (х, у).

х у