множество (см. (10:l:g) из п. 10.1.1); обозначим его единственный элемент через л.

Это л представляет собой фактически имевшую место партию *). Следовательно, для игрока к = 1, . . ., п исходом этой партии будет

&к (я).

11.2.2. Тот факт, что стратегии всех игроков и выбор посредника определяют в совокупности фактическую партию - и тем самым ее исход для каждого игрока,- открывает возможность нового и значительно более простого описания игры Г.

Рассмотрим данного игрока к (= 1, . . ., п) и множество всех его возможных стратегий 2ft (х; Dy); для краткости будем обозначать его через 2k. Число стратегий, будучи чудовищным, очевидно, все же является конечным. Обозначим его через pft, а сами стратегии - через 2, ...

-

Образуем аналогично все возможные выборы посредника 20 (и; А у) или, для краткости, 20. Их число снова будет конечным. Обозначим его через р0, а сами выборы - через 2J, . . ., .2{*°. Обозначим вероятности этих выборов соответственно через р1, . . ., р$о (см. (11:С) из п. 11.1.3). Все эти вероятности неотрицательны, и их сумма равна единице (см. конец п. 11.1.3).

Фиксированный выбор всех стратегий и выборов посредника, скажем 2, соответственно для к = 1, . . ., п и для к = 0, где

тА= 1, . . ., рА, А = 0, 1, . . ., гг,

определяет партию л (см. конец п. 11.2.1) и ее исход Лрк (я) для каждого игрока &=1, п. Положим

(11:1) а(л) = а(т0, т4, ..., тл), к=1, п.

Вся партия состоит теперь из выбора каждым игроком к своей стратегии 2£fe, т. е. числа xk = 1, . . ., pft, и из случайного выбора посредника т0 = 1, . . ., Ро соответственно с вероятностями р1, . . ., р&°-

Игрок к должен выбирать свою стратегию, т. е. свое Tft, без какой-либо информации относительно выборов других игроков или относительно случайных событий (выбора посредника). Это должно быть так, поскольку вся информация, которой он может в какой-либо момент располагать, заключена уже в его стратегии 2ft = 2ft, т. е. в функции 2Д = 2fe (х; Dy). (См. рассуждения в п. 11.1.1.) Даже если он имеет определенное мнение по поводу того, какими, вероятно, будут стратегии других игроков то и оно должно уже содержаться в функции 2ft (х; Dy).

11.2.3. Все это, однако, означает, что мы вернули игру Г к ее простейшему описанию в рамках наиболее простых исходных положений, развитых в пп. 6.2.1-6.3.1. Мы имеем п -f- 1 ходов - один случайный ход и один личный ход для каждого из игроков к = 1, . . ., п\ каждый ход имеет фиксированное число альтернатив: (30 для случайного хода и Pi? Ьп Для личных ходов; каждый игрок должен сделать свой

*) Это индуктивное определение А±, А2, А г, . . ., Av, A v+i является лишь математическим воспроизведением фактического течения партии. Читатель может проверите параллели проделанных здесь шагов.

выбор, не располагая абсолютно никакой информацией об исходе всех других выборов *).

Теперь мы можем избавиться даже от случайного хода. Если выборы игроков уже произведены, причем каждый игрок к выбрал свое тА, то влияние случайного хода сводится к следующему. Исход партии для игрока к может быть любым из чисел

3k (t(b Tl> То = 1, ..., Ро

соответственно с вероятностями р1, р&°. Следовательно, математическое ожидание исхода равно

<11:2) Жк (т4, .. ., тд) = 2 Рх°8к (т0, т41 ..., тя).

т0=1

Суждения игрока должны направляться единственно этим математическим ожиданием, так как различные ходы и, в частности, случайный ход никак не связаны друг с другом 2). Таким образом, единственными ходами, имеющими существенное значение, оказываются п личных ходов игроков к = 1, . . ., п.

Поэтому окончательная формулировка будет такой:

{11:D) Игра п лиц Г, т. е. полная система ее правил, задается указанием следующих данных:

(ll:D:a) Чисел рА для каждого к = 1, . . ., п.

<ll:D:b) Функций &Ск- Жк (т4, . . ., %п) для каждого к=1, . . ., и, причем %] = 1, . . ., р7- (/ ==1, . . ., п).

Развитие партии игры Г заключается в следующем: Каждый игрок к выбирает число %k = 1, . . ., Каждый игрок должен произвести свой выбор, не зная абсолютно ничего о выборах других. После совершения всех выборов они сообщаются посреднику, который определяет, что исход партии для игрока к есть &Ск (т4, . . ., тд).

11.3. Роль стратегий в упрощенной форме игры

11.3. Отметим, что в построенной схеме не остается места для каких *бы то ни было других стратегий . Каждый игрок имеет один и только один ход; он должен его сделать, будучи в абсолютном неведении относительно чего-либо другого3). Эта полная кристаллизация проблемы в такой

х) Благодаря полной несвязанности п-\-1 ходов порядок, в котором они указываются, не играет никакой роли.

2) Мы имеем право на использование неизменного понятия математического ожидания, поскольку, как подчеркивалось в конце п. 5.2.2, мы вполне удовлетворены упрощенным понятием полезности. Это, в частности, исключает все те более сложные понятия ожидания , которые в действительности являются попытками улучшить это наивное понятие полезности. Упомянем, например, моральное ожидание Д. Бер-нулли в Петербургском парадоксе .

3) Вернемся к определению стратегии, данному в п. 11.1.1. В этой игре игрок .к имеет один и только один личный ход независимо от течения партии - ход cMk. Он должен произвести свой выбор при ходе оМк с нулевой информацией. Таким образом, его стратегия является попросту определенным выбором для хода оМк - не больше и не меньше; иначе говоря, это есть в точности хк = 1, . . .,

Описание этой игры в терминах разбиений и сравнение изложенного выше с фор-шальным описанием стратегии в (11 :А) из п. 11.1.3 мы предоставляем читателю.

строгой и окончательной форме была достигнута в результате наших манипуляций, начиная с п. 11.1.1, где был осуществлен переход от первоначальных ходов к стратегиям. Поскольку мы. теперь рассматриваем сами эти стратегии как ходы, в стратегиях более высокого порядка уже* нет нужды.

11.4. Смысл ограничения, касающегося нулевой суммы

11.4. Мы завершим эти рассмотрения, определив в нашей окончательной схеме место игр с нулевой суммой (см. п. 5.2.1).

То, что игра Г является игрой с нулевой суммой, означает в обозначениях п. 10.1.1, что

(11:3) S А(я) = 0

для всех л из й. Если перейти от Ja (я) к §k (т0, т4, ..., тп) в смысле п. 11.2.2, то это выражение перейдет в

(11:4) 2 £а(т0, т4, м.,тп)=0

для всех т0, т4, ..., тл. Если окончательно ввести &Съ (т4, . ., тп) в смысла п. 11.2.3, то мы получим

(11:5) 2 *(Ti, .... т ) = 0

для всех т4, .. ., тд.

Наоборот, ясно, что условие (11:5) делает игру Г, которую мы определили в п. 11.2.3, игрой с нулевой суммой.