13.1.2. Функцией ф является зависимость, которая указывает, как некоторые объекты х, у, . . ., называемые аргументами ф, определяют объект и, называемый значением ср. Таким образом, и определяется через ф и через х, у, . . .; эту зависимость мы будем обозначать символическим равенством

u = q>(x,y,...).

В принципе необходимо различать саму функцию ф, которая является абстрактным объектом, выражающим только общую зависимость и = ф (х, у, . . .) от х, у, . . ., и ее значение ф (х, у, . . .) для любых конкретных х, у, . . . Однако при практическом использовании часто удобно писать ф (х, у, . . .), но с неопределенными х, у, . . ., вместо простого ф (см. приводимые ниже примеры (с) - (е); примеры (а), (Ь) записаны даже хуже; см. сноску 1 ниже).

Для того чтобы описать функцию ф, конечно, необходимо наряду с прочими вещами точно определить число переменных х, у, ... Так, существуют функции от одной переменной ф (х), функции от двух переменных ф (х, у) и т. д.

Несколько примеров:

(a) Арифметические операции х + 1 и х2 являются функциями от одной переменной *).

(b) Арифметические операции сложение и умножение х -f- у и ху являются функциями от двух переменных *).

(c) При любом фиксированном k (л) из п. 9.2.4 есть функция от одной переменной (от л). Но она может рассматриваться и как функция от двух переменных (от /сил).

(d) При любом фиксированном к 2а (х> и) из (И:А) в п. 11.1.3 есть функция от двух переменных (от х и D J 2).

(e) При любом фиксированном к (т4, . . ., %п) из п. 11.2.3 является функцией от п переменных (от т1? . . ., хп) *).

13.1.3. Для описания функции ф в равной мере необходимо точно определить, для каких конкретных наборов переменных х, у, ... вообще определено значение ф (х, у, . . .). Эти наборы, т. е. эти комбинации х7 у, . . ., образуют область определения ф.

Примеры (а) - (е) указывают на некоторые из большого числа возможностей для областей определения функций: они могут состоять из арифметических или аналитических объектов, так же как и из любых других. Действительно:

(a) Мы можем считать, что область определения состоит здесь из всех целых чисел или из всех вещественных чисел.

(b) Все пары каждого из двух типов чисел, упоминаемых в примере (а), образуют область определения в этом случае.

(c) Областью определения является множество Q всех объектов л, которые описывают партии игры Г (см. п. 9.1.1 и п. 9.2.4).

(d) Область определения состоит из пар, образованных целым положительным числом х и множеством DK.

(e) Область определения состоит из некоторых систем целых положительных чисел.

Функция ф называется арифметической функцией, если ее переменными являются целые положительные числа; она называется числовой

г) Хотя они записаны и не в канонической форме ср (х), ф (х, у).

2) Мы можем также принимать к в (d) и (е), равно как и А: в (с), за переменную.

функцией, если ее переменными являются вещественные числа; она называется функцией множеств, если ее переменными являются множества (как, например, в (d)).

В данный момент нас в основном интересуют арифметические и числовые функции.

Мы заканчиваем этот пункт замечанием, которое является естественным следствием нашей точки зрения на понятие функции. Оно состоит в том, что число переменных, область определения и зависимость значения функции от значений переменных составляют функцию как таковую, т. е. если две функции ср, я) имеют одни и те же переменные у, ... и одну и ту же область определения и если ф (х, у, . . .) = -ф (х, у, . . .) на всей этой области, то функции ф и я) тождественны во всех отношениях *).

13.2. Операции max и min

13.2.1. Рассмотрим функцию ф, значениями которой являются вещественные числа

ф(£, у, . ..).

Предположим сначала что ф является функцией одной переменной. Если можно выбрать значение х0 переменной х так, что ф (х0) ф (х) для всех других значений х, то мы говорим, что ф имеет максимум ф (х0) и достигает его при х = х0.

Заметим, что этот максимум ф (х0) определяется однозначно, т. е. максимум может достигаться при х = х0 для нескольких различных значений х0, но все они должны давать одно и то же значение ф (х0) а).

Мы будем обозначать это значение через шах ф (х) и называть максимальным значением ф (х).

Если мы заменим знак на знак fg, то получим понятие минимума Ф как значения ф (х0), где х0 - значение переменной, при котором ф достигает минимума. И в этом случае может быть несколько таких х0, но все они должны давать одно и то же значение ф (х0). Это значение обозначим через min ф (х) и назовем минимальным значением ф.

Отметим, что априори нельзя гарантировать существования ни max ф (х), ни min ф (х) 3).

Однако если область определения ф, т. е. область, в которой изменяется переменная х, состоит только из конечного числа элементов, то существование как max ф (х), так и min ф (х) очевидно. Фактически этот случай будет иметь место для большинства функций, которые нам придется рассматривать 4). Для остальных же функций это обстоятельство будет следствием их непрерывности и геометрической замкнутости

г) Понятие функции тесно связано с понятием множества, и все сказанное выше должно рассматриваться параллельно со сказанным в п. 8.2.

2) Доказательство. Рассмотрим два таких х0, скажем хч и х\. Тогда Ф (хо) Ш Ф (xq) и ф (хо) > ф (х0). Следовательно, ф (х0) = ф (arj).

3) Например, если ф (х) = х с областью определения, состоящей из всех вещественных чисел, то ни max ф (х), ни min ф (х) не существуют.

4) Типичные примеры: функции c7Ck (т4, т2, . . ., хп) из п. 11.2.3 (или из (е) в п. 13.1.2), &С (Tlf т2) из п. 14.1.1.

их областей определения х). Во всяком случае, мы ограничиваем наши рассмотрения такими функциями, для которых max и min существуют.

13.2.2. Пусть теперь ср будет функцией многих переменных х, z/, £, . . . Выделяя одну из них, например х, и фиксируя значения других переменных г/, z, . . ., мы можем рассматривать ср (х, г/, z, . . .) как функцию одной переменной х. Следовательно, мы можем, как и в п. 13.2.1, образовать max ф (х, у, z, . . .), min ф (х, у, z, . . .) относительно х. Но так как мы можем проделать то же самое и для любой другой переменной у, z, . . ., необходимо указать, что операции max, min относятся именно к переменной х. Мы сделаем это, написав max ф (х, у, z, . . .) и

min ф (х, у, z, . . .) вместо неполных выражений max ф, min ф. Итак,

мы можем теперь применить к функции ф (х, у, z, > . .) любой из опера торов max, min, max, min, max, min. Все эти операторы различны,

x x у у z z

и наша запись становится недвусмысленной.

Даже для случая функции одной переменной эта запись является удобной, и мы будем ею пользоваться. Мы будем писать max ф (х) и

min ф (х) вместо соответственно max ф (х) и min ф (х).

Иногда удобно или даже необходимо явно указывать область S для максимума или минимума. Например, это будет в случае, когда функция Ф (х) определена также для некоторых значений х вне S, а желательно указать ее минимум или максимум только в пределах S. В таком случае мы пишем

тахф(я), ттф(х) вместо max ф (х), min ф (х).

В некоторых других случаях может оказаться проще перечислить все значения ф (х), скажем а, Ь, . . ., чем выражать ф (х) как функцию. Мы будем тогда писать max (a, fo, . . .) (или min (а, Ь, . . .)) вместо max ф (х) (или соответственно min ф (х)) 2).

13.2.3. Заметим, что, в то время как ф (х, у, z, . . .) является функцией от переменных х, у, z, . . ., max ф (х, у, z, . . .), min ф (х, у, z, . . .)

все еще являются функциями, но уже только от переменных у, zr . . . Чисто графически х по-прежнему присутствует в max ф (х, у, z, . . .).

min ф (я, у, z, . . .) но эта буква уже больше не является переменной.

*) Типичными примерами являются функции К (, rj), max К (£, т), min К (g, г\)

-> ->-

п 6 4 Ч

из п. 17.4, а также функции min Y Ж (т1т т2) £т , max J\ Ж (rd, т2) т) из п. 17.5.2.

-у ->

Для всех этих функций переменными являются \ или п (или они обе), относительно которых берется соответствующий максимум и минимум.

Другой пример рассмотрен в п. 46.2.1 (см. особенно замечание на стр. 397), где рассмотрены математическая сторона этого вопроса, а также литература. Здесь нет необходимости на этом останавливаться, так как упомянутые выше примеры достаточно элементарны.

2) Конечно, max (а, &, . . .) (равно как и min (а, Ь, . . .)) есть просто наибольшее (наименьшее) число среди чисел а, Ь, ...