9.1.5. Предположим теперь, что является личным ходом, скажем, игрока к = 1, . . ., п, т. е. что мы находимся в пределах множества (к). В этом случае мы должны определить состояние информации игрока к при ходе (М. В п. 6.3.1 оно описывалось посредством множества Лх, в п. 7.2.1 - при помощи семейства функций Фх, причем последнее описание было более общим и окончательным. Согласно этому описанию игрок к при ходе оМ-у знает значения всех функций h (04, . . ., ax i) из Фх и ничего больше. Этот объем информации определяет некоторое разделение В (к) на несколько непересекающихся подмножеств, соответствующих различным возможным содержаниям информации игрока к при ходе оМ. Обозначим эти подмножества через Z>x, а их систему - через 3 % (к). Таким образом, 3)у (к) является разбиением в В% (к).

Разумеется, информация игрока к при ходе Л% является частью общей информации, имеющейся в этот момент (в смысле п. 9.1.2), которая воплощена в А у Следовательно, ни в одном множестве АКиз Jbw являющемся подмножеством В% (к), не может проявиться никакой двусмысленности, т. е. это А н не может иметь общих элементов более чем с одним D% из 3х (к). Это означает, что рассматриваемое А% должно быть подмножеством некоторого Dy из 3%(к). Иными словами, на множестве ВК (к) семейство А% представляет собой подразбиение 3 (к).

В действительности развитие партии сужается при ходе до множества А% из А%. Но игрок к, которому принадлежит ход оМ-, этого не знает; насколько ему известно, партия находится попросту в пределах множества Dy из 3К (к). Теперь он должен произвести выбор одной из альтернатив Ан (1), . . ., Ау (ах), т. е. выбор ах = 1, . . ., ах. Как отмечалось в пп. 7.1.2 и 7.2.1 (особенно в конце п. 7.2.1), а% вполне может быть переменным, но оно может зависеть только от информации, заключенной в 3) у (к). Это значит, что оно должно быть постоянным на том множестве JDX из 3)н (к), которым мы ограничились. Таким образом, выбор ах = 1, . . .

. ., ах можно описать путем указания ах дизъюнктных подмножеств множества Z)x, которые отвечают выражаемому D% ограничению, плюс имевший место выбор ах. Обозначим эти множества через Сх, а их систему, состоящую из всех подмножеств СК множеств D% из 3% (к), через х (&). Таким образом, %х (к) есть разбиение в Вх (к), а поскольку любое С% из *ёх (к) является подмножеством некоторого D% из 3% (к), то % (к) будет подразбиением 3%(к).

Величины а% определяются разбиением %% (к) *); следовательно, мы можем больше о них не упоминать. ах не должно быть нулем, т. е. для данного Dy из 3К (к) должно существовать некоторое Сх из х (к), являющееся подмножеством Z)x 2).

9.2. Рассмотрение разбиений и их свойств

9.2.1. В предыдущих пунктах мы полностью описали положение дел в момент, предшествующий ходу g#x. Теперь мы перейдем к рассмотрению того, что будет происходить, когда мы продвигаемся по ходам к = 1, . . ., v. Нам будет удобно добавить к этим ходам еще один ход

1) ах есть число тех С% из gx (к), которые являются подмножествами данного Ах.

2) Мы требовали это только для к = 1, . . ., тг, хотя это может быть равным образом справедливо для к = 0, если вместо нашего из х (к) взято некоторое Лх, являющееся подмножеством ВК (0). Но формулировать это для данного случая нет необходимости, так как этот факт является следствием предыдущей сноски; действительно, если бы нужного множества СК не существовало, то приведенная в этой сноске сумма Ру, (Руд была бы равна нулю, а не единице.

с номером х = v + 1; он соответствует завершению партии, т. е. следует за последним ходом gSv.

Как уже говорилось в предыдущих пунктах, для и = 1, .... v мы имеем разбиения

Ау, #х = (Дх(0), Вк(1), Ву{п)),

Все они, за единственным исключением А;у относятся к ходу оМу, следовательно, их не нужно определять для к = v + 1, да и это невозможно. Но разбиение Av+\ имеет вполне ясный смысл, как показывает его рассмотрение в п. 9.1.2; оно представляет полную информацию, которая вообще может существовать применительно к партии, т. е. описывает индивидуальное развитие этой партии *).

Здесь напрашиваются два замечания. В смысле приведенных выше соображений разбиение А<± соответствует моменту, в который не имеется вообще никакой информации. Следовательно, А\ должно состоять из единственного множества Q. С другой стороны, Av+\ соответствует возможности фактической идентификации имевшей место партии. Следовательно, Av+i представляет собой систему одноэлементных множеств.

Теперь мы займемся описанием перехода от х к х + 1, когда х =

= 1, .... V.

9.2.2. Об изменении 38 у, 9о% (к), SB у (к) при замене к на к -f- 1 нельзя сказать ровно ничего. Наши предыдущие рассуждения показали, что при такой замене с этими объектами (т. е. с тем, что они представляют) может произойти все что угодно.

Однако можно описать, каким образом Ay+t получается из А у.

Информация, заключенная в Ay+i, получается из информации, заключенной в Aw добавлением к последней сведений об исходе выбора, связанного с ходом Му 2). Это должно быть ясно из рассуждений п. 9.1.2. Таким образом, информация в Ay+i, выходящая за рамки информации в Ау, является как раз информацией, заключенной в %у (0), %у (п). .

Это означает, что разбиения Ay+i получаются путем суперпозиции разбиения А у, со всеми разбиениями %у (0), (1), . . ., %у (к), т. е. путем образования пересечений любого А у из А у с каждым Су из всех <ёх (0), х (1), . . ., х (к) и последующего отбрасывания пустых множеств.

Благодаря связи А у и %у (к) с множествами By (к), которая рассматривалась в предыдущих пунктах, мы можем сказать об этом процессе суперпозиции даже несколько больше.

В By (0) разбиение %у (0) является подразбиением А у (см. обсуждение в п. 9.1.4). Следовательно, Ay+i попросту совпадает там с %у (0). В By (к), к = 1, . . ., п, как %у (к), так и Ау являются подразбиениями 3)у (к) (см. обсуждение в п. 9.1.5). Это значит, что Ау+1 получается там путем взятия сначала любого Dy из 3)у (к), затем для любого такого Dy - всех А у из А у и всех Су из х (к), являющихся подмножествами этого Ою и путем образования всех пересечений А у (] Су.

Любое такое множество А у f Су описывает те партии, которые возникают, когда игрок к, располагая информацией из Dy, но находясь

х) Или, в смысле сноски 4 на стр. 95, последовательность а4, . . ., о\. Последовательность же о-!, . . ., gv, как говорилось в п. 6.2.2, характеризует саму партию.

2) В нашей прежней терминологии - значения ах. \

г) В старой терминологии мы имели соответственно £Fk = 3Fk (сг1? . . ., av> (см. п. 6.2.2).

фактически в положении из А у (некоторого подмножества Dy), делает при ходе о/%% выбор Су так, чтобы ограничить положение дел множеством Су.

Так как этот выбор, в соответствии со сказанным выше, возможен, такие партии существуют. Иначе говоря, множество А у П Су должно быть непустым. Переформулируем это утверждение:

(9:С) Если А у из Л у и Су из %у (к) являются подмножествами

одного и того же Dy из 3)% (к), то пересечение А% {\ Су должно быть непустым.

9.2.3. Существуют игры, в которых можно поддаться искушению отбросить это требование. Это те игры, в которых игрок может сделать вполне законный выбор, который, однако, впоследствии оказывается запрещенным. Таковы, например, закрытые шахматы , упоминавшиеся в сноске 1 на стр. 84: в них игрок может сделать на первый взгляд возможный выбор ( ход ) на своей доске и (возможно) лишь после этого узнает от посредника , что этот выбор является невозможным .

Этот пример, однако, является незаконным. Рассматриваемый ход лучше всего разложить в последовательность нескольких альтернативных ходов. По-видимому, лучше всего привести предполагаемые правила закрытых шахмат полностью.

Игра состоит из последовательности ходов. На каждом ходе посредник объявляет обоим игрокам о том, был ли предыдущий ход возможным . Если он таковым не был, то следующий ход будет личным ходом того же игрока, что и предыдущий; если же он был возможным, то следующий ход будет личным ходом другого игрока. На каждом ходе игрок информирован обо всех своих предшествующих выборах, о всей последовательности возможностей или невозможностей всех предшествующих выборов обоих игроков, а также обо всех предшествовавших позициях, когда один из игроков объявлял шах или брал какую-либо фигуру. Но он знает точный состав только собственных потерь. При определении развития игры посредник не принимает во внимание невозможные ходы. В остальном игра разыгрывается по тем же правилам, что и шахматы, причем применяется правило остановки, описанное в замечании 1 на стр. 85, дополненное еще одним требованием: и один из игроков не может делать ( испытывать ) один и тот же выбор дважды в непрерывающейся последовательности своих личных ходов. (На практике, разумеется, для обеспечения этих условий, налагаемых на информацию, каждый игрок нуждается в отдельной шахматной доске, невидимой для его оппонента, но находящейся в поле зрения посредника .)

Во всяком случае, мы будем придерживаться сформулированного выше требования. Мы увидим, что оно весьма удобно для наших последующих рассмотрений (см. п. 11.2.1).

9.2.4. Теперь нам остается сделать только одно: ввести в нашей новой терминологии величины к = 1, . . ., п, из п. 6.2.2. JF представляет собой исход партии для игрока к. k должно быть функцией от фактически имевшей место партии х). Если для обозначения этой партии использовать символ л, то мы можем сказать: JFh является функцией переменной л с областью изменения Q, т. е.

ft-.fftW, Л=1, .... и.