Очевидно, одновременный выбор игроками первых или вторых стратегий приводит к ситуациям равновесия. Таким образом, в данной игре равновесной является каждая чистая стратегия игрока (а также, между прочим, еще одна из смешанных).

Вместе с тем получающиеся ситуации равновесия здесь, очевидно, неравноправны: первый, игрок явно должен предпочитать ситуацию равновесия, образованную первыми чистыми стратегиями, а второй игрок - вторыми. Очевидно, выбор той или другой из этих ситуаций равновесия может быть решен только в результате переговоров между игроками.

В этом примере мы снова сталкиваемся с нашим неумением сводить кооперативный аспект проблемы к стратегическому. Канонический выбор среди многих ситуаций равновесия произвольной игры является сложной проблемой. Интересные подходы к этому кругу вопросов содержатся в работах Харшаньи [1], а также Крелле и Кёнена [1].

3. Довольно общие принципы разумности договоров между игроками предложил Нэш в своей работе [2].

Каждый договор между двумя игроками приводит к получению ими некоторых выигрышей г* и г2. Это значит, что каждый договор характеризуется парой чисел (г4, г2) и может быть поэтому представлен точкой на плоскости. Предположим, что R есть множество точек, соответствующих всевозможным договорам. Среди всех возможных исходов договоров выделяется один, к которому игроки приходят, когда попытка договориться не увенчивается успехом. В этом случае выигрышами игроков будут те количества, которые получаются игроками в одиночестве. Соответствующая такому исходу точка г° = (rj, г°2) иногда называется статус-кво .

Пусть F (R, г°) - функция, определенная на множестве всех договорных схем, значениями которой являются векторы (пары) выигрышей. Эта функция определяет, какие выигрыши следует считать для игроков справедливыми в условиях каждой из договорных схем.

Согласно Нэшу, естественно потребовать, чтобы справедливая договорная схема удовлетворяла следующим аксиомам:

(1) Эффективность

F(R, r°)r°

(иными словами: договор справедлив, если каждый из договаривающихся от него не проигрывает).

(2) Симметрия: если множество R расположено симметрично относительно биссектрисы координатного угла г4 = г2, а компоненты вектора г° равны, то и компоненты вектора F (R, г°) должны быть равны (при одинаковом положении в схеме игроки должны получать одинаковые выигрыши).

(3) Оптимальность по Парето: в договоре F (R, г°) оба игрока не могут одновременно увеличить свои выигрыши (это свойство договора скорее следует связать не с его справедливостью, а с его общей разумностью: разумный договор нельзя улучшить так, чтобы каждый из его участников увеличил свой выигрыш).

(4) Монотонность относительно области: если Rt a Rz и F (R2, r°) £

то F (i?1? r°) = F (Д2, г°) (если в широкой договорной схеме справедливость требует выбора договора из более узкой схемы, то при переходе к узкой схеме сохранится старый справедливый договор).

(5) Инвариантность относительно начала отсчета и единиц измерения: при любых положительных к± и к2

Ч(о I) я+г- (о 0 г°+г Но г°)+к

(эта аксиома, по существу, выражает линейность подразумеваемых функций полезности).

Сформулированная система аксиом является полной. Именно имеет место следующая теорема: если функция F = (F±, F2) удовлетворяет аксиомам (1) - (5), то

(Ft (R, г ) - г[) (F2 (R, г°) - 4) = max (г, - rj) (rz - r°2),

r=(ri, r2)E#

т. е. справедливым договором признается тот, при котором максимизируется произведение приращений выигрышей игроков по сравнению со статус-кво.

Подробный критический анализ этого круга вопросов содержится в книге Льюса и Райфы [1].

4. Существование ситуаций равновесия в любой конечной бескоалиционной игре (разумеется, вообще говоря, в смешанных стратегиях) было доказано Нэшем [1]. Это доказательство, как и первое доказательство фон Неймана [1] теоремы о минимаксе (естественным обобщением которой оно является), опирается на теорему Брауера о неподвижной точке. Однако, в отличие от теоремы о минимаксе, здесь едва ли можно надеяться на нахождение доказательства, опирающегося на достаточно элементарные и достаточно эффективные процедуры (вроде теоремы об отделимости выпуклых множеств). Дело в том, что, как показывают примеры, с увеличением числа игроков для нахождения компонент ситуаций равновесия приходится выполнять иррациональные операции все более высоких степеней.

Теорема Нэша поддается обобщению на случай бесконечных игр. Несколько весьма интересных примеров теорем такого рода содержится в книге Бургера [1].

5. Обычно в бескоалиционных играх принимается, что игроки могут в качестве смешанных стратегий применять любое вероятностное распределение на множестве чистых стратегий. У Вень-цзюн [2] рассматривает игры, в которых множество чистых стратегий каждого игрока задано вместе с некоторым своим покрытием, причем допускаются только такие смешанные стратегии, в которые входят только такие чистые стратегии, которые принадлежат одному и тому же элементу покрытия. Такие игры он называет играми с ограничениями. В играх с ограничениями равновесными ситуациями считаются те ситуации а, в которых Нг (о \\ st) :g Ht (а) для всех i и всех тех чистых стратегий st, которые принадлежат элементу покрытия, агвероятность которого равна единице. Используя весьма тонкие топологические рассуждения, У Вень-цзюн установил, что достаточным условием существования ситуаций равновесия в играх с ограничениями является, во-первых, связность нервов покрытий множеств стратегий всех игроков и, во-вторых, неравенство нулю их характеристики Эйлера - Пуанкаре.

6. Никаких общих методов нахождения ситуаций равновесия в бескоалиционных играх пока не известно.

Алгорифм для численного решения биматричных игр был указан Н. Н. Воробьевым [1] и затем усовершенствован Куном [2]. Более практичный, но не столь полный алгорифм принадлежит Лемке и Хаусону [1].

Бесконечные бескоалиционные игры удается решать лишь в отдельных, весьма немногочисленных случаях. К их числу принадлежит весьма интересный пример игры олигополистов , приводимый в книге Бургера [1].

По существу, к бескоалиционным играм относится теория справедливого дележа, выросшая из старинной задачи о разделе имущества, проводимого по принципу один делит - другой выбирает . Впервые с теоретико-игровой точки зрения к этой задаче подошел Штейнгауз (см. сообщения Кнастера и Штейнгауза [1]). Последние результаты в этом направлении содержатся в статье Куна [3].

7. Каждой игре присущ некоторый набор полезностей, за обладание которыми ведут борьбу игроки. В классической кооперативной теории (с трансферабельной полезностью) такая полезность была единой для всех игроков. В теории бескоалиционных игр этих полезностей имеется ровно столько, сколько игроков, и каждый игрок имеет свою собственную полезность, описываемую его функцией выигрыша. Естественное и вполне актуальное обобщение, допускающее разнообразные интерпретации, состоит в том, что каждому виду полезности, фигурирующему в качестве целей игроков, соответствует некоторое (очевидно, непустое) множество игроков, причем один игрок может, вообще говоря, быть заинтересованным в различных полезностях. Множество всех игроков, ведущих борьбу в направлении максимизации одной и той же полезности, является коалицией (именно коалицией интересов). Выигрыш каждой коалиции считается принадлежащим ей как таковой и не подлежащим какому-либо разделению между членами коалиции. Ясно, что различные коалиции могут и пересекаться.

Наряду с коалициями интересов в играх встречаются еще и коалиции действия, участники которых могут обмениваться информацией по выбору совместной коалиционной стратегии и, в частности, предпринимать коррелированные рандомизированные действия. Рассмотрение таких совместных рандомизированных действий пересекающихся коалиций осложняется тем, что действия различных групп игроков должны быть согласованными, а это может оказаться препятствием к вероятностной интерпретации смешанных действий. Поэтому комплекс коалиций не может быть произвольным, а должен подчиняться некоторым комбинаторным условиям.

Естественное распространение принципа осуществимости цели на коалиционные игры приводит к рассмотрению устойчивых ситуаций, в которых некоторые группы игроков не заинтересованы в отклонении от своих запланированных действий, даже если те или иные их партнеры по коалициям нарушат свои первоначально взятые обязательства.

В частности, если правилами игры не предусмотрена какая-либо реакция игроков на нарушения обязательств их партнеров по коалициям, т. е. если игра фактически превращается в бескоалиционную, то описанные устойчивые ситуации превращаются в равновесные ситуации в смысле Нэша (см. III.4.1).

Существование такого рода, устойчивых ситуаций доказано в статье Н. Н. Воробьева [5].

§ 5. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ

1. Использование смешанных стратегий в качестве оптимальных решений, распространение теоремы о минимаксах н8 различные классы бесконечных игр, связь матричных игр с линейным программированием - все это на первых порах заслонило, быть может, даже более глубокие идеи, содержащиеся в монографии фон Неймана и Моргенштерна: теорщо позиционных игр и кооперативную теорию. Достаточно сказать, что до появления в 1953 г. сборника [3] к этим вопросам никто не возвращался.