Нетрудно проверить, что эта метаигра совпадает с бесконечной игрой, описанной Борелем (см. 1.4.2). Ее решение было найдено А. И. Соболевым [1].

§ 6. ФОРМУЛИРОВКА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ, ИГРЫ П ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

1. Основным понятием кооперативной теории является понятие характеристической функции, определяемой на множестве всех коалиций. Система соотношений (25:3:а), (25:3:Ь) и (25:3:с), выражающая основные свойства характеристических функций, по существу является системой аксиом, описывающих естественные свойства тех возможностей, которыми каждая коалиция располагает в наименее благоприятных условиях, именно когда все игроки, не входящие в коалицию, совместно выступают против нее.

Эта аксиоматика соответствует основным представлениям теории игр, ибо функция, значениями которой являются значения антагонистических игр коалиций против их дополнений, ей удовлетворяет. Вместе с тем аксиоматика является и полной в том смысле, что никаких общезначимых утверждений (т. е. справедливых во всех игровых интерпретациях), не зависящих от перечисленных аксиом, нет. Это доказывается в § 26 путем указания способа построения игры с произвольной заданной характеристической функцией.

По существу, все дальнейшее содержание монографии4 касается не игр, а характеристических функций. Поэтому можно было бы всюду далее (за исключением немногих отдельных мест) заменить термин игра термином характеристическая функция . Авторы не делают этого, так как ограничиваются изучением лишь тех свойств игр, которые проявляются в их характеристических функциях.

2. Основной задачей кооперативной теории является формализация перехода от заданных возможностей каждой коалиции к индивидуальным возможностям игроков. При этом начинает использоваться предположение о том, что получаемые игроками и коалициями полезности могут неограниченно передаваться другим игрокам и коалициям, не изменяясь при этом даже количественно. Иными словами, задача состоит в построении по характеристической функции игры такого дележа или таких дележей, которые при данных условиях были бы в том или ином смысле естественными, справедливыми .

Разумеется, решение этой задачи зависит от тех аксиом справедливости, которые при этом будут постулированы.

Фон Нейман и Моргенштерн фактически предлагают систему из трех аксиом, задающих множество дележей V, называемое ими решением игры:

1° Для любого дележа (аь . . ., ап)

2 . = 0.

2° Никакие два дележа, принадлежащие решению V, не доминируют *) друг друга (аксиома внутренней устойчивости).

3° Каков бы ни был дележ ос, не принадлежащий V, существует дележ р, принадлежащий V, который доминирует ос.

Определенные таким образом решения оправдывают свое название с точки зрения естественности. Чисто математически теория решений является весьма содержательной. О некоторых результатах, полученных в этом направлении, см. в III.3.3 - III.3.7.

Однако сведение анализа игры (хотя бы в виде своей характеристической функции) к нахождению и рассмотрению ее решений нельзя признать исчерпывающим.

Во-первых, за исключением тривиальных ( несущественных ) игр, решение должно состоять более чем из одного дележа. Это сильно обесценивает нормативное содержание понятия решения, так как даже найденное решение не указывает, какие выигрыши игроки получат в результате игры.

Во-вторых, многие игры (в том числе уже простейшие из существенных - нулевые игры трех лиц) обладают многими решениями. Поэтому было бы желательно дополнить приведенную аксиоматику указаниями на выбор какого-либо определенного решения.

Кун и Таккер [2] ссылаются на следующее свидетельство Вольфа о высказывании фон Неймана спустя десятилетие, как руководителя дискуссии круглого стола 1 февраля 1955 г. в г. Принстоне: Фон Нейман подчеркнул, что исключительное разнообразие решений, которые можно получить для игры п лиц, не было неожиданным ввиду соответствующего исключительного разнообразия наблюдаемых устойчивых социальных структур; много различных соглашений могут оставаться неизменными, не имея для своего сохранения сегодня более основательных причин, чем тот факт, что они имели место вчера. Поэтому все еще весьма важно решение общего вопроса о существовании решения для произвольной игры п лиц .

Наконец, в-третьих, ответ на упомянутый фон Нейманом вопрос оказался отрицательным. Совсем недавно Льюкас [1] привел пример игры десяти лиц, не обладающей решением. Таким образом, оказывается, что аксиоматика решения не вполне соответствует аксиоматике характеристической функции.

Доказательства разрешимости для достаточно широких классов игр являются довольно сложными. Фон Нейман и Моргенштерн установили (см. п. 60.4.2), что любая игра четырех лиц с нулевой суммой имеет хотя бы одно решение. Однако уже для случая игр пяти лиц с нулевой суммой вопрос остается открытым.

3. Шепли [1] предложил иную систему аксиом, свободную от перечисленных недостатков. Он по-прежнему рассматривает дележи, т. е. векторы, удовлетворяющие аксиоме 1° из предыдущего пункта. Далее, для каждой характеристической функции v он из всех дележей выбирает такие дележи

Ф(и) = (Ф1(и), Фп(и)),

называемые им векторами значений игры, которые удовлетворяют следующим аксиомам:

2° Для каждого автоморфизма *) ф характеристической функции и Фф; ( ) = ф* ( )

*) Определение автоморфизма (симметрии) характеристической функции см. на стр. 276.

*) Игрок i называется болваном , если для любой коалиции S такой, что i (£ S, имеет место и (S \J i) = v (S) + v (i).

3° Если игрок j - болван *), то

ф. (р) =v(i).

4° Для любых двух характеристических функций vt и v2

(нетрудно убедиться в том, что сумма Vy + и2 двух характеристических функций в свою очередь является характеристической функцией).

Эта система аксиом является непротиворечивой и полной. Именно -справедливо следующее утверждение: для каждой характеристической функции v существует один и только один вектор значений Ф (у); компоненты этого вектора определяются равенством

(*\S\ - число элементов во множестве S).

Данное утверждение можно интерпретировать следующим естественным образом. Пусть имеется некоторая перестановка игроков qr. {ф1, . . . . . ., ф/г). На некотором месте в этой перестановке находится игрок i. Положим i = ф& и *У = {ф1, ф&}. Тогда разность

v(S) - v(S\i) = A(v, i, ф)

можно рассматривать как приращение значения характеристической функции и за счет присоединения к коалиции S \ i игрока i в условиях перестановки ф. Очевидно, при различных перестановках ф это приращение также может быть различным. Шепли доказал следующую теорему: значение Фг (v) есть математическое ожидание приращения A (v, £, ф), если асе перестановки ф являются равновероятными.

В одной из последующих работ [5] Шепли распространил этот подход на некоторый класс игр с бесконечным множеством игроков, получив весьма интересные результаты.

4. Фон Нейман и Моргенштерн систематически пользуются редуцированной формой характеристической функции, для которой v (i) = - 7, -а и (/) = 0, принимая обычно 7 = 1. Такие .характеристические функции принято теперь называть -1-О-редуцированными характеристическими функциями. Иногда картина получается более наглядной, если перейти к 0-1-редуцированной форме характеристической функции, при которой 7 (£) = 0, а 7(7) = 1. Ясно, что от одной из этих форм можно перейти к другой при помощи преобразования стратегической эквивалентности.

§ 7. ИГРЫ ЧЕТЫРЕХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

1. В отличие от игр трех лиц, составляющих лишь два класса стратегически эквивалентных игр, игры четырех лиц являются весьма разнообразными. Среди них имеется континуальное множество классов стратегической эквивалентности, естественным образом описываемых точками куба. Фон Нейман и Моргенштерн находят решения для игр, соответствующих некоторым областям этого куба. Полные множества решений указываются ими лишь для вершин куба. х