(Данная характеристическая функция не является супераддитивной; однако в свете сказанного в III.11.1 с точки зрения решений это обстоятельство - несущественное.)

4. Разнообразие, наблюдавшееся в строении отдельных решений различных игр, как выяснилось, является вполне закономерным. Шепли [3] установил, что, каково бы ни было замкнутое множество / в и-мерном евклидовом пространстве, существует (ненулевая) игра п + 3 лиц, в которой одно из решений распадается на две замкнутые части, причем одна из этих частей подобна множеству /.

Таким образом, индивидуальные описания решений игр за пределами класса ненулевых игр четырех лиц (рассмотренных в гл. VII монографии) оказываются бесцельными.

Общие высказывания о решениях произвольной игры носят весьма ограниченный характер. Например, Джиллис [2] выяснил, что дележи, принадлежащие какому-либо решению, не могут лежать достаточно близко от вершин симплекса дележей.

Шепли в [3] поставил вопрос о существовании у игр решений, являющихся бесконечными, но лишь счетными множествами дележей, а также зависящей от числа игроков оценке сверху числа дележей в конечном решении. Гальмарино [1] установил, что в играх четырех лиц счетных решений быть не может, а для конечных решений существует требуемая оценка.

5. Невозможность указывать общие свойства решений, присущие всем играм, естественным образом приводит к выделению различных частных классов игр и изучению их решений. Начало этому направлению было положено в монографии фон Неймана и Моргенштерна, а затем появилось большое число работ, посвященных специфическим играм, выделяемым содержательными признаками. Формальное описание этого класса игр состоит в следующем.

Пусть множество всех игроков / представлено в виде объединения P\jQ непересекающихся групп Р (продавцы) и Q (покупатели), причем для любой коалиции S (рынок)

y(S) = niin{[Snn \S(]Q\}

(т. е. содержательно выигрыш рынка равен числу заключенных на нем сделок).

Шепли описывает класс решений для модели рынка и в том числе единственное симметричное решение (в каждом дележе которого все компоненты, соответствующие покупателям, так же как и все компоненты, Соответствующие продавцам, равны друг другу).

6. Важный класс игр, так называемые игры с квотой , исследовал Шепли в статье [2]. Квотой в игре с характеристической функцией v называется вектор (©!, . . . , сол), обладающий двумя свойствами:

17(£и/) = ю. + ю/ ПРИ любых i,

Как выясняется, для того чтобы игра (характеристическая функция) обладала квотой, необходимо и достаточно, чтобы для любой четверки различных игроков £, /, /с, I имело место

Hi[}j) + v(k[)l) = v(i[)l) + v(j + k)

*) Так, Шепли [4] систематически рассмотрел один из случаев намеченной фон Нейманом и О. Моргенштерном в § 64 их монографии модели рынка.

и, кроме того, чтобы было

2 v(i{jj) = 2(n-l)v(I).

Отсюда следует, между прочим, что всякая игра четырех лиц с нулевой суммой имеет квоту. Шепли доказывает, что каждая игра с квотой обладает решением (ср. п. 60.4), и приводит одно из решений в явном виде. Это решение основано на доминировании относительно двуэлементных коалиций.

Как сама идея квоты, так и полученные Шепли результаты были обобщены Калишем [1]. В частности, он ввел иг-квоту как вектор (со* ,. . .

. ., (On), для которого v (S) = 2 сог- для всех /га-элементных коалиций

S, и указал необходимые и достаточные условия существования решения игры, основанного на этой иг-квоте.

7. Большой интерес привлекли простые игры. Нулевые простые игры должны быть собственными (т. е. коалиция вместе с ее дополнением не могут быть выигрывающими) и строгими (коалиция вместе с ее дополнением не могут быть проигрывающими). Выход за пределы нулевых игр приводит к возможностям появления несобственных и (или) нестрогих простых игр.

В нестрогой игре коалиция, являющаяся проигрывающей вместе со своим дополнением, называется блокирующей. Ричардсон [4], развивая идеи, намеченные фон Нейманом и Моргенштерном в § 53 монографии, предложил рассматривать игры как проективные пространства, в которых точки понимаются как игроки, а попарно пересекающиеся подпространства наименьшей размерности - как выигрывающие коалиции. Им получен ряд результатов о существовании блокирующих коалиций, в которых число игроков имеет определенное арифметическое строение.

Простая игра называется однородной, если она имеет транзитивную группу автоморфизмов. Не всякое число игроков может участвовать в строгой однородной игре. Исбелл показал [2], что для каждого нечетного т найдется такое h, что при k > h не существует строгих однородных игр с 2hm игроками

Чрезвычайно важно, интересно и перспективно изучение всякого рода действий на множествах игр, которые позволяют конструировать сложные и разнообразные игры из отдельных сравнительно простых и однотипных компонент. К такого рода действиям относятся композиции игр, введенные фон Нейманом и Моргенштерном (в гл. IX). Пока не удалось обнаружить иных достаточно естественных конструкций, применимых к произвольным играм. Однако для простых игр Шепли [6] ввел понятия суммы и произведения.

Пусть Г (Pi, Wi) и Г (Р2, W2) - две простые игры в 0-1-редуциро-ванной форме с непересекающимися множествами игроков (здесь и далее Pi, Р2 и Р - множества игроков в играх, W, W2 и W - соответствующие множества выигрывающих коалиций; характеристические функции этих игр обозначены через vt, v2 и v). Суммой этих двух игр называется игра

Г (Ри Wt) 0 Г (Р2, W2) = Г (Р, W), где P = Pi\]P2, причем для любого S cz Р

v(S) = vi(S()Pl)-hv2(Sr]Pz)

(где в отличие от композиции сложение понимается в булевском смысле). Аналогично произведением этих же игр называется игра

T{PbWd®T(P24 W2) = T(P, W),

где также P = Pi[]P2l а для любого S cz Р

v(S) = vt (S[]Pi)v2(S[]P2).

Оказывается, что введенные конструкции в каком-то смысле инвариантны относительно понятия решения: решения сумм и произведений получаются определенным образом из решений компонент.

Некоторый выход за пределы простых игр осуществляется в конструкции Оуэна [1], которая названа им тензорной композицией игр.

Исследовались и отдельные классы простых игр. Так, еще фон Нейман и Моргенштерн (в гл. X) рассматривали различные виды мажоритарных игр.

Ботт.[1] вводит мажоритарные (п, &)-игры, где п/2 < к < п, полагая

/ ЧН если \S\<k, VW - п \$\, если \S\k,

и находит единственный класс решений, переходящих друг в друга при автоморфизмах игры. Дальнейшие результаты об этом классе игр получил Джил лис [1].

8. Наряду с решением игры разумный класс дележей представляет рассмотренное Джиллисом [2] с-ядро (core), состоящее из всех дележей, не доминируемых какими-либо другими дележами. Разумность с-ядра определяется тем его свойством, что оно состоит из всех дележей (аь ... . . ., ап), для которых

2 at>v(S)

при любой коалиции S (т. е. что в условиях дележа из ядра ни одна коалиция не является эффективной). Поэтому любая коалиция будет удовлетворена дележом, принадлежащим с-ядру, и не будет использовать своих собственных стратегических возможностей.

Ясно, что с-ядро является замкнутым ограниченным выпуклым множеством, содержащимся в любом решении игры. Однако для многих игр с-ядро оказывается пустым. Джиллис [2] показал, что для наличия; у игры совпадающего с с-ядром решения достаточно, чтобы все значения характеристической функции игры были меньше чем 1/лг, где п - число игроков. В дальнейшем этот результат был усилен О. Н. Бондаревой [1], которая начала систематически использовать в теории кооперативных игр аппарат линейного программирования.

9. Существенно иной подход к кооперативным играм был предложен Ауманом и Машлером в заметке [1], которая положила начало новому направлению в теории кооперативных игр. Этот подход основан на рассмотрении в известном смысле устойчивых исходов игры, к которым игроки приходят в результате переговоров при полном обмене информацией, угрозах, контругрозах и т. п. Множество получающихся при этом устойчивых исходов называется договорным множеством игры и может быть найдено в результате решения систем линейных неравенств. Основные факты складывающейся при этом теории см. в работе Аумана и Маш-лера [2]. Дальнейшие результаты содержатся в статьях Дэвиса и Маш-