независимо от того, будет ли его противник реальным (выбирающим стратегии сознательно) или фиктивным (носителем неопределенности). Тем самым обоснована и справедливость принципа максимина к принятию решений в условиях неопределенности.

4. Несмотря на то, что основанное определение игры дается фон Нейманом и Моргенштерном в позиционной форме, они сами при рассмотрении игр такого рода ограничились тем важным, но малотипичным случаем, когда игрок имеет в игре полную информацию. Полученный ими (в § 15) результат, обобщающий теорему Цермело (см. 1.2.2), весьма поучителен в своей естественности. В самом деле, теория игр есть теория принятия оптимальных решений в условиях неопределенности и тем самым в условиях неполной информации; с другой стороны, для теории игр характерно то, что она в качестве оптимальных решений указывает смешанные стратегии игроков. Поэтому вполне естественно, что если игрок имеет в игре полную информацию, т. е. действует, по существу, в ситуации неигрового типа, то и оптимальная его стратегия должна быть не теоретико-игровой, а соответствовать иному уровню принятия оптимальных решений. В действительности оптимальная стратегия оказывается в этом случае чистой.

5. В § 16 приводится доказательство теоремы существования оптимальных стратегий в матричных играх, опирающееся на свойства выпуклых многогранников. Вопросы практического нахождения оптимальных стратегий будут * рассмотрены в III.1.2-III.1.5.

§ 4. ИГРЫ ДВУХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ. ПРИМЕРЫ

1. Содержание теории игр как математической дисциплины состоит, во-первых, в установлении принципов разумного, целесообразного, оптимального поведения игроков; во-вторых, в доказательстве существования действий игроков, удовлетворяющих этим принципам, и, в-третьих, в фактическом нахождении таких действий. Первое здесь определяет сущность теории игр как таковой, второе делает ее предметной и обеспечивает принципиальную возможность приложений, а третье превращает эту возможность в фактическую.

После решения в гл. III монографии первых двух вопросов для конечных антагонистических, т. е. для матричных, игр фон Нейман и Моргенштерн переходят к решению третьего, посвящая ему отдельную главу. Как в период написания монографии, так и за прошедшее после этого время не удалось найти сколько-нибудь общих способов решения игр, даже таких сравнительно элементарных, как матричные. Поэтому до сих пор если отвлечься от численных, методов решения, практические результаты, касающиеся матричных игр, ограничиваются рассмотрением примеров, число которых пока еще невелико.

Первый пример решения симметричной матричной 3 X 3-игры был указан Борелем (см. 1.4.2). Фон Нейман и Моргенштерн приводят несколько новых примеров.

2. Уже проводимое в п. 18.2 рассмотрение 2 х 2-игры показывает, что попытки описать ее решение в виде единой формулы являются нерациональными, а при переходе к играм больших размеров - и безнадежными. Поэтому решение игр, принадлежащих тому или иному классу, следует понимать, как алгорифм, анализирующий нужные соотношения между параметрами игры и выводящий на основе этого анализа формулу

расчета. Так как, однако, матричная игра задается матрицей, т. е. сравнительно большим числом параметров, подлежащих анализу соотношений оказывается чрезвычайно много, и требуемый алгорифм (если не вводить специальных упрощающих приемов) получается весьма громоздким.

По-видимому, указанные трудности неизбежны и едва ли преодолимы, если рассматривать каждый элемент матрицы как самостоятельный параметр, несущий собственную, не зависящую от других информацию. Однако фактически эти элементы матрицы выигрышей нередко являются не первоначальными параметрами игры, а определяются на основе каких-либо других, немногочисленных исходных данных. Вычисление матрицы выигрышей представляется в этих случаях промежуточным этапом, без которого, быть может, удастся и обойтись. На деле такой нематричный путь решения матричных игр означает отказ от использования нормальной формы игры и обладает всеми достоинствами и недостатками, о которых говорилось в II.2.5.

3. Обращает на себя внимание излагаемый в п. 18.4.4 анализ литературного конфликта: поведение Шерлока Холмса, спасающегося от профессора Мориарти.

Анализ конфликтов художественными средствами и описание поведения их участников в соответствии с их целями и возможностями издавна занимали видное место в художественной литературе. Как справедливо замечают Льюс и Райфа [1], во всей мировой литературе столкновение интересов было одной из главных тем; возможно, по вниманию, которое ей уделялось, с ней сравнимы лишь темы бога, любви и внутренней борьбы . К этому можно добавить, что идея бога как нравственной категории была призвана указать на определенные принципы разрешения конфликтов, любовь по самому своему существу есть форма совместных действий лиц, наделенных противоречивыми интересами, а внутренняя борьба состоит в конфликте субъекта с незнанием им той истинной цели, к которой ему следует стремиться. Тем самым образ конфликта оказывается одним из наиболее распространенных в художественной литературе и вообще в искусстве.

Теория игр осуществляет анализ конфликтов научными, именно математическими средствами. Поэтому представляет интерес сопоставление поведения участников конфликта, которое теория игр расценивает как оптимальное, с разрешением того же конфликта, даваемым художественными средствами. Первая попытка систематического подхода к этому вопросу содержится в статье Н. Н. Воробьева [8].

4. Обширный § 19 монографии озаглавлен Покер и блеф . Выбор в качестве примера для подробного изложения именно покера объясняется прежде всего тем, что из всех так называемых салонных игр покер является наиболее стратегической: комбинаторно эта игра предельно проста, а азартный, т. е. случайный, элемент сведен в ней до минимума и поддается прямому учету. Поэтому игра в покер ведется не на постепенно накапливаемые преимущества (как это имеет место, скажем, в шахматах), а непосредственно на полезности (обычно - на деньги).

Будучи по существу позиционной игрой, покер обладает своими специфическими принципами оптимального поведения игроков. К числу этих принципов относится и употребление в оптимальных смешанных стратегиях с положительной вероятностью блефа. Случайное блефование является одним из немногих примеров интуитивно находимых и систематически употребляемых смешанных стратегий в салонных играх.

§ 5. ИГРЫ ТРЕХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

1. Начиная с пятой главы, фон Нейман и Моргенштерн покидают чисто стратегическую почву и вводят в рассмотрение кооперативный аспект проблемы. При этом результаты анализа оказываются, по существу, менее полными, чем в антагонистическом случае. Решение антагонистической игры, существование которого для конечного случая было установлено в гл. III, указывает на некоторый способ действий, обеспечивающий игроку уверенный выигрыш (равный значению игры). В рамках кооперативной теории получение такого или аналогичного результата уже не удается: игрок выигрывает указываемую теорией сумму не форсированно, опираясь лишь на собственные возможности, а условно, при определенном поведении некоторых других участников игры. Таким образом, даваемые теорией условия осуществимости целей (в том числе их количественные характеристики) оказываются необходимыми, но недостаточными.

Наоборот, в игре (существенной) трех лиц все выигрывающие (т. е. двуэлементные) коалиции получают один и тот же выигрыш, а все проигрывающие (одноэлементные) терпят один и тот же ущерб. Таким образом, в игре трех лиц кооперативный аспект выступает в своем наиболее чистом виде: целью игрока является вступление в выигрывающую коалицию. Эта идея подробно развивается в гл. X, посвященной простым играм. Существенная игра трех лиц является простой Ы притом мажоритарной, см. § 50).

2. Принципиально новыми и важными оказываются понятия дележа и решения, как некоторого множества дележей. По существу, каждый дележ можно рассматривать как дилемму, стоящую перед игроками: получать ли им суммы, предусматриваемые дележом, или же обратиться к игре для получения своего выигрыша в ней. Дележ можно считать справедливым , если обе эти возможности для игроков равноценны. В этом отношении справедливый дележ играет роль, сходную со значением антагонистической игры: для игрока безразлично, участвовать ли в игре (в качестве первого игрока) или же получить значение игры непосредственно.

3. Дележ можно понимать как исход игры, предлагаемый игрокам со стороны некоторого внешнего по отношению к данной игре субъекта. Возможными действиями этого субъекта являются различные дележи, а целью - принятие предлагаемого им дележа. Если имеется несколько таких субъектов, то цели их, очевидно, будут различными, и, дав этим целям ту или иную количественную оценку, мы приходим к некоторой игре, которую по отношению к исходной игре будем называть метаигрой. Ее участников назовем метаигроками. Метаигрока можно интерпретировать как лицо, вносящее на рассмотрение всего коллектива игроков некоторый проект, затрагивающий интересы каждого игрока. Грубо говоря, цель метаигрока определяется предложением с его стороны доминирующих и недоминируемых дележей.

Поскольку в игре трех лиц два дележа не могут одновременно доминировать друг друга, антагонистическая метаигра в этих условиях строится весьма просто: если а и р - дележи, выбранные соответственно метаигроками I и II, то

{1 при а>р, -1 при а<р, 0 в остальных случаях.