Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 [ 220 ] 221 222 223 224 225 226 227

лера [1] и Пелега [1]. Некоторые соображения об этом направлении теории игр см. в предисловии О. Моргенштерна к данной книге.

10. Исследования по кооперативной теории без трансферабельной полезности, но с побочными платежами немногочисленны. Первая попытка построения такой теории на описательном уровне была предпринята Шепли и Шубиком [1] (см. также § 10.4 книги Льюса и Райфы [1] и обзорную статью Аумана [2]).

11. Переход от классической кооперативной теории к теории игр без побочных платежей формально сводится к обобщению понятия характеристической функции (см. обзорную статью Аумана [2]).

Пусть / - множество игроков, каждому из которых поставлена в соответствие координата евклидова пространства Et. Для любой коалиции S через -Eg обозначается координатное подпространство Е1г натянутое на координатные оси, соответствующие игрокам из S. Точки Es называются векторами выигрышей S.

Тот факт, что значение характеристической функции для данной коалиции S было равно v (S), в классической теории означал возможность для этой коалиции форсировать такой дележ, в котором сумма компонент, соответствующих игрокам из S, была не меньше чем v (S). Геометрически это означает, что множество гарантированных для коалиции S векторов выигрышей составляет полупространство

По существу, как раз наличие побочных платежей позволяет произвольным образом распределять всю сумму v (S) между членами коалиции. При отказе от побочных платежей картина изменится именно в этом пункте.

Пусть и (S) - множество векторов выигрышей, которые может обеспечить себе коалиция S. Это множество и будет называться значением характеристической функции для коалиции S. Естественно потребовать, чтобы характеристическая функция удовлетворяла следующим аксиомам:

v (S) является выпуклым, замкнутым и непустым множеством (выпуклость отражает возможность смешивания стратегий, замкнутость - естественное свойство возможностей, а непустота - факт участия в игре).

Если х £ v (S), у £ Es и у х, то у £ v (S) (т. е. множество v (S) имеет только северо-восточную границу; содержательно это достаточно естественно: способная на большее коалиция способна и на меньшее).

(3) Для непересекающихся коалиций S и Т

v{S)xv{T)czv{S[)T)

(это условие обобщает классическую аксиому супераддитивности характеристической функции: возможности объединения во всяком случае не уже, чем комбинации возможностей коалиций, действующих порознь).

Выделим теперь в v (I) некоторую часть, примыкающую к ее северовосточной границе, т. е. для которой выполняется следующее соотношение:

v(I) = {x£Ej\ существует вектор уН, для которого у>х}.

Н состоит из всех тех векторов выигрышей, которые допустимы по внешним обстоятельствам.

Пара (у, Н) и называется игрой без побочных платежей.



12. По аналогии с классическим случаем характеристическая функция дает основание для введения понятия дележа как вектора выигрышей, являющегося одновременно индивидуально и универсально рациональным. В данном случае эти условия рациональности применительно к вектору х записываются соответственно как

xi=z max v (г);

Не существует вектора у £ v (I), для которого у > х.

Понятие доминирования дележей переносится с классического случая на рассматриваемый почти буквально: дележ х доминирует дележ у относительно каолиции S, если х £ v (S) и xt > yt для каждого i £ S; дележ х доминирует дележ у, если х доминирует у относительно некоторой коалиции.

Доминирование порождает понятия решения, ядра и т. д., а также всю относящуюся к ним проблематику. Так как возможности игр без побочных платежей существенно шире, чем возможности классических игр, построение многих опровергающих примеров оказывается более легким делом. Так, например, вопрос о всеобщей разрешимости игр без побочных платежей был решен в отрицательном смысле раньше, чем для классических кооперативных игр: как показал Стерне (см. стр. 9 обзорной статьи Аумана [2]), существует игра 7 лиц, не имеющая решения.

13. При воспроизведении игры без побочных платежей из ее нормальной, стратегической формы, кроме ее обычной характеристической функции (которую мы будем здесь обозначать через va), описывающей векторы выигрышей, которые участники коалиции могут себе обеспечить, возникает еще другая функция, описывающая те векторы выигрышей, получению которых остальные игроки не могут воспрепятствовать. Эта вторая функция также удовлетворяет аксиомам характеристической функции и обозначается через ур. Функции иа и v$ в известном смысле аналогичны максиминному и минимаксному выигрышам.

В классической кооперативной теории (т. е. при побочных платежах и трансферабельной полезности) обе функции va и v$ совпадают. Иенч в своей единственной, но весьма содержательной работе [1] исследовал более широкие возможности совпадения функций va и v$. Те игры, для которых va = ур, он называет чистыми, приводит примеры игр, не являющихся чистыми, и устанавливает, что для чистоты любой игры с данным множеством участников каждая коалиция должна обладать некоторой социальной функцией полезности для побочных платежей. Иенч замечает (не приводя доказательства), что к такой социальной функции полезности приводит предложенная Бернулли логарифмическая шкала индивидуальной полезности.

14. Как и в классическом случае, множественность дележей в решении (как и в ядре), а также множество самих решений в игре снижают нормативную ценность решения, и встает вопрос о выборе по каждой игре некоторого единственного дележа, который можно было бы достаточно обоснованно считать справедливым . Для классической кооперативной теории таким дележом оказался вектор значений Шепли (см. II.6.3). Ему же в работе [7] удалось распространить соответствующее определение на случай игр без побочных платежей.

Ряд дальнейших результатов, касающихся игр без побочных платежей, а также обстоятельная библиография приводятся в обзорной статье Аумана [2].



§ 4. БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ И КОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ

1. Как классическая кооперативная теория, так и теория игр без побочных платежей, по существу, имеют дело с поведением коалиции в условиях ее окружения, сводя большинство вопросов к антагонистической постановке или хотя бы к антагонистическим аналогиям. Ясно, что для более полного исследования игровых ситуаций нужны прежде всего более общие принципы разумного поведения игроков.

Решительный шаг в этом направлении был сделан Нэшем [2], распространившим основную идею принципа максимина на произвольные бескоалиционные игры. Его рассуждения сводятся к следующему.

- бескоалиционная игра (причем / является множеством игроков, St - множеством всех стратегий для каждого игрока i, а Нг - его функция выигрыша). В качестве основного руководящего принципа поведения игроков в такой игре естественно принять следующий принцип осуществимости цели: действия игроков считаются разумными, если ситуация, являющаяся целью их совместных усилий, осуществима, т. е. если ни один из игроков не заинтересован в нарушении этой ситуации.

Более формально принцип осуществимости цели выглядит следующим образом.

Если s - ситуация в игре Г, a st - произвольная стратегия игрока i, то через s \\ st обозначается ситуация, получаемая из ситуации s в результате замены в ней имеющейся стратегии игрока i на его стратегию st.

Ситуация 5* в игре Г называется приемлемой для игрока i, если для любой его стратегии st имеет место неравенство Ht (s* st) Нг (5*). Ситуация называется равновесной, если она является приемлемой для каждого игрока.

Если понимать процесс игры как выбор игроками своих стратегий на основе предварительной договоренности, то именно в ситуациях равновесия и только в них каждый игрок не будет иметь побудительных мотивов к нарушению своих обязательств.

Нетрудно проверить, что если бескоалиционная игра Г оказывается антагонистической, то принцип осуществимости цели превращается в принцип максимина, а ситуации равновесия оказываются седловыми точками.

2. Хотя формально ситуации равновесия выполняют в теории бескоалиционных игр ту же роль, что и седловые точки в играх антагонистических, но нормативное их значение существенно меньше: знание игроком своих стратегий, входящих в ситуации равновесия, еще не обеспечивает ему возможности осуществлять оптимальный образ действий. Это понятно, так как неантагонистические игры, вообще говоря, не исчерпываются своим стратегическим аспектом.

В качестве примера можно привести неантагонистическую игру двух лиц, известную под названием семейного спора . В ней каждый из игроков имеет по две чистых стратегии, а функции выигрыша описываются следующими таблицами:

Пусть

Выигрыши игрока 1

Выигрыши игрока 2





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 [ 220 ] 221 222 223 224 225 226 227