Глава III

ИГРЫ ДВУХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ.

ТЕОРИЯ

§ 12. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ОБЗОР 12.1. Общие соображения

12.1.1. В предыдущей главе мы пришли к исчерпывающей формальной характеристике общей игры п лиц (см. п. 10.1). Разработав точное понятие стратегии, мы, как это было показано, получили возможность заменить довольно сложную общую схему игры эквивалентной ей гораздо более простой частной схемой (см. п. 11.2). В дальнейшем мы будем пользоваться иногда одной формой, а иногда - другой, как нам будет удобно. Поэтому желательно дать этим формам конкретные названия. Мы будем их называть соответственно позиционной и нормальной формами игры.

Так как эти две формы эквивалентны, в нашей власти пользоваться в каждом конкретном случае той из них, которая технически более удобна. Мы действительно будем широко пользоваться такой возможностью и поэтому должны еще раз подчеркнуть, что это ничуть не затрагивает строгой обоснованности всех наших рассуждений.

Фактически нормальная форма более удобна для вывода общих теорем, в то время как позиционная форма более предпочтительна при анализе конкретных случаев; иными словами, нормальную форму выгодно использовать для установления свойств, общих всем играм, в то время как позиционная форма выявляет характерные различия игр и важнее структурные свойства, которые определяют эти различия (см. для первой формы § 14, § 17, а для второй, например, § 15).

12.1.2. Поскольку формальное описание всех игр завершено, мы должны перейти к построению содержательной теории. Естественно ожидать, что систематическим методом для этой цели будет переход от простых игр к более сложным. Поэтому желательно упорядочить все игры по степени их сложности.

Мы уже классифицировали игры по числу их участников (при этом игры с п участниками назывались играми п лиц), а также по тому, являлись ли они играми с нулевой суммой или нет. Поэтому мы должны различать игры п лиц с нулевой суммой, с одной стороны, и общие игры п лиц - с другой. Далее будет показано, что общая игра п лиц тесно связана с игрой п + 1 лица с нулевой суммой: фактически теория первых будет получена как частный случай теории последних (см. п. 56.2.2.).

12.2. Игра с одним игроком

12.2.1. Мы начнем с нескольких замечаний, касающихся игры с одним игроком. В нормальной форме эта игра состоит в выборе числа т = 1, . . ., р, после чего первый (и единственный) игрок получает Ж (т) х). Очевидно, что случай игры с нулевой суммой с одним игроком бессодержателен2) и по поводу него сказать нечего. Общий случай

*) См. (ll:D:a), (ll:D:b) в конце п. 11.2.3. Мы опускаем здесь индекс 1. 2) В этом случае &С (х) = 0; см. п. 11.4.

соответствует общей функции Sf(r), и лучший , или рациональный , способ действия, т. е. поведения в игре, очевидно, состоит в следующем: первый игрок должен выбрать т= 1, . . 3 так, чтобы максимизировать Ж(%).

Это крайнее упрощение игры с одним игроком, конечно, обусловливается тем, что наша переменная т представляет не выбор (в ходе), а стратегию игрока, т. е. выражает полную его теоршр относительно поведения во всех мыслимых ситуациях, которые могут встретиться в развитии игры. Необходимо помнить, что даже игра с одним игроком может иметь очень сложную структуру: она может содержать случайные ходы, так же как и ходы (единственного) игрока, каждый из которых может иметь большое число альтернатив, а объем информации, имеющейся в распоряжении игрока при каждом конкретном ходе, может изменяться любым предписанным способом.

12.2.2. Многочисленные хорошие примеры большого числа сложностей и тонкостей, которые могут возникнуть на этом пути, даются различными играми типа пасьянса или солитера. Однако существует важная возможность, которая, насколько нам известно, не отражается обычными играми с одним игроком. Это касается случая неполной информации, т. е. неэквивалентности предшествования и предварения ходов отдельного игрока (см. п. 6.4). Для того чтобы эквивалентность отсутствовала, необходимо, чтобы у игрока были два собственных хода оМ% и оМ, ни в одном из которых он не был бы информирован о результатах выбора в другом. Такого состояния отсутствия информации достичь нелегко, но мы обсуждали в п. 6.4.2, как это можно осуществить путем расщепления игрока на два или более лица с идентичными интересами и несовершенными средствами общения между ними. Мы видели, в соответствующем месте, что бридж дает нам пример такого явления в игре двух лиц. Нетрудно построить аналогичную игру и для одного лица, но, к сожалению, известные виды солитеров таковыми *) не являются.

Тем не менее эта возможность имеет практическое значение для некоторых экономических ситуаций.

12.2.3. Проведенные рассуждения показывают также ограниченность чисто максимизационного подхода, т. е. подхода в духе Робинзона Крузо . Для того чтобы получить задачу максимизации, необходимо было включить всю схему распределения в число правил игры, которые являются абсолютными, неприкосновенными и не подлежащими критике. Для того чтобы перенести распределение в сферу столкновений и конкуренции, т. е. стратегии игры, необходимо рассмотреть игры п лиц с п 2 и в связи с этим пожертвовать простым максимизационным аспектом проблемы.

12.3. Случай и вероятность

12.3. Прежде чем продвигаться далее, мы хотим упомянуть, что обширная литература по математическим играм , которые были развиты в основном в XVIII и XIX столетиях, имела дело преимущественно с тем аспектом теории, который является для нас уже пройденным этапом. Этим аспектом являлась оценка влияния случая. Конечно, это стало возможным в результате разработки и надлежащего применения теории

*) Существующие двойные солитеры являются конкурентными играми между двумя участниками, т. е. играми двух лиц.

вероятностей и в особенности понятия математического ожидания. Мы осуществили необходимые для этой цели построения в п. 11.2.3 * 2).

Поэтому мы не будем больше интересоваться теми играми, в которых математическая задача состоит только в оценке роли случая, т. е. в вычислении вероятностей и математических ожиданий. Такие игры время от времени приводят к интересным упражнениям в теории вероятностей 3), но мы надеемся, что читатель согласится с тем, что они не принадлежат к теории игр в собственном смысле слова.

12.4. Ближайшая цель

12.4. Теперь мы приступим к анализу более сложных игр. Общая игра с одним игроком нами уже рассмотрена, и простейшей среди оставшихся является игра двух лиц с нулевой суммой. Поэтому перейдем к ее рассмотрению.

В дальнейшем нам представится выбор: иметь ли дело с общей игрой двух лиц или же с игрой трех лиц с нулевой суммой. Окажется, что наша методика изложения сделает необходимым рассмотрение в первую очередь именно игры трех лиц с нулевой суммой. После этого мы распространим теорию на игры п лиц с нулевой суммой (для всех п = 1, 2, 3, . . .), и только после этого нам будет удобно перейти к исследованию общих игр п лиц.

§ 13. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

13.1. Основные определения

13.1.1. Нашей ближайшей целью является, как это было упомянуто в п. 12.4, исчерпывающее рассмотрение игр двух лиц с нулевой суммой. Для того чтобы проделать это математически строго, необходимо использовать символику исчисления функций (или по крайней мере некоторой его части) более широко, чем мы это делали до сих пор. Нам понадобятся понятия функции, переменной, максимума и минимума, а также использование двух последних как функциональных операций. Все это потребует определенных объяснений и примеров, которые будут здесь приведены.

После того, как это будет сделано, мы докажем некоторые теоремы относительно максимумов, минимумов, а также некоторой их комбинации - седлового значения. Эти теоремы будут играть важную роль в теории игр двух лиц с нулевой суммой.

!) Мы, конечно, ни в коей мере не намерены уменьшать огромную важность этих открытий. Только благодаря их силе мы теперь в состоянии излагать эту сторону вопроса так сжато, как мы это делаем. Нас интересуют те аспекты проблемы, которые не поддаются исследованию при помощи одной лишь теории вероятностей; следовательно, наше внимание должны привлекать именно эти аспекты, а не те, которые уже удовлетворительно исследованы.

2) Относительно важности связи между использованием математического ожидания и понятием численной полезности, см. п. 3.7 и предшествующие ему рассуждения.

3) Некоторые игры, подобные рулетке, имеют еще более специфический характер. Ясно, что в рулетке математическое ожидание игроков отрицательно. Таким образом, мотивы участия в такого рода играх нельзя Понять, если идентифицировать денежные доходы с полезностями.