и аналогично для пространства стратегий второго игрока. Очевидно, в естественной топологии функция выигрыша является непрерывной по каждой из своих переменных (т. е. по стратегии каждого из игроков).

Пусть 21 и 23 - о-алгебры подмножеств А и В, порожденные открытыми в естественной топологии подмножествами пространств А и В. Обозначим через © наименьшую о-алгебру, содержащую все подмножества А X В вида К х L, где К £ 21 и L £ S3. Как показал Вальд [2], если хотя бы одно из пространств А и В в естественной топологии сепарабельно, то функция выигрыша Н измерима относительно 6.

Вальд доказал [2] полную определенность бесконечных антагонистических втр/% которых пространства стратегий игроков условно компактны в естественней топологии (замечательно, что из условной компактности пространства стратегий одного игрока вытекает условная компактность пространства стратегий другого). Он же установил, что если вместо условной компактности пространств стратегий потребовать их компактность, то эта теорема может быть усилена: вместо полной определенности игры можно утверждать существование оптимальных стратегий у игроков. При всей своей кажущейся наглядности этот результат является весьма тонким и нетривиальным.

5. К сожалению, естественная топология в ряде случаев оказывается слишком грубой . Например, если в игре на единичном квадрате функция выигрыша разрывна в каждой точке диагонали квадрата (в остальных точках она может быть и непрерывной), то расстояние между любыми двумя точками больше некоторого фиксированного положительного числа, так что пространства стратегий игроков в естественной топологии сплошь состоят из изолированных точек.

Поэтому наряду с естественной употребляются и иные способы топо-логизации пространств стратегий игроков. Так, Карлин [1] вводит слабую топологию, в которой последовательность стратегий Д, /2, ... одного из игроков (пусть для определенности первого) объявляется сходящейся к стратегии /, если для любой стратегии g второго игрока

Ясно, что нужные свойства пространства стратегии в условиях слабой топологии достигаются при более широких условиях относительно функции выигрыша, чем в условиях естественной топологии. Поэтому рассмотрение слабой топологии приводит к более сильным утверждениям. В частности, Карлином доказывается полная определенность игры на единичном квадрате, если точки разрыва функции выигрыша заполняют всю диагональ.

Весьма общая теорема о существовании значений у антагонистических игр была доказана У Вень-цзюном [1].

6. Еще со времен статьи Билля [1] известны примеры антагонистических игр, не имеющих значения. Так, не имеет значения игра, в которой множествами стратегий игроков являются множества натуральных чисел, а функция выигрыша определяется соотношением

Естественный подход к играм такого рода состоит в дальнейшем расширении понятия стратегии, охватывающем понятие смешанной стра-

НтЯ(/ , g) = H(f,g).

1, если т>п, О, если т = п, - 1, если т <С п.

тегии как вероятностной меры на множествах чистых стратегий. Этот подход приводит к принятию в качестве новых, обобщенных стратегий игроков конечно-аддитивных мер на множествах их чистых стратегий. Множество конечно-аддитивных мер оказывается уже достаточно универсальным: в конечно-аддитивных мерах как стратегиях каждая игра с измеримой ограниченной функцией выигрыша имеет значение. Идея этого результата восходит к работе Карлина Щ, а строгое доказательство принадлежит Е. Б. Яновской [2]. Она же в работе [1] впервые начала рассма-. тривать игры с неограниченными функциями выигрыша.

7. Пожалуй, за исключением теорем существования, в юрии игр нет других утверждений, справедливых для всех игр и .точно широких классов. Более того, даже в отдельных примерах сконечных игр, о которых получены какие-либо нетривиальные результаты, множества стратегий являются либо подмножествами конечномерных евклидовых пространств (или же вероятностных мер на таких множествах), либо множествами конечномерных векторов, каждая компонента которых является ограниченной функцией, определенной на заданном подмножестве евклидова пространства. Игры на единичном квадрате, очевидно, относятся к первому из указанных классов. Им посвящено наибольшее количество работ.

8. Очевидно, каждую матричную игру можно рассматривать как полиэдральную и тем самым как бесконечную. Наоборот, решение полиэдральных игр потому и является столь сравнительно простым, что каждая такая игра определяется конечным числом параметров.

Следующими по сложности играми на единичном квадрате являются те, в которых функция выигрыша Н (х, у) имеет вид

23 г, (*) ,( ) (4)

Такие игры называются вырожденными. С точки зрения математического ожидания выигрыша каждую смешанную стратегию F игрока I в вырожденной игре с функцией выигрыша (4) можно описать ее моментами

$rt(x)dF(x) о

(аналогичное справедливо и для игрока II). Поэтому смешанные стратегии в вырожденной.,игре с функцией выигрыша (4) можно с точностью до эквивалентности описывать п параметрами. Свойства вырожденных игр рассмотрены в статьях Дрешера, Карлина и Шепли [1], Дрешера и Карлина [1], а также Гейла и Гросса [1].

Важным стимулом в разработке теории вырожденных и особенно полиномиальных игр была надежда, что такими играми удастся аппроксимировать произвольные непрерывные игры на единичном квадрате. Эта надежда не сбылась, так как, во-первых, сами полиномиальные игры оказались весьма сложными, а во-вторых, сходимость полиномов к непрерывным функциям, вообще говоря, является довольно медленной. Систематическое изложение полученных результатов, касающихся этого класса игр, содержится в гл. 11 монографии Карлина [31.

9. Большое число исследований посвящено играм с выбором момента времени. Естественная интерпретация этих игр как дуэлей состоит в следующем. Предположим, что каждый из двух противников может в любой

момент t £ [О, 1] произвести выстрел по своему противнику, причем меткость каждого игрока с течением времени возрастает. Разумно считать, что игрок должен произвести свой выстрел достаточно поздно (чтобы стрелять с большей вероятностью попадания), однако и не слишком поздно (ибо противник может опередить его своим выстрелом и убить).

Различные модификации игр с выбором момента времени рассматривались в многочисленных статьях. Шифман [1] в симметричном случае и Карлин [2] в общем свели нахождение оптимальных стратегий игроков в игре с выбором момента времени к решению сопряженных интегральных уравнений и нашли вид решения таких игр. Подробное изложение большинства результатов, относящихся к этому классу игр, содержится в главах 13 и 14 монографии Карлина [3] (особенно см. комментарии и библиографию к этим главам).

К играм с выбором момента времени примыкают игры, в которых одному или обоим игрокам приходится выбирать несколько моментов времени. Такую игру можно интерпретировать как дуэль со многими выстрелами. Этими играми занимались Блекуэлл и Гиршик [1], Рестрепо [1} и другие.

10. К числу простейших игр на единичном квадрате следовало бы отнести также те игры, в которых все ситуации разбиваются на два класса: благоприятные для игрока I, в которых он получает выигрыш, равный единице, и неблагоприятные для него, в которых его выигрыш равен нулю. Можно считать, что функции выигрыша в таких играх являются характеристическими функциями тех или иных множеств.

Один пример такой игры с военно-тактической интерпретацией приведен в книге Дрешера [1]. Дальнейшие примеры технического содержания см. у Н. Н. Воробьева [7].

11. Весьма разнообразны и интересны игры, в которых стратегиями игроков являются функции. Следует при этом иметь в виду, что функциональная природа стратегии еще не противоречит нормальности формы игры. Для игры в нормальной форме характерен мгновенный выбор стратегии как единого целого, даже если при этом выбирается целая функция.

В широком классе игр такого рода игрок, выбирающий функцию, называется пулеметчиком (вШарубежной литературе - бомбардировщиком). Выбираемая им функция интерпретируется как плотность огня, который он ведет в каждый момент времени. Очевидно, стратегию пулеметчика можно рассматривать как предельный случай стратегии игрока, выбирающего несколько моментов времени. Если его противник выбирает момент времени из интервала, то он называется снайпером (соответственно истребителем). Анализ игр этого класса требует привлечения известной из статистики леммы Неймана -Пирсона [1]. Обстоятельное рассмотрение этих игр и историю вопроса см. в гл. 16 монографии Карлина [3].

12. Несколько особое место занимают игры типа покера, столь подробно рассмотренные в § 19 монографии фон Неймана и Моргенштерна. В этих играх фактически стратегией игрока является не конкретное решение, а функция, значения которой суть такие решения, а область задания - множество информационных состояний. Тем самым покер было бы естественно отнести к динамическим играм. Основные результаты, относящиеся к теории игр этого типа, приведены в гл. 17 монографии Карлина [3].