В теории игр дело обстоит существенно иначе. Утверждения о существовании нужных объектов (в том числе, забегая несколько вперед, и принципы разумного поведения), которые принимаются аксиоматиче-чески , не всегда выглядят достаточно правдоподобно (и тем более не всегда абсолютно правдоподобно) и потому не всеми разделяются. Поэтому возникает вопрос о формулировке более первичных , более правдоподобных аксиом и о доказательстве на их основе тех или иных игровых принципов, которые первоначально принимались за исходные. При этом нередка ради доказательства единственной теоремы, из которой, по существу, и состоит вся теория, разрабатывается обширная аксиоматика.

Именно такая аксиоматика приводится авторами в п. 3.6, а существование требуемой функции полезности выводится из нее в Приложении (стр. 616-630).

3. Теория игр строится фон Нейманом и Моргенштерном как теория математических моделей конфликтов. При этом уже в простейших случаях выясняется роль информации, которой располагает игрок о поведении партнеров. Так, в случае антагонистической игры с функцией выигрыша Н (х, у) максимизирующий игрок, знающий выбор стратегии противника (например, в силу того, что делает свой выбор после него), получает уверенно min max Н (х, у), а в противоположном случае, т. е. не зная

У х

о противнике ничего, может рассчитывать лишь на max min Н (х, у),

х у

Вместе с тем с математической точки зрения совершенно безразлично, будет ли этот противник реальным субъектом, действующим сознательно и притом во вред нашему игроку, или же фиктивным, олицетворяющим лишь недостаточную осведомленность игрока о той обстановке, в которой ему приходится принимать свои решения. В качестве такого противника можно, например, рассматривать природу, закономерности которой к моменту принятия решения могут быть познаны недостаточно, или, скажем, вполне благожелательно настроенное к игроку лицо, руководствующееся, однако, в своих действиях неизвестными игроку критериями.

Таким образом, теорию игр можно рассматривать также как математический аппарат, описывающий принятие решений в условиях неопределенности, которую естественно назвать стратегической неопределенностью. Систематически такой подход к теории игр (именно к антагонистическим играм) был изложен А. Вальдом в его книге Статистические-решающие функции [2]. В сущности, и большинство военно-тактических приложений теории игр (см., например, книгу М. Дрешера [1], а также сборник [7]) основано не столько на враждебности намерений противника (к этому вопросу нам еще придется вернуться в П.3.3), сколько на непредсказуемости предпринимаемых им действий. На эти же соображения опираются и технические приложения теории игр, примеры которых приведе-дены Н. Н. Воробьевым в [7].

Стратегическая неопределенность, с которой имеет дело теория игр, коренным образом отличается от неопределенности статистической. Статистическая неопределенность имеет место в тех случаях, когда принимающий решения субъект не знает истинного положения дел, но знает априорные вероятности каждого из возможных вариантов условий. В случае стратегической неопределенности у субъекта нет каких-либо оснований приписывать возможным вариантам те или иные априорные вероятности.

В соответствии с этим в условиях стратегической неопределенности следует ввести и использовать иное понятие информации, чем в случае неопределенности статистической. Для статистической неопределенности таковым является селективная информация , теория которой была разработана К. Шенноном [1] и его последователями и в настоящее время достаточно хорошо известна. Для теоретико-игровой, стратегической неопределенности более важно понятие стратегической информации , введенное М. Сакагучи [1].

4. Фон Нейман и Моргенштерн неоднократно иллюстрируют свои рассуждения о путях развития теории игр и ее приложений фактами из истории термодинамики. Так, в п. 3.2 говорится о возможности дать для температуры жесткую числовую шкалу на основе изучения поведения идеального газа и выяснения роли абсолютной температуры в связи с теоремой об энтропии.

По этому поводу следует заметить, что числовая шкала для температуры была разработана задолго до выяснения природы идеального газа и других упомянутых физических концепций. Ее создание было основано на непосредственно наблюдаемом явлении температурного расширения тел. В то время это явление никак логически не связывалось с тепловыми явлениями, оставаясь (во всяком случае, до разработки молекулярно-кинетической теории) внешним по отношению к ним. Тем не менее в дальнейшем (именно из рассмотрения идеального газа и пр.) оказалось, что тепловое расширение, по существу, чисто энергетически связано с изменением температуры, так что построенная шкала была и единственно возможной (с точностью до линейных преобразований).

Возращаясь к теории полезности, мы видим, что в основу ее измерения также положено нечто внешнее по отношению к полезности, именно вероятностная комбинация полезностей. Аналогия с термодинамикой дает надежду, что в действительности этот вероятностный подход связан с установлением субъективных предпочтений внутренним образом и дальнейшее исследование субъективных предпочтений эти связи вскроет. Разумеется, измерение полезности является качественно более сложным процессом, чем измерение температуры, так что все сказанное есть лишь предположение о некотором сходстве в тенденциях развития двух совершенно различных теорий.

5, Вводимое в § 4 понятие решения как множества дележей, обобщающего понятие максимума, по существу воспроизводит по новому поводу конструкцию, приводящую к множеству нулей функции Гранди (см. 1.2.5). Решения суть множества дележей, обладающие теми же самыми свойствами внутренней и внешней устойчивости применительно к отношению доминирования дележей, что и множества нулей возможных функций Гранди применительно к отношению, устанавливаемому графом. Множественность решений в играх оказывается поэтому столь же естественным явлением, как и наличие у одного и того же графа функций Гранди с различными множествами нулей.

Поскольку множества дележей непрерывны, а функции Гранди, по существу, приспособлены лишь для дискретных графов, непосредственное использование функций Гранди для нахождения решений игр или хотя бы для доказательства существования решений в тех или иных классах игр едва ли возможно. Не исключено, однако, что некоторые свойства функций Гранди удастся распространить на континуальный случай и применить к теории игр. В этом отношении несколько обнадеживают результаты М. Ричардсона [1].

§ 2. ОБЩЕЕ ФОРМАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ СТРАТЕГИЧЕСКИХ ИГР

1. Фон Нейман и Моргенштерн в своей монографии воспроизводят и детализируют первоначальное определение стратегической,игры, введенной фон Нейманом в статье [1]. Это определение оказывается весьма емким: большинство появившихся впоследствии работ по теории игр* касаются игр именно в этом понимании слова, быть может, несколько* уточненном или обобщенном, но мало измененном по существу.

Именно эти игры получили впоследствии наименование бескоалиционных и оказались одним из наиболее широких по объему классов игр. Об исследованиях, касающихся бескоалиционных игр см. III.4.

2. Однако с более широкой точки зрения некоторые пункты в приводимом определении представляются излишне ограничительными.

Прежде всего, фон Нейман и О. Моргенштерн целью каждого участника игры считают получение им индивидуального выигрыша. Даже в тех случаях (рассматриваемых кооперативным вариантом теории), когда игроки объединяются в коалиции для совместных действий, они делают это для того, чтобы, получив на всю коалицию некоторый суммарный выигрыш, разделить этот выигрыш между собой.

Вместе с тем в экономической и социальной действительности нередко наблюдается, что получаемый коалицией выигрыш принадлежит этой коалиции как таковой и не подлежит дальнейшему разделению между игроками, участвующими в коалиции. В частности, может оказаться что один и тот же игрок одновременно участвует в двух или более различных коалициях, интересы которых не совпадают. Ясно, что теория игр претендующая на достаточно полный анализ противоречий в интересах, различных сторон, должна отражать и этот аспект проблемы. К этому вопросу мы еще вернемся в III.4.7.

Далее, в связи с трактовкой теории игр как математической теории принятия решений в условиях неопределенности возникает критическое отношение к одному из основных положений теории игр, состоящему в том, что игроки полностью знают условия (правила) той игры, в которой они. участвуют.

С содержательной точки зрения знание игроком игры означает выполнение двух условий: 1) каждый игрок знает ту цель, к которой он стремится, и 2) каждый игрок отдает себе полный отчет о последствиях к которым приводит выбор им той или иной стратегии.

Формально, однако, принципиальной разницы между этими условиями нет, и математическая трактовка игр, в которых не выполняется первое или второе из этих условий (или они оба), может быть осуществлена, по некоторой единой схеме. Такие игры естественно назвать неопределенными. Начала теории неопределенных игр содержатся в работе? Н. Н. Воробьева [5].

Наконец, фон Нейман и Моргенштерн предполагают конечность множества игроков в каждой игре. Хотя в будущем игры с бесконечными множествами игроков, несомненно, будут изучаться по меньшей мере* так же интенсивно, как и игры с конечными множествами игроков, однако* до сих пор играм с бесконечными множествами игроков посвящены лишь, работы Шепли [5], Дэвиса [1], а также Калиша и Неринга [1].

3. Как и в статье фон Неймана [1], общее определение игры дается в позиционной форме. Это не только соответствует реальному протеканию* большинства игр (как игр в буквальном смысле слова, так и моделируе-