) За пояснениями отсылаем читателя к концу п. 10.1.1 и к обсуждению в п.10.1.2.

§ 10. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА

* 10.1. Аксиомы и их интерпретация

10.1.1. Наше описание общего понятия игры новыми средствами, с использованием множеств и разбиений, теперь закончено. Все построения и определения уже были в достаточной мере объяснены, и поэтому мы можем перейти к строгому аксиоматическому определению игры. Разумеется, оно будет представлять собой лишь сжатую переформулировку идей, которые мы более широко обсуждали в предыдущих параграфах.

Сначала мы сформулируем точное определение без каких-либо комментариев

Игра п лиц Г, т. е. полная система ее правил, определена, если указаны следующие данные:

(10:А:а) Число v.

(10:A:b) Конечное множество Q.

(10:А:с) Функция 3h = Fh (я), я £ Q, к = 1, . . п.

(10:A:d) Разбиение Лу в Q, х = 1, . . ., v, v + 1.

(10:А:е) Разбиение 98х в Q, х = 1, v. 98у состоит из п + 1

множеств В у (к), к = 0, 1, . . ., п, занумерованных таким образом.

(10:A:f) Разбиение %у (к) в By (к), х = 1, . . ., v, к = 0, 1, . . ., п.

(10:A:g) Разбиение 3)у (к) в By (к), х = 1, . . ., v, к = 1, . . ., п.

(10:A:h) Число ру (Су), заданное для любого Су из %у (0), х = 1, . . . . . ., V.

Перечисленные объекты должны удовлетворять следующим требованиям:

(10:1:а) Лу является подразбиением у.

(10:1 :Ь) %у (0) является подразбиением Л у.

(10:1:с) %у (к) является подразбиением 3)у (к), к = 1, . . ., п)\

(10:l:d) На By (к) разбиение Л у является подразбиением 3)у (к), к = 1, . . ., п.

(10:1:е) Для всех х = 1, . . ., v и для любого А у из Л у, являющегося подмножеством By (0), справедливо следующее условие. Для всех Су из %у (0), которые являются подмножествами этого А у, числа ру (Су) неотрицательны и 2 Рх, (и) = 1, где сумма распространена на эти подмножества.

(10:1 :f) Ci состоит из одного множества Q.

(10:1 :g) Лч+i состоит из одноэлементных множеств.

{10:1 :h) Лу+i получается из Л у путем его суперпозиции со всеми *ёу (к), к = 0, 1, . . ., п, х = 1, . . ., v. (Детали изложены в п. 9.2.2).

(10:1:i) р Если из Jb и Сх из %% (к), к = 1, . . ., п являются подмножествами одного и того же D% из 3)К (к), то пересечение 4Х П должно быть непустым, х = 1, . . ., v.

(10:1:j) Для х = 1, . . ., v и k = 1, . . ., п и для любого Dn из (&) должно существовать некоторое С* из %% (к), являющееся подмножеством DK.

К этому определению следует подходить прежде всего в духе современного аксиоматического метода. Мы избегали даже давать названия математическим понятиям, введенным в (10:А:а) - (10:A:h), с тем, чтобы не устанавливать каких бы то ни было соответствий с возможными толкованиями, которые эти названия могут подсказывать. В своей абсолютной чистоте эти понятия могут теперь стать предметом точного математического исследования

Этот подход наилучшим образом приспособлен для развития строго определенных понятий. Приложение к объектам, заданным чисто интуитивным образом, будет дано впоследствии, после завершения точного анализа. В связи с этим напомним также то, о чем уже было сказано в п. 4.1.3 (гл. I),- о роли моделей в физике: аксиоматические модели интуитивных систем аналогичны математическим моделям физических систем (заданных столь же интуитивно).

Если это осознано, то нелишним будет напомнить, что это аксиоматическое определение было выкристаллизовано из детальных эмпирических обсуждений, проведенных в предшествующих параграфах. Если мы снабдим входящие в это определение понятия соответствующими названиями, указывающими, по возможности, на их интуитивное происхождение, то это облегчит нам использование нашего определения и сделает его структуру более прозрачной. Кроме того, будет полезно пояснить в том же духе смысл наших-постулатов (10:1:а) - (10:1: j), т. е. разъяснить те интуитивные соображения, из которых они возникли.

Все это будет, разумеется, попросту сжатым резюме интуитивных рассуждений предыдущих пунктов, которые привели к этой аксиоматизации.

10.1.2. Дадим сначала технические названия понятиям, введенным в (10:А:а) - (10:A:h) из п. 10.1.1.

(10:А:а*) v есть длина игры Г.

10:A:b*) Q есть множество всех партий в Г.

(10:А:с*) JFh (я) есть исход партии я для игрока к.

(10:A:d*) Л% есть информационная схема посредника: Ак из Л% представляет собой фактическую информацию посредника при ходе оМу (т. е. непосредственно перед этим ходом), а для х = v -f- 1 - в конце игры.

(10:А:е*) 38 * есть схема распределения. Вх (к) из i?x представляет собой фактическое распределение хода оМ%.

г) Это аналогично современному подходу к аксиоматизации таких дисциплин, как логика, геометрия и т. п. Так, при аксиоматизации геометрии обычно считается, что понятия точки, прямой и плоскости не следует априори отождествлять с какими-либо интуитивными представлениями - они являются лишь обозначениями объектов, относительно которых предполагается только выполнение свойств, выражаемых аксиомами. См., например, D. Н i 1 b е г t, Die Grundlagen der Geometrie, Leipzig, 1899 (русский перевод: Д. Гильберт, Основания геометрии).

(10:A:f*) %у (к) есть схема выбора: Су из %у (к) представляет собой фактический выбор игрока к при ходе <М% (при к = 0 - случайный выбор).

(10:A:g*) Зу (к) есть информационная схема игрока k: Dy из Зу (к) представляет собой фактическую информацию игрока к при ходе вЖК.

(10:A:h*) рК (Су) есть вероятность фактического выбора Су при ходе оМу, если он является случайным.

Теперь с помощью введенных наименований мы поясним смысл требований (10:1 :а) - (10:1 :j) в духе заключительных замечаний из п. 10.1.1.

(10:1:а*) Информационная схема посредника при ходе оМу содержит распределение этого хода.

(10:1:Ь*) Схема выбора при случайном ходе Л у содержит информационную схему посредника при этом ходе.

(10:1:с*) Схема выбора при личном ходе o/fiy игрока к содержит информационную схему игрока к при этом ходе.

(10:l:d*) Информационная схема посредника при ходе о/Яу содержит - в той мере, в какой этот ход является личным ходом игрока к,- информационную схему игрока при этом ходе.

(10:1:е*) Вероятности выбора различных альтернатив при случайном ходе оМу ведут себя как вероятности, соответствующие дизъюнктным исчерпывающим альтернативам.

(10:l:f*) Информационная схема посредника при первом ходе пуста.

(10:l:g*) Информационная схема посредника в конце игры определяет партию полностью.

(10:1 :h*) Информационная схема посредника при ходе (в конце

игры для х = v) получается из его информационной схемы при ходе (My путем ее суперпозиции со схемой выбора при ходес.

(10:l:i*) Пусть дан ход оМу, являющийся личным ходом игрока к, а также задана любая фактическая информация игрока к при этом ходе. Тогда любая фактическая информация посредника при этом ходе и любой фактический выбор игрока к при этом ходе, которые принадлежат этой фактической информации игрока (т. е. являются ее размельчениями), также будут совместимыми друг с другом. Иначе говоря, они имеют место в фактических партиях.

(10:1:j*) Пусть дан ход оМу, являющийся личным ходом игрока

а также задана любая фактическая информация игрока к при этом ходе. Тогда число фактических альтернативных выборов, имеющихся в распоряжении игрока к, отлично от нуля.

Этим наша формализация общей схемы игры заканчивается 10.2. Логическое обсуждение аксиом

10.2. Мы еще не рассматривали вопросов, которые в формальной логике обычно связываются с любой аксиоматической системой, именно непротиворечивость, категоричность (полнота) и независимость аксиом х).

г) См. Д. Гильберт, Основания геометрии (цитир. ранее).