8.2, Множества, их свойства и их графическое представление

8.2.1. Множеством называется произвольная совокупность объектов (на природу и количество которых не накладывается абсолютно никаких ограничений), называемых элементами рассматриваемого множества. Элементы образуют и определяют множество как таковое; никакого упорядочения или отношений иного рода между ними не предполагается. Иначе говоря, если два множества А и В таковы, что любой элемент А является также элементом В и наоборот, то эти множества тождественны во всех отношениях, т. е. А = В. Тот факт, что а является элементом множества А у мы выражаем также, говоря, что а принадлежит А г).

Нас будут интересовать главным образом (хотя и не всегда) только конечные множества, т. е. множества, состоящие из конечного числа элементов.

Пусть даны произвольные объекты а, 3, у, . . .; множество, элементами которого они являются, будет обозначаться через (а, (3, 7, . . .). Будет также удобно ввести множество, которое вовсе не содержит элементов,- пустое множество 2). Мы будем обозначать пустое множество через 0. В частности, мы можем образовывать множества, состоящие в точности из одного элемента,- одноэлементные множества. Одноэлементное множество (а) и его единственный элемент а представляют собой вовсе не одно и то же и поэтому никогда не должны смешиваться 3).

Подчеркнем еще раз, что элементами множества могут быть любые объекты. Разумеется, мы ограничимся математическими объектами. Эти элементы вполне могут быть, например, множествами, что приведет к рассмотрению множеств множеств и т. д. Последние нередко называются, например, системами или классами множеств, хотя это и не обязательно.

8.2.2. Перечислим основные понятия и операции, связанные с множествами.

(8:А:а) А является подмножеством В (В является надмножеством А), если любой элемент А является также элементом В. Символически это записывается в виде А В или В з А. А является собственным подмножеством В, а В - собственным надмножеством Ау если сказанное выше верно, но В содержит элементы, не являющиеся элементами А. В символах: А а В или В zd А. Мы видим, что если А является подмножеством В ж В является подмножеством А, то А =В. (Это представляет собой переформулировку принципа, высказанного в начален. 8.2.1.) Отметим еще, что А является

х) Математическая литература по теории множеств весьма обширна. Мы не будем пользоваться ею в пределах, выходящих за рамки изложенного в тексте. Заинтересованный читатель найдет больше сведений по теории множеств в хорошем вводном курсе: A. Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre, Berlin, 1928, а также в сжатой и технически превосходной книге F. Hausdorff, Mengenlehre, 2nd Edit, Leipzig, 1927 (рус. пер. Ф. Хаусдорф, Теория множеств, ОНТИ, 1937).

2) Если два множества А и В оба не содержат элементов, то мы можем сказать, что они содержат одни и те же элементы. Следовательно, в силу сказанного выше А = = В. Иначе говоря, существует только одно пустое множество. Это рассуждение может показаться странным, но тем не менее оно безупречно.

3) В нерсоторых разделах математики (а) и а можно отождествить. Это время от времени и делается, однако такую практику следует считать нездоровой. В общем случае это, конечно, недопустимо. Пусть, например, а представляет собой нечто, решительно не являющееся одноэлементным множеством, например, а есть двухэлементное множество (Р, у) или пустое множество 0. Тогда (а) и а следует различать, так как (а) является одноэлементным множеством, а а им не является.

собственным подмножеством В в том и только в том случае, когда А является подмножеством В и не имеет места равенство А = В.

(8:А:Ь) Суммой или объединением двух множеств А и В называется множество всех элементов А вместе со всеми элементами В. Объединение А и В будет обозначаться через A (J В. Аналогично образуются объединения более чем двух множеств 1).

(8:А:с) Произведением или пересечением двух множеств А и В называется множество всех общих элементов А и В. Пересечение А и В будет обозначаться через A f В. Аналогично образуются пересечения более чем двух множеств 1).

(8:A:d) Разностью двух множеств А и В называется множество всех тех элементов А, которые не принадлежат В. Разность А и В будет обозначаться через А - В *).

(8:А:е) Если В является подмножеством А, то мы будем называть разность А - В дополнением В в А. Иногда будет настолько очевидным, какое множество А имеется в виду, что мы будем писать просто -В и говорить просто о дополнении множества В без всяких дальнейших уточнений.

(8:A:f) Два множества А и В называются непересекающимися (дизъюнктными), если они не имеют общих элементов, т. е. если А (\В = 0.

(8: A:g) Система (множество) А множеств называется системой попарно непересекающихся множеств, если все пары различных элементов системы Л представляют собой дизъюнктные множества, т. е. для А, В £<Л из А ф В следует А [\ В = 0.

8.2.3. Здесь могут оказаться полезными некоторые графические иллюстрации.

Мы будем обозначать объекты, являющиеся в этих рассмотрениях элементами множеств, точками (рис. 1). Множество будет обозначаться путем обведения принадлежащих ему точек (элементов), причем обозначающий множество символ будет писаться в разрыве обводящей линии в одном или в Рис. 1. нескольких местах. Изображенные на

рис. 1 множества А и С являются непересекающимися, а множества А и В таковыми не являются.

С помощью этого приема можно проиллюстрировать также понятия объединений, пересечений и разности множеств (рис. 2). На этом рисунке

х) Эта терминология (суммы, произведения, разности) является традиционной. Она основана на некоторых алгебраических аналогиях, которые мы здесь использовать не будем. В действительности алгебра этих операций \J, f известная под названием булевой алгебры, имеет большой самостоятельный интерес. См., например, А. Т а г s k i, Introduction to logic, New York, 1941, а также G. В i r kh о f f, Lattice theory, New York, 1940 (русский перевод: Г. Б и p к г о ф, Теория структур, М., ИЛ, 1952). Последняя книга представляет большой интерес для понимания современного абстрактного метода. Гл. VI посвящена булевым алгебрам; там же указана дальнейшая литература.

А не является подмножеством В, равно как и В не является подмножеством А; следовательно, ни разность А -В, ни разность В -А не

являются дополнением одного из этих множеств до другого. На следующем рисунке, однако, В является подмножеством А, так что А - В является дополнением В в А (рис. 3).

8.3. Разбиения, их свойства и их графическое представление

8.3.1. Пусть дано множество Q и система множеств А. Мы будем говорить, что Jh является -разбиением в Q, если оно удовлетворяет следующим двум требованиям:

(8:В:а) Любой элемент А системы Jh является непустым подмножеством множества Q.

(8:В:Ь) Jh представляет собой систему попарно непересекающихся множеств.

Это понятие также породило обширную литературу *). Если даны два разбиения Jh и 98, то мы будем говорить, что Л является подразбиением 98, если они удовлетворяют следующему условию:

(8:В:с) Любой элемент А разбиения Jh является подмножеством некоторого элемента В разбиения 98 2). Отметим, что если Jh является подразбиением 98 и 98 является подразбиением Jh, то Jh = 98 3). Сформулируем теперь следующее определение.

х) См. цитированную в сноске на стр. 88 книгу Г. Биркгофа. Наши требования (8:В:а), (8:В:Ь) не совпадают дословно с общепринятыми. Именно в (8:В:а) иногда не требуется, чтобы элементы А системы Jh были непустыми. Действительно, нам придется сделать одно исключение в п. 9.1.3 (см. сноску 1 на стр. 95). В условии (8:В:Ь) обычно требуется, чтобы объединение всех элементов Jh было равно множеству Q. Для наших целей будет более удобным это требование опустить.

2) Так как Jh и 99 также представляют собой множества, уместно сравнить отношение быть подмножеством (применительно к Jh и 99) с отношением быть подразбиением . Легко видеть, что если Jh является подмножеством 9В, то Jh является и подразбиением 9В, но обратное, вообще говоря, неверно.

3) Доказательство. Рассмотрим некоторый элемент i из i. Он должен быть подмножеством некоторого элемента В из 9В, а В в свою очередь - подмножеством некоторого элемента At из Jh. Таким образом, А и А имеют общие элементы (именно все элементы непустого множества А) и тем самым не являются дизъюнктными. Так как оба они принадлежат разбиению Jk, отсюда следует А = At. Поэтому А является подмножеством В, а В - подмножеством А (= А). Следовательно, А = В, так что А принадлежит 38. Отсюда мы получаем, что Jh есть подмножество 9В (см. предыдущую сноску). Аналогично & является подмножеством Jh. Следовательно, Jh = 9В.

Рис. 2.

Рис. 3.