*) В этом заключается важная характеристическая черта общего логического подхода к аксиоматизации. Так, аксиомы евклидовой геометрии определяют единственный объект, а аксиомы теории групп в математике или рациональной механики в физике-не определяют, так как существует много различных групп и много различных механических систем.

Наша система обладает первым и последним из названных свойств, но не обладает вторым. Эти факты легко проверяются, причем нетрудно видеть, что ситуация в точности такова, какой ей следовало бы быть. Резюмируем относящиеся к этому соображения.

Непротиворечивость. В реальном существовании игр не может быть никаких сомнений; мы же попросту дали их точное формальное описание. В дальнейшем мы подробно рассмотрим формализацию нескольких игр; см., например, примеры из §§ 18, 19. Со строго математической, логической точки зрения для установления непротиворечивости можно использовать даже самые простые игры. Но, разумеется, наши реальные интересы лежат в области более сложных игр, которые представляют действительный интерес.

Замечание. Самая простая игра состоит в следующем: v = 0, afi состоит только из одного элемента, скажем я0. Следовательно, никаких (к), %х (к) и<2 (к) здесь вообще нет, а единственным К является Jt состоящее из одного Q. Положим (по) - 0, к = 1, . . ., п. Описание этой игры очевидно: никто ничего не делает, и ничего не происходит. Это показывает также, что в данном случае непротиворечивость не является особенно интересным вопросом.

Категоричность (полнота) здесь не имеет места, поскольку существует много различных игр, удовлетворяющих этим аксиомам. Ссылки на содержательные примеры указаны выше.

Читатель может заметить, что в этом случае мы и не добивались полноты, так как наши аксиомы должны определять целый класс объектов (игр), а не единственный объект х).

Независимость нашей системы аксиом может быть легко установлена, но мы здесь не будем этим заниматься.

10.3. Общие замечания относительно аксиом

10.3. В связи с приведенной аксиоматизацией стоит сделать еще два замечания.

Во-первых, наш подход следует классическим путям получения точной формулировки для интуитивно, эмпирически заданных идей. В повседневной практике существует практически удовлетворительное понятие игры, являющееся тем не менее слишком неопределенным для точного рассмотрения. Читатель, следивший за нашими рассуждениями, должен был заметить, как постепенно эта неопределенность устранялась, зона сумерек отступала и шаг за шагом складывалась точная формулировка.

Во-вторых, мы надеемся, что это может послужить примером реализации следующего широко дискутировавшегося предложения: возможно математическое описание и изучение человеческих действий, в которых основной акцент лежит в психологической области. В нашем случае психологический элемент был привнесен необходимостью анализировать решения, информацию, на базе которой они принимаются, и взаимосвязь таких комплексов информации (на различных ходах) друг с другом. Эта взаимосвязь происходит из связи различных комплексов информации во времени, причинности, а также в силу умозрительных предположений, делаемых игроками друг относительно друга.

Разумеется, существует еще много - и притом весьма важных - психологических аспектов, которых мы здесь не касались. Тем не менее факт остается фактом: группа явлений, носящих в основном психологический характер, аксиоматизирована.

10.4. Графическое представление

10.4.1. Графическое представление многочисленных разбиений, которые нам пришлось использовать для описания игры, является нелегким делом. Мы не будем пытаться рассматривать этот вопрос систематически: даже сравнительно простые игры приводят к столь сложным и отпугивающим диаграммам, что обычные преимущества графического метода уже не могут проявиться.

Однако графическое представление имеет некоторые, хотя и ограниченные, возможности, и мы скажем о них несколько слов.

В первую очередь, из (10:l:h) п. 10.1.1 (или, равным образом, если судить по смыслу, из (10:l:h*) п. 10.1.2) ясно, что Ay+i является подразбиением Ау. Иначе говоря, каждое из разбиений в последовательности, . . ., Av, Av+i является подразбиением своего непосредственного предшественника. Следовательно, все это можно изобразить при помощи приема, изображенного на рис. 9 из п. 8.3.2, т. е. посредством дерева. (Рис. 9 не является характерным с одной точки зрения: так как длина игры Г предполагается фиксированной, все ветви этого дерева должны быть продолжены на полную высоту. См. приводимый в п. 10.4.2 рис. 10.) Мы не будем пытаться добавить к этой картинке By, %у (к), 33 у (к).

Существует, однако, один класс игр, в которых последовательность Jbi, . . Ач, Av+t уже описывает практически всю историю. Это важный класс (он уже обсуждался в п. 6.4.1, а более подробно о нем будет сказано в § 15), в котором предварение и предшествование эквивалентны. Его характеристики могут быть просто выражены в рамках выполняемой нами формализации.

10.4.2. Как показывают обсуждения в пп. 6.4.1, 6.4.2 и интерпретация в п. 6.4.3, предварение и предшествование эквивалентны в том й только в том случае, когда игрок, совершающий личный ход, знает в этот момент всю предыдущую историю партии. Пусть этот игрок есть к, а ход - о/Ну. Утверждение о том, что оМу представляет собой личный ход игрока к, означает, что мы находимся в пределах множества By (к). Следовательно, утверждение заключается в том, что на By (к) информационная схема игрока к совпадает с информационной схемой посредника, т. е. что 3)и (к) равно А у на В у (к). Но 33 у (к) является разбиением в By (к); следовательно, приведенное выше утверждение означает, что ЗЗу (к) является попросту той частью Ау, которая лежит в By (к).

Переформулируем сказанное

{10:В) Предварение и предшествование совпадают, т. е. каждый игрок, совершающий свой личный ход, полностью информирован в этот момент обо всей предшествующей истории партии, в том и только в том случае, когда ЗЗу (к) является.той частью Ау, которая лежит в By (к).

Если это имеет место, то мы можем рассуждать следующим образом. В силу (10:1:с) из п. 10.1.1 и сказанного выше, х (к) должно теперь быть подразбиением Ау. Это справедливо для личных ходов, т. е. для

& = 1, . . ., п, а для к = 0 это сразу следует из (10:1:Ь) п. 10.1.1. Теперь (10:l:h) из п. 10.1.1 позволяет вывести отсюда (за деталями мы отсылаем к п. 9.2.2), что Ау+ч совпадает с %у (к) на ВК (к) для к = 0, 1, . . ., п. (Мы могли бы равным образом использовать соответствующие формулировки со звездочками из п. 10.1.2, разъясняющие смысл этих понятий. Словесное выражение этих рассуждений мы предоставляем

Рис. 10.

читателю.) Но %у (к) представляет собой разбиение в By (к); следовательно, приведенное выше утверждение означает, что %у (к) является попросту той частью которая лежит в В% (к).

Переформулируем сказанное:

(10:С) Если выполнено условие (10:В), то %у (к) является той частью

Ay+i, которая лежит в ВК (к).

Таким образом, если предварение и предшествование совпадают, то в нашей теперешней формализации последовательность А±, . . . . . ., Ач+i и множества By (к), к = 0, 1, . . ., п, для каждого х = 1, . . ., v описывают игру полностью. Иначе говоря, картинку, изображенную на рис. 9 из п. 8.3.2, следует дополнить лишь объединением тех элементов каждого А%, которые принадлежат одному и тому же множеству By (к). (См., однако, замечания, сделанные в п. 10.4.1.) Мы можем сделать это, обведя их линией, в разрыве которой будет стоять число к из By (к). Пустые ВК (к) можно опустить. Пример этого для v = 5 и п = 3 изображен на рис. 10.

Во многих играх этого класса даже и такой дополнительный прием не является необходимым, так как для каждого х непустым оказывается только одно By (к). Это значит, что характер каждого хода оМу не зависит от предыдущего развития партии х). В этом случае достаточно указать при каждом А у характер хода Л у, т. е. единственное к = 0/ 1, . . ., nf для которого By (к) Ф 0.

*) Это справедливо для шахмат. Правила трик-трака допускают как ту, так и другую интерпретацию.