область возможного изменения для этого элемента. Однако разбиение не дает нам фактической информации - это свелось бы к выбору некоторого элемента этого разбиения, так как такой элемент является подмножеством Q, т. е. дает фактическую информацию.

Поэтому мы можем сказать, что разбиение в Q является информационной схемой. Что касается подмножеств Q, то в п. 8.4.1 мы видели, что каждое из них соответствует определенной информации. Чтобы избежать путаницы с терминологией, используемой для разбиений, мы будем в этом случае (т. е. для подмножества Q) употреблять термин фактическая информация.

Рассмотрим теперь определение (8:В:с) из п. 8.3.1 и сопоставим его с нашей теперешней терминологией. Оно выражает для двух разбиений Jk и в Q смысл того утверждения, что Л является подразбиением 38. Это сводится к утверждению о том, что информация, даваемая разбиением Л, содержит всю информацию, даваемую разбиением 98 (а возможно, еще и больше); иными словами, информационная схема Jb содержит информационную схему 98.

Эти замечания показывают значение рис. 4-9 из п. 8.3.2 в некотором новом свете. Представляется, в частности, что дерево, изображенное на рис. 9, описывает последовательность непрерывно возрастающих информационных схем.

§ 9. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ ИГРЫ 9.1. Разбиения, описывающие игру

9.1.1. Пусть число ходов фиксировано - мы теперь знаем, что такое допущение] правомерно. Обозначим это число снова через v, а сами ходы - через <Mi, . . ., oMv.

Рассмотрим все возможные партии игры Г и составим множество Q, элементами которого они являются. Если воспользоваться описанием, данным в предыдущих пунктах, то всевозможные партии будут попросту всевозможными последовательностями а4, . . ., ov *). Таких последовательностей существует лишь конечное число 2), так что Q является конечным множеством.

Однако имеются также и более непосредственные пути формирования Q. Мы можем, например, образовать это множество, описывая каждую партию как последовательность v + 1 последовательных позиций, возникающих при ее протекании 3). В общем, разумеется, не всякая позиция может следовать за данной позицией, но позиции, возможные в данный момент, ограничены предыдущими позициями некоторым специальным образом, который должен быть точно описан правилами игры 4). Так как наше описание правил игры начинается с образования Q, может оказаться нежелательным допускать столь жзсткую зависимость самого Q от всех деталей этих правил. Отметим поэтому, что нет никаких возражений против включения в Q также и абсурдных последовательностей позиций 5). Таким образом, было бы вполне допустимо даже

г) См., в частности, п. 6.2.2. Область изменения аь . . ., o*v в сноске на стр. 85.

2) Доказательство сразу следует из указанной выше сноски.

3) Перед оМи между оМ и оМг, между <М2 и еМ3 и т. д., между gMv i и ©#v, после qMv.

*) Это аналогично развертыванию последовательности о*!, . . ., ov, как оно описано в сноске на стр. 85.

5) То есть последовательностей, которые впоследствии окажутся запрещенными правилами игры, когда последние будут сформулированы полностью.

образовывать й из всех последовательностей v + 1 последовательных позиций без всяких ограничений.

Наши дальнейшие описания покажут, как следует выбирать реально возможные партии из этого, возможно избыточного, множества Й.

9.1.2. Задавшись v и й, приступим к рассмотрению более сложных деталей развития партии.

Рассмотрим определенный момент в этом развитии, скажем тот, который непосредственно предшествует данному ходу g/#x. В этот момент правила игры должны давать следующие общие сведения.

Во-первых, необходимо описать, до каких пределов события, которые привели к ходу оМ1), определили развитие партии. Любая конкретная последовательность этих событий сужает множество Й до некоторого подмножества А*А, представляющего собой множество всех тех партий из Й, развитие которых до хода оМх совпадает с указанной последовательностью. В терминологии предыдущих пунктов Й является, как отмечалось в п. 9.1.1, множеством всех последовательностей а1? . . ., av; тогда А к будет множеством тех последовательностей ои . . ., av, для которых а*., . . ., crx i имеют данные численные значения (см. сноску 1). Однако с нашей теперешней более широкой точки зрения нам достаточно лишь указать, что А должно быть некоторым подмножеством Й.

Теперь различные возможные развития, которые игра может принять до хода оМю должны быть представлены различными множествами А. Любые два таких развития, если они отличны друг от друга, порождают два совершенно различных множества партий; это значит, что никакая партия не может начаться (т. е. дойти до о£%) обоими путями одновременно. Отсюда следует, что любые два различных множества Ак должны быть дизъюнктными.

Таким образом, полные формальные возможности развития всех мыслимых партий нашей игры вплоть до хода оМ описываются семейством попарно непересекающихся подмножеств множества Й. Это и есть семейство всех множеств А и, упомянутых выше. Мы обозначим его через

Объединение всех множеств Aw содержащихся в Ан, должно содержать все возможные партии. Но так как мы явным образом допустили избыточность й (см. конец п. 9.1.1), их объединение не обязано при этом быть равным й.

Резюмируем сказанное:

(9:А) является разбиением в й.

Мы могли бы сказать также, что разбиение Лх описывает информационную схему лица, которое знает все, что произошло до хода оМн2), т. е. схему некоего посредника, наблюдающего за развитием партии 3).

9.1.3. Во-вторых, должно быть известно, какой характер будет иметь ход оМк. Это выражается введенным в п. 6.2.1 индексом /сх. Именно кн = = 1, . . ., п, если ход является личным и принадлежит игроку к; кК = О, если ход является случайным. &х может зависеть от развития партии до хода о/Иъ, т. е. от информации, заключенной в Jky. 4). Это означает, что к%

г) Иначе говоря, выборы, связанные с предшествующими ходами сМ1ч . . ., ex i, т. е. численные значения стц . . ., о*.

2) То есть исходы всех выборов, связанных с ходами oMiy . . ., gM-i, или, в нашей прежней терминологии, значения ои . . .,

Введение такого лица необходимо, так как, вообще говоря, ни один игрок не располагает всей заключенной в А информацией.

4) В обозначениях п. 7.2.1 и в духе предыдущих сносок можно сказать, что

кк = К *

на каждом множестве А х из Лк должно быть постоянным, но что оно может меняться от одного А к другому.

Соответственно мы можем образовать для каждого к = О, 1, . . п множество В% (к), которое содержит все множества А для &х = к, причем различные J9X (к) дизъюнктны. Таким образом, В% (к), к = О, 1, . . п, образуют семейство непересекающихся подмножеств множества Q. Обозначим это семейство через 38 х.

(9:В) i?x снова является разбиением в Q. Так как каждое Л х из Л

является подмножеством некоторого J9X (к) из i?х, разбиение Л является подразбиением 38

У нас не было повода привести какое-либо перечисление множеств А х из A,/, с разбиением 38 дело обстоит иначе. 38 х состоит ровно из п -f- 1 множеств В к (к), к = 0, 1, . . ., п, которые, таким образом, входят сюда в некотором фиксированном перечислении посредством индекса к = О, 1, . . ., п 1). И это перечисление существенно, так как оно заменяет функцию кК (см. сноску 4 на стр. 94).

9.1.4. В-третьих, следует подробно описать условия, в которых должен иметь место выбор, связанный с ходом о£К.

Предположим сначала, что g#x является случайным ходом, т. е. что мы находимся в пределах множества ВК (0). Тогда существенными величинами будут число альтернатив ах и вероятности р% (1), . . ., /?х (ах) этих альтернатив (см. конец п. 6.2.1). Как отмечалось в п. 7.1.1 (там это было вторым предметом рассмотрения), все эти величины могут зависеть от всей информации, заключенной в ЛК (см. сноску 4 на стр. 94), поскольку (Му, является теперь случайным ходом. Это значит, что ах и рК (1), . . . . . ., рК (ах) должны быть постоянными на каждом множестве А% из Л 2), но могут меняться от одного АК к другому.

На каждом из этих множеств А х происходит выбор одной из альтернатив, т. е. выбор числа ох = 1, . . ., <хх (см. п. 6.2.2). Это можно описать, указав ах дизъюнктных подмножеств множества Аю которые отвечают выражаемому АК ограничению, плюс имевший место выбор ох. Мы обозначим эти множества через Сх, а их систему, состоящую из всех подмножеств С к множеств А к, которые являются подмножествами Бх (0), через %ъ (0). Таким образом, <ёх (0) представляет собой разбиение в В к (0), а поскольку каждое Сх из %% (0) есть подмножество некоторого А к из Aw то %ъ (0) будет подразбиением Л

Величины ах определяются разбиением $х (0) 3), поэтому мы можем больше о них не упоминать. Описание рх (1), . . ., /?х (ах) напрашивается само собой: с каждым Сх из х (0) должно быть связано число рх (Сх) (его вероятность), причем должны выполняться ограничения, эквивалентные указанным в сноске 2 на стр. 76 4).

г) Таким образом, &К в действительности является не множеством и не разбиением, а имеет более сложную природу: оно состоит из множеств i?x (&), к = 0, 1, . . . . . ., п, в указанном перечислении. Однако оно обладает свойствами (8:А:а) и (8:А:Ь) из п. 8.3.1, характеризующими разбиение. Но и здесь следует сделать одно исключение: среди множеств В% (к) могут быть пустые.

2) Мы находимся в пределах ВК (0); следовательно, все это относится только к тем Акоторые являются подмножествами данного 2?х (0).

3) ах является числом тех Сх из gx (0), которые являются подмножествами данного А п.

4) То есть все (Сх) 0 и для каждого Лх будет JjP* (*) ~ Где сУмма распространена на все Сх из gx (0), являющиеся подмножествами Лх.