Следовательно,

max min ср (х, у) ср~(#0, у0) min max у(х, у).

х у ~ ух

С учетом (13:А*) это дает

max min ср (х, у)=ц> (х0, у0) = min max ср (х, у)

х у ух

и, следовательно, нужное равенство.

13.5.2. Рассуждения п. 13.5.1 приводят к некоторым дальнейшим результатам, которые имеет смысл отметить. Мы предположим теперь существование седловой точки, т. е. справедливость равенства (13:В*).

Для каждой седловой точки х0, у0

(13:С*) ср (#0, уо) =max min ср (х, у) = min max ср у).

х у ух

Доказательство. Это совпадает с последним равенством в доказательстве достаточности (13:В*) в п. 13.5.1.

(13:D*) #0, уо образуют седловую точку тогда и только тогда, когда х0 принадлежит <р, а у0 принадлежит В® 1).

Доказательство достаточности. Пусть х0 принадлежит А®, а уо принадлежит В®. Тогда доказательство необходимости (13:В*) в п. 13.5.1 показывает, что пара х0, у о является седловой точкой.

Доказательство необходимости. Пусть х0, у0 - седловая точка. Воспользуемся (13:С*). Для каждого х должно быть

min ф (#, у) max min ф (х, у) = <р (ж0, у о) = min ф (х0, у)9

уху у

т. е. min ф (х0, у) min ф (хг, у); поэтому min ф (х, у) достигает своего

У У у

максимального значения при х = х0. Следовательно, х0 принадлежит А®. Аналогично для каждого у

max ф (х, у) min max ф (х, у) = ф (х0, у0) = max ф (х, у0),

х у X X

т. е. max ф (х, у0) max ф (х, у)\ поэтому max ф (х, у) достигает

XX X

своего минимального значения при у = у0. Следовательно, у0 принадлежит В®. Это завершает доказательство.

Теоремы (13:С*), (13:D*) указывают, между прочим, на недостатки аналогии, описанной в конце п. 13.4.2, т. е. они показывают, что наше понятие седловой точки уже, чем обиходное представление о седле, или перевале. Действительно, (13:С*) указывает, что все седла, в предположении их существования, имеют одну и ту же высоту. A (13:D*) утверждает, что, если мы изобразим множества А®, В® как два интервала чисел 2), то все седла образуют область, которая имеет форму прямоугольного плато 3).

г) Только при наших предположениях, сформулированных в начале этого пункта. В противном случае седловых точек нет вообще.

2) Если х, у - целые положительные числа, то это, конечно, можно осуществить при помощи двух соответствующих преобразований их областей.

3) Общие математические понятия, упомянутые в сноске 1 на стр. 121, свободны от этих недостатков. Они точно соответствуют обиходному представлению о перевале.

13.5.3. Мы закончим этот раздел доказательством существования седловой точки для одного частного вида х, у и ф (х, у). Далее станет видно, что общность этого частного случая не является незначительной. Пусть дана функция if (х, и) двух аргументов х, и. Рассмотрим все функции / (х) аргумента х, которые принимают значения в области изменения и. Сохраним теперь аргумент х, а вместо аргумента и используем саму функцию /*). Выражение if (х, f (х)) определяется для любых х и /; следовательно, мы можем трактовать if (х, f (х)) как функцию аргументов х, f и взять ее вместо ф (х, у).

Мы хотим доказать, что для этих х, f и if (х, f (х)) (вместо хну и ф (х, у)) существует седловая точка, т. е. что

(13:Е) maxminif(#, f (х)) == min max if (я, f(x)).

! х f fx

Доказательство. Выберем для каждого х значение щ так, чтобы было if (х, щ) = min if) (х, и). Это и0 зависит от х; следовательно,

мы можем определить функцию /0 равенством щ = /0 (#), Тем самым if (х, /о (х)) = min if (х, и). Следовательно,

max if (х, /о (х)) = max min if (i, и).

x х и

Тем более

(13:F) min max if (x, f (x)) :g max min if (#, u).

fx X и

Далее, min if (x, f (x)) есть то же самое, что и min if (х, и), так как /

входит в это выражение только через свое значение при данном х, т. е. / (х), для которого мы можем написать и. Таким образом, min if (х, f (х)) =

= min if (я, и) и потому

(13:G) max min if (x, f (x)) = max min if (x, u).

X f X и

Соотношения (13:F) и (13:G) вместе устанавливают справедливость знака в (13:Е). Знак :g в (13:Е) имеет место благодаря (13:А*). Следовательно, в (13:Е) мы имеем знак равенства, т. е. доказательство завершено.

§ 14. ВПОЛНЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИГРЫ

14.1. Формулировка проблемы

14.1.1. Теперь мы приступаем к рассмотрению игры двух лиц с нулевой суммой. Начнем с использования нормальной формы.

В соответствии с этим игра состоит из двух ходов: игрок 1 выбирает число т4 = 1, . . Pi, а игрок 2 выбирает т2 = 1, . . ., р2 (каждый выбор производится при полном незнании выбора другого игрока), после чего игроки 1 и 2 получают соответственно выигрыши Ж± (тА, т2) и Ж2 (Tl, т2) 2).

х) Читателю предлагается отдать себе отчет в том, что, хотя / является функцией, она вполне может быть аргументом другой функции. 2) См. (11:D) в п. 11.2.3.

Так как мы рассматриваем игру с нулевой суммой, согласно п. 11.4 мы имеем

STi т2) + Й8Г2 (tlf т2) = 0. Мы предпочитаем выразить это следующим образом:

й8Г± (tlf т2) = Ж (т4, т2), Ж2 (т41 т2) = - SST (т4, та).

Попытаемся теперь понять, как очевидные желания игроков 1 и 2 определяют их действия, т. е. выборы т4 и т2.

Разумеется, необходимо снова напомнить, что т4 и т2 означают, в конечном счете, не выборы (ходы) игроков, а их стратегии, т. е. их полные теории , или планы относительно игры.

Мы пока оставим это в стороне. Впоследствии мы вернемся к такому пониманию т4 и т2 и проанализируем течение партии.

14.1.2. Желания обоих игроков достаточно просты. Первый стремится сделать Ж (т4, х2) = Ж (т4, т2) максимальным, а второй стремится сделать максимальным Ж2 (i 2) = - Ж (хи т2), т.е. первый желает максимизировать, а второй желает минимизировать Ж (т4, т2).

Итак, интересы двух игроков сосредоточены на одном и том же объекте: на единственной функции Ж (т4, т2). Но их цели, как этого и следует ожидать в игре двух лиц с нулевой суммой, прямо противоположны: первый хочет максимизировать, второй хочет минимизировать. Специфической трудностью во всем этом является то, что ни один из игроков не контролирует полностью объекта своих стремлений, значение Ж (т4, т2), т. е. обе переменные т4 и т2. Первый хочет максимизировать, но он контролирует только т4) второй хочет минимизировать, но он контролирует только т2. Что же на самом деле произойдет?

Трудность заключается в том, что никакой конкретный выбор, скажем т4, не может сам по себе сделать Ж (т4, т2) большим или меньшим. Вообще влияние т4 на (т4, т2) является неопределенным; оно становится определенным только в соединении с выбором другой переменной, в данном случае т2. (Ср. соответствующую трудность в экономике, рассмотренную в п. 2.2.3.)

Заметим, что с точки зрения игрока 1, который выбирает переменную, скажем, т4, другая переменная, конечно, не может рассматриваться как случайное событие. Другая переменная, в данном случае т2, зависит от воли другого игрока, который должен рассматриваться в свете той же рациональности , как и сам первый. (См. также конец п. 2.2.3 и п. 2.2.4.)

14.1.3. На этой стадии удобно использовать графическое представление, введенное в п. 13.3.3. Представим Ж (т4, т2) в виде прямоугольной матрицы: образуем прямоугольник из р4 строк и р2 столбцов, используя числа т4 = 1, . . ., pi для нумерации первых и числа т2 = 1, . . ., р2 для нумерации вторых, и в клетку с номерами т4 и т2 впишем элемент матрицы Ж (т4, т2). (См. табл. 1 в п. 13.3.3. Участвующие там ср, ж, г/, t, s соответствуют нашим Ж, т4, т2, р4, р2 (табл. 5).)

Следует отдать себе отчет в том, что на функцию Ж (т4, т2) не накладывается никаких ограничений, т. е. мы свободны выбрать ее по своему желанию х). Действительно, любая данная функция Ж (т4, т2) определяет

*) Область определения, конечно, предписывается: она состоит из всех пар т4, То, где т4 = 1, . . ., р4, т2 = 1, . . ., Рг- Это конечное множество, так что все max и min существуют, см. конец п. 13.2.1.