§ 11. СТРАТЕГИИ И ОКОНЧАТЕЛЬНОЕ УПРОЩЕНИЕ ОПИСАНИЯ ИГРЫ

11.1. Понятие стратегии и его формализация

11.1.1. Вернемся к развитию фактической партии л игры Г.

Ходы оМ% следуют друг за другом в порядке к = 1, . . v. На каждом ходе оМу производится выбор, либо случайный - если партия находится в By (0),- либо выбор игрока k = 1, . . ., п - если партия находится в By (к). Выбор состоит в фиксации некоторого Су из %у (к) (как указывалось выше, к = 0 или к=1, . . ., я), которое и является очередном ограничением партии. Если выбор производится игроком к, то следует принять меры предосторожности с тем, чтобы информационная схема этого игрока была бы в этот момент именно 3)у (к). (Как показывают примеры бриджа (см. конец п. 6.4.2) и закрытых шахмат (см. п. 9.2.3), это может доставлять известные практические затруднения.)

Представим себе теперь, что каждый игрок к = 1, . . ., п вместо того, чтобы принимать каждое решение по мере того, как в этом возникает необходимость, заранее принимает решение на все возможные случаи. Иначе говоря, игрок начиная партию, уже имеет исчерпывающий план, указывающий, какие выборы он будет совершать в любой возможной ситуации и для любой возможной фактической информации, которой он в этот момент сможет располагать в соответствии с информационной схемой, предусматриваемой для него правилами игры в этом случае. Мы назовем такой план стратегией.

Отметим следующее обстоятельство. Если мы требуем, чтобы каждый игрок начинал игру с исчерпывающим планом такого рода, т. е. с некоторой стратегией, то мы никоим образом не ограничиваем его свободы действий. В частности, мы тем самым не заставляем его принимать решения на основе меньшей информации, чем та, которая была бы ему доступна в любом практическом случае в фактической партии. Дело здесь в следующем. Мы предполагаем, что стратегия определяет каждое конкретное решение только как функцию именно того объема фактической информации, которая была бы доступна для этой цели в фактической партии. Единственным дополнительным бременем, которое возлагает на игроков наше предположение, является интеллектуальная нагрузка: игрокам следует запастись правилами поведения на все возможные случаи, хотя в действительности им предстоит пройти только через одну партию. Но в рамках математического исследования такое предположение выглядит вполне безобидно (см. также п. 4.1.2).

11.1.2. Случайную компоненту игры можно рассмотреть точно такими же образом.

В самом деле, представляется достаточно очевидным, что вовсе не обязательно производить выборы, которые предоставляются случаю (т. е. выборы при случайных ходах), только тогда, когда до этих ходов доходит дело. Все эти выборы мог бы заранее произвести некоторый посредник, сообщая затем их результаты игрокам в те моменты и в той мере, в какой правила игры предусматривают подобную информацию.

Правда, посредник не может заранее знать, какие ходы окажутся случайными и с какими вероятностями; это будет, вообще говоря, зависеть от фактического развития партии. Но, как и в рассмотренных выше стратегиях, он мог бы предусмотреть все возможные случаи. Он мог бы заранее решить, каким должен быть исход выбора при любом возможном

случайном ходе, для любого возможного предшествующего развития партии, т. е. для любой возможной фактической информационной схемы посредника при рассматриваемом ходе. В этих условиях вероятности, предписываемые правилами игры для каждой из указанных возможностей, были бы полностью определены, так что посредник мог бы связать с каждым из нужных выборов, которые должны регулироваться случаем, соответствующие им вероятности.

После этого посредник мог бы, как об этом говорилось выше, оповещать игроков об исходах в надлежащие моменты и в надлежащей мере.

Такое предварительное решение относительно выборов при всех мыслимых случайных ходах мы назовем выбором посредника.

В последнем пункте мы видели, что замена выборов при всех личных ходах игрока к на стратегию игрока к вполне законна; иначе говоря, она не меняет общего характера игры Г. Очевидно, проводимая нами теперь замена выборов при всех случайных ходах на выбор посредника является законной в том же самом смысле.

11.1.3. Нам остается формализовать понятия стратегии и выбора посредника. Качественное обсуждение, проведенное в последних двух пунктах, делает эту задачу совершенно недвусмысленной.

Стратегия игрока к производит следующее. Рассмотрим некоторый ход оЖК. Предположим, что он оказался личным ходом игрока к, т. е. что партия находится в пределах В% (к). Рассмотрим возможную фактическую информацию игрока к в этот момент, т. е. некоторое из 2)и (к). Тогда стратегия, о которой идет речь, должна определять его выбор в сложившейся обстановке, т. е. некоторое Су из Су (к), являющееся подмножеством указанного Dy.

Выскажем это формально:

{11:А) Стратегия игрока к есть функция 2Д (х; Dy), которая определена для любого х = 1, . . ., v и для любого Dy из Dy (к) и значение которой 2ft (х; Dy) = Су всегда обладает следующими свойствами: Су принадлежит %у (к) и является подмножеством Dy.

То, что стратегии, т. е. функции 2А (х; Dy), удовлетворяющие написанному требованию, вообще существуют, в точности совпадает с нашим постулатом (10:1:j) из п. 10.1.1.

Выбор посредника производится так. Рассмотрим некоторый ход оМу. Предположим, что он оказался случайным ходом, т. е. что партия находится в By (0). Рассмотрим возможную фактическую информацию посредника в этот момент, т. е. некоторое АуШ Л у, являющееся подмножеством By (0). Тогда рассматриваемый выбор посредника должен определить случайный выбор в этих обстоятельствах, т. е. некоторое Су из у (0), являющееся подмножеством указанного А у.

Формулируем:

(11:В) Выбор посредника есть функция 20(х; Ау), которая определена

для любого х = 1, v и для любого Ау из Лу, являющегося подмножеством Вк(0), и значение которой 20 (; Ау) = Су всегда обладает следующими свойствами: Су принадлежит %у (0) и является подмножеством Ау.

По поводу существования выбора посредника, т. е. функции И0 (х; А у), удовлетворяющей указанному требованию, см. замечание, сделанное выше после (11:А), и сноску 2 на стр. 96.

Так как исход выбора посредника зависит от случая, должны быть указаны соответствующие вероятности. Теперь выбор посредника является системой независимых случайных событий. Как указывалось в п. 11.1.2, такое случайное событие имеется для любого х = 1, . . ., v и для любого А у из Л у, являющегося подмножеством By (0), т. е. дд1 любой пары х, А у из области определения 20 (и; А у). Что касается этого события, вероятность конкретного исхода 20 (и; A J = Су равна ру (Су). Следовательно, вероятность всего выбора посредника, представляемого функцией 2 о (и; А у), равна произведению отдельных вероятностей

Выскажем это формально:

(11:С) Вероятность выбора посредника, представляемого функцией

2 о (и; 4и) равна произведению вероятностей Ру(Су), где 2 о (и; А у) = Су, а х и А у пробегают всю область определения 2 о (и; А у) (см. (11:В)).

Если рассмотреть условия (10:1:е) из п. 10.1.1 для всех таких пар *х, А у и перемножить их, то получится следующее. Все указанные в (11:С) вероятности неотрицательны, и их сумма, взятая по всем выборам посредника, равна единице. Так оно и должно быть, ибо совокупность всех выборов посредника представляет собой систему дизъюнктных исчерпывающих альтернатив.

11.2. Окончательное упрощение описания игры

11.2.1. Если каждым игроком k = 1, . . ., п принята определенная стратегия и если указан определенный выбор посредника, то эти объекты единственным образом определяют все развитие партии и соответственно ее исход для каждого игрока. Это должно быть ясно из словесного описания всех этих понятий, однако можно дать и простое формальное доказательство.

Обозначим рассматриваемые стратегии через 2fe (х; Dy), к = = 1, . . ., и, а выбор посредника - через 20 (и; А у). Мы будем определять фактическую информацию посредника во все моменты х = 1, . . . . . ., v, v + 1. Чтобы не смешивать ее с переменной А у, мы будем обозначать ее через А у. Разумеется, At равно самому Q (см. (10:1 :f) из п. 10.1.1).

Рассмотрим теперь некоторое х = 1, . . ., v и предположим, что соответствующее А у уже известно. Тогда А у является подмножеством в точности одного By (к), к = 0, 1, . . ., п (см. (10:1:а) из п. 10.1.1). Если А: = 0, то оМу является случайным ходом, так что исходом выбора будет 20 (и; Ау). Соответственно 4х+1==20(х; Ау) (см. (10:l:h) из п. 10.1.1 и детали в п. 9.2.2). Если к = 1, . . ., п, то оМу является личным ходом игрока к. А у является подмножеством ровно одного By из 3)у (к) (см. (10:l:d) из п. 10.1.1). Тем самым исход выбора есть 2ft (х; Dy). Соответственно Ау+1 = А у (] 2А (х; Dy) (см. (10:l:h) из п. 10.1.1 Jh детали в п. 9.2.2).

Таким образом* мы последовательно определяем по индукции Аи А2, А3, . . Av, Ay+i. Но Av+i представляет собой одноэлементное

г) Рассматриваемые случайные события должны считаться независимыми