Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 [ 210 ] 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

мых играми конфликтов или процессов принятия решений), но и отражает тот факт, что игрок в процессе игры принимает свои решения на основе-информации, которой он располагает и которая в ходе игры может изменяться. В частности, изменяться может и имеющаяся у игрока информация о его собственных прошлых информационных состояниях и о тех решениях, которые он в них принимал. Это последнее обстоятельство* описывается в монографии в терминах предварения и предшествования . В дальнейшем эти рассуждения послужили отправной точкой для исследования Куна [1] и последующих работ, о которых см. в III.5.2.

4. Включение в игру случайных ходов позволяет рассматривать игры, являющиеся одновременно стратегическими и азартными. Представление множества позиций в виде ориентированного графа показывает что комбинаторный аспект также охватывается общим определением стратегической игры.

То, что авторы ограничиваются случаем дискретного множества ходов, с теоретико-игровой точки зрения не представляется особенно принципиальным, хотя, конечно, переход к непрерывному множеству ходов, наблюдаемому, например, в дифференциальных играх (см. III.5.7), и сопряжен со значительными трудностями.

5. Стратегии вводятся фон Нейманом и Моргенштерном в процессе окончательного упрощения задания игры, приводящего к определешпо игры в нормальной, т. е. в чисто стратегической форме. Хотя такое упрощенное задание в действительности эквивалентно первоначальному, однако, по видимости, оно представляется описанием более частного объекта: именно игры, в которой каждый игрок делает лишь один ход и притом в полном неведении о том, какой ход сделал каждый из остальных игроков. Это дало повод авторам в дальнейшем (п. 12.1.1) говорить о позиционной игре как об extensive form of the game (среди буквальных русских переводов этого термина встречаются игры в обобщенной форме в развернутой форме и даже в расширенной форме ).

Вместе с тем по существу позиционные игры являются более конкретными объектами, чем игры в нормальной форме. В самом деле, основное понятие в стратегической игре есть понятие стратегии. В играх в нормальной форме стратегии игрока лишены каких бы то ни было содержательных свойств, являясь просто элементами некоторого абстрактного множества. В позиционных же играх стратегии выступают как функции на множестве всех информационных состояний игрока, т. е. как объекты существенно более конкретной природы, наделенные индивидуальными свойствами.

Сказанное определяет и целесообразность использования в одних случаях задания игр в нормальной форме, а в других - в позиционной форме. Как отмечают авторы в п. 12.1, рассмотрение игр в нормальной форме удобно при доказательстве общих теорем, относящихся к целым классам игр, при формулировках общих принципов оптимального поведения игроков и т. п. Играми в позиционной форме предпочтительно пользоваться, когда целью является выяснение особенностей поведения игроков в данной игре, при установлении возможных редукций стратегий и т. д. Отметим вместе с тем, что фактическое решение игр, т.* е. нахождение оптимальных (или, в ином смысле, целесообразных) стратегий игроков в той или иной конкретной игре, до сих пор, за исключением некоторых весьма специфических случаев, удавалось только для игр в нормальной форме. , к , л



§ 3. ИГРЫ ДВУХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ. ТЕОРИЯ

1. В п. 12.2 фон Нейман и Моргенштерн рассматривают игры с единственным игроком. С математической точки зрения нахождение рационального поведения участника такой игры состоит в решении некоторой задачи максимизации и не представляет теоретико-игрового интереса.

2. Игры двух лиц с нулевой суммой, т. е. антагонистические игры, являются простейшими в теоретико-игровом смысле. В них конфликты двух сторон выступают в непосредственно стратегическом виде и не осложняются какими-либо соображениями, касающимися вступления игроков в коалиции или обмена информацией между ними.

В самом деле, в антагонистической игре выигрыши двух игроков равны по величине и противоположны по знаку. Поэтому, если некоторые совместные действия игроков полезны для одного из них, т. е. приводят к увеличению его выигрыша, то тем самым они уменьшают выигрыш другого игрока, т. е. нежелательны для него. Значит, для того чтобы игроки были готовы в том или ином пункте выступать совместно, необходимо, чтобы эти их действия не приносили выгоды ни одному из игроков. Но тогда такие действия вообще не будут оказывать какого-либо эффекта на исход игры и их можно вовсе исключить из рассмотрения.

Антагонизм в математическом, теоретико-игровом смысле, понимаемый как равенство по величине и противоположность по знаку, существенно отличается от одноименного философского понятия. Это следует иметь в виду при обсуждении возможных путей моделирования играми реально встречающихся конфликтов или, наоборот, содержательных интерпретаций теоретико-игровых конструкций. В частности, достаточно адекватное моделирование социальных или военных конфликтов антагонистическими играми удается лишь в отдельных случаях. Дело в том, что в таких конфликтах каждая сторона обычно преследует свои собственные цели, а нанесение ущерба сопернику является лишь способом достижения цели или даже просто сопутствующим обстоятельством.

Между прочим, не следует смешивать антагонистичность конфликта с его остротой. Так, например, военно-тактическая ситуация, в которой участвуют с каждой стороны по одной единице сил, а цель стороны состоит в уничтожении единицы противника, не является антагонистической с теоретико-игровой точки зрения. В условиях антагонистического конфликта стремлению уничтожить противника противостоит стремление избежать собственного уничтожения.

Более подробное изложение этого круга вопросов см. в статье Н. Н. Воробьева [4].

3. В качестве руководящего принципа оптимального поведения участника антагонистической игры фон Нейман и Моргенштерн предлагают принцип максимина (минимакса). Применение этого принципа каждым из игроков приводит (с использованием в случае необходимости смешанных стратегий) к значению игры как к справедливому выигрышу первого игрока в ней. Справедливость выигрыша, равного значению игры, можно интерпретировать как право игрока на получение этой суммы вместо своего участия в игре. Вероятностный подход к полезностям позволяет рассматривать здесь математические ожидания выигрышей как реальные выигрыши.

Авторы обосновывают принцип максимина в результате весьма подробного анализа мажорантной и минорантной игр. Эти рассуждения носят, по существу, аксиоматический характер и могут быть вполне формализо-



ваны. Однако в них имеется одно неудобство, ограничивающее круг возможных приложений теории. В рассмотрение мажорантной и минорантной игр входит одновременное описание целей обоих игроков. Поэтому все сказанное будет без каких-либо дополнений и -уточнений достаточно убедительно в применении к принятию решений в условиях конфликта между двумя сторонами, отстаивающими противоположные цели; в случае же принятия решений в условиях неопределенности, где решения фактически принимаются только одной стороной, могут остаться некоторые сомнения.

Эти сомнения были рассеяны работой Э. И. Вилкаса [1], предложившего расчленение принципа максимина на несколько более частных принципов, которые он принимает в качестве аксиом.

Пусть v - функция, определенная на множестве всех матриц. Будем понимать v (А) как тот справедливый выигрыш, на который может рассчитывать лицо, участвующее в качестве первого игрока в матричной игре с матрицей выигрышей А. Естественно потребовать, чтобы функция v обладала следующими свойствами.

1° Если А и А - две матрицы одинаковых размеров, причем А А (неравенство понимается поэлементно), то

Иными словами, если игроку предоставляется на выбор участие (в качестве первого игрока) в игре с матрицей А или в игре с матрицей А, где А то участие в игре с матрицей А не менее предпочтительно.

2° Если матрица А получается из матрицы А присоединением к ней новой строки, не превосходящей какой-либо выпуклой линейной комбинации строк матрицы А, то

v(A) = v(A).

Это значит, что для игрока безразлично, участвовать ли ему в игре с матрицей А или же в игре с матрицей А, в которой он располагает на первый взгляд несколько большими возможностями.

3° Если понимать вещественное число х как матрицу, то

и(х)х

(т. е. участие в 1 х 1-игре не менее предпочтительно, чем непосредственное получение выигрыша).

4° Если Ат есть транспонированная матрица А, то

v(A) = v(-AT),

т. е. безразлично, участвовать ли в игре с матрицей А или в игре с матрицей - Ат.

Эта система аксиом полна в смысле, описываемом следующей теоремой: функция v, удовлетворяющая аксиомам 1°-4°, единственна, и значение v (А) является значением матричной игры с матрицей выигрыша А.

Так как значение антагонистической игры есть именно то значение выигрыша игрока, которое он получает, следуя принципу максимина, данная аксиоматика обосновывает и сам этот принцип.

В приведенной системе аксиом говорится о предпочтительных действиях только одного действующего лица. Поэтому она применима



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 [ 210 ] 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227