Типы решений, которые при этом обнаруживаются, весьма разнообразны. Достаточно подчеркнуть, что на главной диагонали куба, лежащей на прямой Xt = х2 = х3, каждому из участков -1 < х{ -1/5, -1/5 < < х < 0, 0 < Xi < 1/9, 1/9 < Xi < 1/3, 1/3 < Xi < 1 соответствуют решения различного вида.

Авторы предполагали в последующей публикации (см. сноску на стр. 320) подробно изложить все полученные ими результаты, но это намерение не было осуществлено.

2. Непосредственное продолжение исследований фон Неймана и Мор-генштерна в области теории игр четырех лиц было предпринято Миллсом [1]: он перечислил все решения игр, соответствующих точкам ребер куба, и указал некоторые свойства игр, соответствующих точкам его граней.

Исчерпывающий анализ ряда вопросов, касающихся игр четырех лиц с нулевой суммой, рассматриваемых как игры с квотой, принадлежит Шепли [2] (см. Ш.3.6).

§ 8. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ СЛУЧАЯ

УЧАСТНИКОВ

1. Таблица 24 из п. 39.2.3 (см. стр. 345) является весьма впечатляющей. Она отбивает всякую охоту заниматься каталогизацией решений игр пяти лиц (классы стратегически эквивалентных игр пяти лиц составляют десятипараметрическое семейство!). Даже классы симметрических игр пяти лиц образуют континуальное семейство, хотя и однопараметриче-ское. Здесь уместно напомнить то прискорбное обстоятельство, что неизвестно, все ли игры пяти лиц обладают решениями.

В этом месте становится особенно ясной необходимость перехода от систематического описания игр с небольшим числом участников к разработке общей теории типа исчисления игр , в которой изучение свойств одних игр сводилось бы к изучению свойств других игр, в том или ином смысле более просто устроенных. Первый пример такого сведения встретился в п. 35.2, где игра четырех лиц распадалась на игру трех лиц и отдельно стоящего болвана . Второй пример - проведенная в п. 40.3 аналогия между симметрическими играми пяти лиц и играми четырех лиц, соответствующих точкам на главной диагонали куба. Одно из возможных направлений развития этих идей изложено в гл. IX.

Другой путь состоит в выделении тех или иных классов игр, обладающих свойствами, способствующими их классификации и анализу. (Уже ясно, что фиксированное число игроков к этим свойствам не относится.) Один такой класс рассматривается в гл. X.

2. В п. 40.2.3 авторы высказывают весьма интересное соображение о задании игр путем формулирования целей игроков по вступлению в коалиции. Это открывает некоторые перспективы сведения неясного и описательного кооперативного аспекта игры к более четкому и формализованному аспекту - стратегическому. Важный шаг в этом направлении сде-ланавторами в § 26.

§ 9. КОМПОЗИЦИЯ И РАЗЛОЖЕНИЕ ИГР

1. В гл. IX фон Нейман и Моргенштерн вводят на множестве всех игр (впрочем, здесь особенно было бы уместно говорить не о множестве игр, а о множестве всех характеристических функций) операцию композиции. Как и всюду в книге, авторы избегают явных указаний на

математические (в данном случае - на алгебраические) аналогии, и лишь ссылка на книгу Биркгофа и Маклейна (на стр. 353) указывает на те алгебраические ассоциации, которых не могло не быть у авторов и которыми они, быть может, даже руководствовались.

Конструкция композиции игр весьма напоминает прямые произведения групп, аннулирующие суммы полугрупп, ортогональные произведения пространств - словом, те образования, в которых элементы из различных компонент взаимодействуют друг с другом наиболее простым образом. Для игр наиболее простым взаимоотношением между игроками является бесцельность коалиций между ними (что формально выражается аддитивностью соответствующих значений характеристической функции).

2. В п. 44.3.2 затрагивается важный вопрос о соотношении между формально получаемыми математическими утверждениями, с одной стороны, и требованиями здравого смысла , с другой. Авторы склонны; (в данном месте, во всяком случае) приписать здравому смыслу роль критерия истины, упуская из виду его неизбежную ограниченность, а порой н субъективность.

В действительности требования здравого смысла играют существенную роль при фиксации основных положений математической теории. Если же парадоксальные выводы теории будут противоречить здравому смыслу, то не следует априори считать, что это обстоятельство опровергает теорию: быть может, оно свидетельствует лишь о необходимости пересмотреть или хотя бы уточнить представления здравого смысла. Современный научный здравый смысл отлично уживается с некоммутативными операциями, с неевклидовой геометрией, релятивистской механикой и т. д.

Например, несправедливость в отдельных случаях утверждения (44:D) противоречит здравому смыслу ничуть не больше, чем, скажем, возможность появления автоморфизмов прямого произведения групп, не являющихся произведениями автоморфизмов прямых сомножителей. Кроме того, в данном случае оказывается, что и интуитивно правдоподобное утверждение (44:В:а) является неверным.

Сказанное не может умалить педагогической роли здравого смысла, особенно для таких молодых дисциплин, как теория игр, обладающих притом широкими областями применения. Появление на ранних стадиях логического развития теории результатов, противоречащих общепринятым, наглядным представлениям, может лишь напрасно дискредитировать теорию. Можно надеяться, что со временем утверждения теории игр (касающиеся, например, решений в кооперативной теории) будут поддаваться объективной экспериментальной проверке. Первые шаги в этом направлении уже делаются (см., например, статьи Калиша, Милнора, Нэша и Неринга [1], Льюса [1], Машлера [2] и содержащий обширную библиографию обзор Фурейкера [1], а из последних работ - сообщение Фюрста [1]), однако говорить о систематическом экспериментировании в теории игр покаеще рано. Поэтому вполне понятно, что как здесь, так и в других многочисленных местах фон Нейман и Моргенштерн не упускают случая подчеркнуть согласие выводов теории игр со здравым смыслом.

Вместе с тем расхождение теоретических выводов с представлениями здравого смысла иногда дает повод, не подвергая сомнениям справедливость теории, модифицировать последнюю в направлении обобщения так, чтобы охватить ее выводами и те интуитивные соображения, которые первоначально в нее не укладывались. Так, недостаточная естественность выводов о решениях композиции игр происходит из-за накладываемого на игры ограничения нулевой суммы. Снятие этого ограничения

{в п. 44.4) позволяет в дальнейшем построить более естественный (хотя и существенно более громоздкий) вариант теории.

3. Введение эксцесса (п. 44.5 и след.) для обобщенных дележей развивает представление о дележе как о возможности, альтернативной к фактическому участию в игре с тем или иным поведением в ней. Поэтому крупный отрицательный эксцесс стимулирует участие игроков в игре даже без кооперирования. Крупный же положительный эксцесс предоставляет игрокам дележи более предпочтительные, чем их возможные выигрыши (даже в условиях образования коалиций). Так исследование вопроса о разложении игр с нулевой суммой приводит к необходимости изучения игр с нулевой суммой.

Заметим, наконец, что рассмотрение отделенных (соответственно вполне отделенных) дележей, по существу, предвосхищает введение в дальнейшем понятия ядра для характеристической функции (см. III.3.8).

§ 10. ПРОСТЫЕ ИГРЫ

1. Наиболее наглядно характеристические функции простых игр определяются в 0-1-редуцированной форме (см. II.6.4) как такие характеристические функции, которые принимают лишь значения 0 и 1. При этом коалиция S с v (S) =1 является выигрывающей, а с v (S) =0 - про-лгрывающей. В простых играх кооперативный аспект игры достигает наиболее четкого выражения: в них, как остроумно замечают фон Нейман и Моргенштерн, имеется только один вид выигрыша.

Важный класс простых игр составляют взвешенные мажоритарные игры, в которых каждому игроку i приписывается некоторый вес wt и выигрывающими объявляются те и только те коалиции *S, для которых

2 wt > 4 2 wi- Каждая такая игра обозначается через [wt, . . .

. . ., wn]. Оказывается, что все простые игры с числом игроков, не превосходящим 5, являются взвешенными мажорантными играми (при большем числе игроков это уже не так).

2. Эвристические рассуждения приводят авторов к выделению некоторых специфических решений простых игр, которые они называют главными. Идея главного решения состоит в том, что приемлемыми следует считать такие дележи, в которых члены некоторой минимальной выигрывающей коалиции делят между собой единицу (считая, что игра дана в 0-1-редуцированной форме). Фактическое получение главного решения оказывается, однако, весьма сложным как логически, так и технически. Дальнейшее развитие этих идей содержится в статье Исбелла [1].

Теория простых игр оказалась математически весьма содержательной. О полученных в этом направлении результатах см. III.3.7.

§11. ОБЩИЕ ИГРЫ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

1. Отказ от постоянства суммы выигрышей игроков (и тем более от обращения ее в нуль) приводит фон Неймана и Моргенштерна к необходимости расширения построенной ранее теории. В принципе это можно сделать различными путями.

Первый из них связан с радикальным отказом от сведения игры к ее характеристической функции и с возвращением к первичному понятию теории игр - функции выигрыша. Однако на этом пути возникает необходимость установить существенно более общие принципы рационального