и выигрыши задаются в точках границы. Если траектория бесконечное время остается внутри 4, то на ней также определяется некоторый выигрыш.

В приведенном определении обращает на себя внимание некоторая нечеткость в определении множеств стратегий игроков: для того чтобы некоторые функции ф и гр были стратегиями, очевидно, необходимо, чтобы при подстановке этих ф и гр в (5) получалась система дифференциальных уравнений, имеющая единственное решение.

Типичным примером дифференциальной игры является игра преследования , в которой фазовые координаты определяют положения (а иногда и скорости) нескольких объектов, из которых одни называются преследователями, а другие - преследуемыми. Каждый игрок управляет координатами подчиненных ему объектов. Игра заканчивается в заранее указанный момент, причем выигрыш преследователей определяется близостью преследующих объектов к преследуемым в момент окончания игры. (Первая математическая постановка игры преследования принадлежит Вармусу [1].)

В качестве другого примера можно указать на игру перетягивания в которой два игрока прилагают к некоторой материальной точке силы, стремясь придать ей к концу игры желательные фазовые координаты. Очевидно, игры преследования можно рассматривать как частный случай игр перетягивания (в соответствующем фазовом пространстве).

Систематическое рассмотрение как отдельных примеров игр такого рода, так и общих теоретических соображений было предпринято Айзек-сом еще в начале 50-х годов. Его первые работы были изложены в неопубликованных Меморандумах корпорации РЭНД в 1954 и 1955 гг., а подробное изложение полученного материала было напечатано в виде монографии [1]. Свои результаты Айзеке фактически получает применением принадлежащего Беллману метода динамического программирования и поэтому сталкивается со всеми теми трудностями, которые этому методу присущи. Дальнейшие результаты на этом пути получил Л. А. Петросян [1, 2].

Более тонкий и мощный подход содержится в работах Л. С. Понтря-гина [1]. Этот подход основан на рассуждениях, близких к тем, которые приводят к принципу максимума. При этом решение дифференциальной игры сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Предпринимались попытки свести решение дифференциальной игры к решению игры с дискретным временем с последующим предельным переходом. Здесь следует назвать работы Скарфа [1] и Флеминга [1, 2, 3].

Обстоятельные исследования дифференциальных игр, основанные на использовании аппарата и результатов вариационного исчисления, были проведены Флемингом и Берковицем [1] и Берковицем [1].

Весьма подробные обзоры работ по теории дифференциальных игр содержатся в статьях Симаковой [1], а также Зеликина и Симаковой [1L

Октябрь 1967 г.

Список сборников, содержащих часть статей, указанных в библиографии, помещен в конце библиографии. Там же приводится указатель соавторов.

Айзеке (IsaaksR.)

[1] Differential games, J. Wiley, N.Y., 1965. Рус. пер.: Дифференциальные игры, Мир , М., 1967. Ауман (A u m a n n R. J.)

[1] Linearity of unrestrictedly transferable utilities, Nav. Res. Log. Quart. 7 (1960), № 3, 281-284.

[2] A survey of cooperative games without side payments, Сборн. [14], 3-27. Ауман, Машлер (Aumann R. J., Maschler M.)

[1] An equilibrium theory for тг-person games cooperative, Amer. Math. Soc. Notices 8 (1961), 261.

[2] The bargaining set for cooperative games, Сборн. [13], 443-476. /

Бак (Buck R. С.)

[1] Preferred optimal strategies, Proc. Amer. Math. Soc. № 2 (1958), 312-314. Рус. пер.: Предпочтительные оптимальные стратегии, Сборн. [12], 133-136. Б аут он (В о u t о п С. L.)

[1] Nim, a game with a complete mathematical theory, Ann. Math., Princeton 2, № 3 (1902), 35-39. Баше де Мезирак (Bachet de Meziriac)

[1] Problemes plaisants et delectables, qui se font par les nombres, Lyon, 1612. Б e p ж (В e r g e C.)

[1] Theorie generale des jeux a n personnes, Paris, Gauthier-Villars, 1957. Рус. пер.: Общая теория игр нескольких лиц, Физматгиз, М., 1961. Берковиц (Berkovitz D.)

[1] A variational approach to differential games, Сборн. [13], 127-174. [2] A differential game without pure strategy solutions on an open set, Сборн. [13], 175-194.

Берковиц, Флеминг (Berkovitz D., Fleming W. H.)

[1] On differential games with integral payoff, Сборн. [6], 413-435. Бертран (Bertrand J.)

[1] Calcul des probabilites, Paris, 1888. Б e p ч (Birch B. J.)

[1] On games with almost complete information, Proc. Cambridge Phil. Soc. 51, № 2 (1955), 275-287. Рус. пер.: Об играх с почти полной информацией, Сборн. [16], 72-93. Блекуэлл, Гиршик (Blackwell D., Girshick М.~ А.)

[1] Theory of games and statistical decisions, London, 1954. Рус. пер.: Теория игр и статистических решений, М., ИЛ, 1958. Бондарева О. Н.

[1] Некоторые применения методов линейного программирования и теории кооперативных игр, Проблемы кибернетики, 10 (1963), 119-139. Боненбласт, Карлин, Шепли (Bohnenblust Н. F., Karl in S., S h a p.l е у L. S.)

[1] Solutions of discrete two-person games, Сборн. [1], 51-72. Рус. пер.: Решение

дискретных игр двух лиц, Сборн. [10], 17-44. Борель ( В о г е 1 Е.)

[1] La theorie du jeu et les equations integrales a noyau symetrique, Comptes Rendus

de PAcademie des Sciences 173 (1921), 1304-1308. Англ. пер.: The theory of

play and integral equations with skew symmetric kernels, Econometrica 21, № 1

(1953), 97-100.

[2] Sur les jeux ou interviennent lhasard et lhabilete des joueurs, Theorie des probabilites, Paris, 1924, 204-224. Англ. пер.: On games that involve chance and the skill of the players, Econometrica 21, 1 (1953), 101-115.

[3] Sur les systemes de formes lineaires a determinant symetrique gauche et la theorie generale du jeu, Comptes Rendus de lAcademie des Sciences 184 (1927), 52-53.

Англ. пер.: On systems of linear forms of skew symmetric determinant and . the general theory of play, Econometrica 21, 1 (1953), 116-117. Ботвинник M. M.

[1] Алгоритм игры в шахматы, Наука , М., 1968. Б о т т (В о 11 R.)

[1] Symmetric solutions to majority games, Сборн. [3], 319-324. Браун, фон Нейман (Brown G. W., von Neumann J.)

[1] Solutions of games by differential equations, Сборн. [1], 73-79. Б у p г e p (Burger E.)

[1] Einfuhrung in die Theorie der Spiele, W. de Gruyter, Berlin, 1959. Вальд (Wald A.)

[1 ] Generalization of a theorem by v. Neumann concerning zero sum two-person games,

Ann. Math. 52 (1950), 739-742. [2] Statistical decision functions, New York, 1950. Рус. пер.: Статистические решающие функции, Сборн. [16], 300-522. Вармус (Warmus М.)

[1] Un theorem е sur la poursuite, Compte-rendus de la societe Polonaise de mathe-matique, t. XIX (1946), seance 17.V.1946, Cracovie, Imprimerie de lUniversite, 1947. В и л к а с Э. И.

[1] Аксиоматическое определение значения матричной игры, Теория вероятн. и ее примен. 8, № 3 (1963), 324-327. Билль (V i 1 1 е J.)

[1] Sur la theorie generale des jeux ou intervient rhabilite des joueurs, Traite du calcul des probabilites et de ses applications, Applications des jeux de hasard, E. Borel et collab., Paris, Gauthier-Villars, 1938, v. IV, fasc. 2, 105-113. Винер (Wiener N.)

[1] The human use of human being. Cybernetics and society, Eyre and Spottiswood, London, 1950. Рус. пер.: Кибернетика и общество, М., ИЛ, 1958. Воробьев Н. Н.

[1] Ситуации равновесия в биматричных играх, Теория вероятн. и ее примен.

3, №3 (1958), 318-331. [2] Расчлененные стратегии в позиционных играх, Проблемы кибернетики 7 (1963), 5-20.

[3]]Некоторые методологические проблемы теории игр, Вопросы философии, 1 (1966), 93-103.

[4] Игры с не полностью известными правилами, Международный конгресс математиков 1966 г., Тезисы кратких научных сообщений, Секция 13, стр. 15.

[5] Коалиционные игры, Теория вероятн. и ее примен. 12, № 2 (1967), 289-306.

[6] Редуцированные стратегии в позиционных играх, Сборн. [16], 94-113.

[7] Применения теории игр в технических науках, IV InternationalerKongress uber Anwendungen der Mathematik in den Ingeneurwissenschaften, Weimar, 1967, Bd. 1, 411-422.

[8] Художественное моделирование, конфликты и теория игр, в сб. Содружество наук и тайны творчества , Искусство , М., 1968, 348-372. Вульф (Wolfe Р.)

[1] Determinateness of polyhedral games, Сборн. [5]. Рус. пер.: Определенность полиэдральных игр, Сборн. [8], 298-301.

[2] The strict determinateness of certain infinite games, Pacific J. of Math., 5 (1955), 891-897.

Гай, Смит (Guy R. К., Smith С. A. B.)

[1] The G-values of various games, Proc. Cambridge Phil. Soc.J 52, № 3 (1956), 514-526.

Гальмарино (Galmarino A. R.)

[1] On the cardinality of solutions of four-person constant-sum games, Сборн. [13], 327-344. Г ей л (Gale D.)

[1] The theory of linear economic models, McGraw-Hill book Co., New York, 1960. Рус. пер.: Теория линейных экономических моделей, ИЛ, М., 1963. Г е й л, Г р о с с (Gale D., Gross О.)

[1] A note on polynomial and separable games, Pacific J. Math., № 4 (1958), 735-741. Рус. пер.: Заметка о полиномиальных и вырожденных играх, Сборн. [12], 195-204. Г е й л, К у н, Т а к к е р (Gale D., К u h n Н. W., Tucker A. W.) [1] Linear programming and the theory of games, Сборн. [2], 317-329.