Мы говорим, что операции max, min связывают выступающую в каче-

стве их индекса переменную х *).

Так как max ф (х, у, z, . . .) и min ф (х, у, z, . . .) по-прежнему

являются функциями переменных у, z, . . . 2), мы можем пойти дальше и составить выражения

max max ф (х, у, z, ...), max min ф (х, у, z, ...),

ух ух

min max ф (х, у, z, . . .), min min ф (о:, у, z, . . .).

ух ух

В равной мере мы можем рассматривать

max max ф (х, у, z, .. .), max min ф (я, г/, 2, ...)

ж у ас у

и т. д. 3), или использовать для максимизации или минимизации два других аргумента (если такие имеются), или использовать больше аргументов, чем два (если такие есть).

Наконец, после применения такого количества операций max или min, сколько имеется аргументов у ф (х, у, z, . . .), в любом порядке и комбинации, но в точности по одной для каждого аргумента х, у, z, . . ., мы получим функцию, вовсе не зависящую от каких-либо аргументов, т. е. постоянную.

13.3. Вопросы коммутативности

13.3.1. Рассуждения, приведенные в п. 13.2.3, дают основания смотреть на max, min, max, min, max, min, . . . как на функциональные

x x у у z z

операторы, каждый из которых переводит одну функцию в другую 4). Мы уже видели, что можно применять несколько таких операторов последовательно. В этом случае на первый взгляд представляется существенным, в каком порядке они применяются.

Но действительно ли это столь важно? Сформулируем вопрос точно. Говорят, что два оператора коммутируют, если, в случае их последовательного применения (к одному и тому же объекту), порядок, в котором они применяются, не имеет значения. Теперь поставим вопрос: коммутируют друг с другом или нет max, min, max, min, max, min, . . .?

x x у у z 1

Дадим ответ на этот вопрос. Для этой цели нам понадобится использовать только два аргумента, скажем г и у, а в таком случае нет необходимости и в том, чтобы ф была функцией от еще каких-либо переменных, кроме х и у 5).

х) Хорошо известной операцией в анализе, которая связывает переменную х, является определенный интеграл: ф (х) - функция от х, а ф (х) dx есть константа.

2) Мы рассматривали у, z, ... как постоянные параметры в п. 13.2.2. Но когда переменная связана, мы будем считать у, z% ... переменными.

3) Заметим, что если применены две или более операции, то первой применяется самая правая операция, и она связывает соответствующую переменную; затем применяется следующад по порядку справа операция и т. д.

4) С числом аргументов, меньшим на единицу, так как каждая из этих операций связывает одну переменную.

5) Для целей дальнейшего анализа значения остальных аргументов можно фиксировать и рассматривать как постоянные.

Итак, рассмотрим функцию от двух переменных ф (х, у). Ясно, что вопросы коммутативности заключаются в следующем: какие из трех написанных ниже равенств справедливы?

(13:1) max max ф (х, у) - max max ф (х, у),

х у ух

(13:2) min min ф (х, у) = min min ф (х, у),

х у ух

(13:3) max min ф (х, у) = min max ф (х, у)г).

х у ух

Мы увидим, что равенства (13:1) и (13:2) справедливы, в то время как (13:3) - нет, т. е. любые два max или любые два min коммутируют, тогда как max и min, вообще говоря, не коммутируют. Мы найдем также критерий, который указывает, в каких частных случаях max и min коммутируют.

К вопросу о коммутативности max и min мы вернемся при рассмотрении игр двух лиц с нулевой суммой (см. п. 14.4.2. и п. 17.6).

13.3.2. Рассмотрим сначала равенство (13.1). Интуитивно должно быть ясно, что max max ф (х, у) есть максимум ф (х, г/), если рассматри-

х у

вать х и у вместе, как единую переменную. Это значит, что для некоторых надлежащим образом выбранных х0 и у0

ф (#(ь У о) = max max ф (х, у)

х у

и для всех х и у должно быть ф (х0, у0) ф (х, у).

Если, однако, желательно математическое доказательство, то мы приведем и его. Выберем х0 так, чтобы функция max ф (х, у) достигала

максимума по х при х = х0, а затем выберем у0 так, чтобы функция ф (#о> У) достигала максимума по у при у = у0. В таком случае

ф (#о> У о) = max ф (х0, у) = max max ф (х, у)

У х у

и для всех х и у

ф fan У о) = тах Ф (sot У) = тах Ф У) = Ф (х> У)

Это завершает доказательство.

Теперь, меняя ролями х и у, мы убеждаемся, что max max ф (х, у)

у х

равно максимуму ф (х, у), если мы рассматриваем х, у как одну переменную.

Итак, обе части равенства (13:1) обладают одними и теми же характеристическими свойствами и поэтому они равны друг другу. Это доказывает (13:1).

Дословно та же аргументация применяется к min вместо max, только в этом случае необходимо всюду вместо написать Это доказывает равенство (13:2).

Такой способ рассмотрения двух переменных х, у как одной иногда оказывается очень удобным. Когда мы будем его применять (как, напри-

*) Комбинация min шах не требует отдельного рассмотрения, так как соответ-х у

ствующее равенство для нее получается из равенства для max min переменной ролями

х у

мер, в п. 18.2.1 с т4, т2 и &С (т4, т2) соответственно вместо рассматриваемых нами сейчас х, у и ф (х, г/)), мы будем писать max ф (х, у) и min ф (х, у).

х,У х* У

13.3.3. Здесь может оказаться полезной графическая иллюстрация. Предположим, что областью определения ф для х, у является конечное множество. Обозначим для простоты возможные значения х (в этой области) через 1, . . ., t, а значения у через 1, . . ., s. Тогда значения ф (х, у), соответствующие всем х, у в этой области, т. е. всем комбинациям х = 1, . . . t, у = 1, . . ., s, можно расположить в виде прямоугольной таблицы. Возьмем прямоугольник, у которого t строк и s столбцов. Будем использовать числа х = 1, . . ., t для нумерации строк, а числа у = = 1, . . ., s для нумерации столбцов. На месте пересечения строки х и столбца у (или, говоря короче, в клетке х, у) напишем значение ф (х, у) (табл. 1). Такая таблица чисел, известная в математике под названием прямоугольной матрицы, полностью описывает функцию ф (х, у). Стоящие в таблице значения ф (х, у) называются элементами матрицы.

Таблица 1

/ Заметим теперь, что max ф (х, у) есть максимум ф (х, у) в строке х

max max ф (х, у)

х у,

является поэтому максимумом среди максимумов по строкам. С другой стороны,

max ф (х, у)

есть максимум ф (х, у) в столбце у. Следовательно, max max ф (х, у)

является максимумом среди максимумов по столбцам. Наши утверждения в п. 13.3.2 относительно (13:1) можно теперь сформулировать так: максимум среди максимумов по строкам - тот же, что и максимум среди