игру двух лиц с нулевой суммой в смысле (11:D) п. 11.2.3 путем простого определения

т2) = вГ(т4 т2), ЙГ2(т4, т2)~-(ть т2)

(см. п. 14.1.1). Желания игроков 1 и 2, как это описано в конце предыдущего пункта, можно представить себе следующим образом. Оба игрока заинтересованы только в значениях элемента матрицы &С (т4, т2). Игрок 1 старается максимизировать его, но он контролирует только строку, т. е. число т4. Игрок 2 старается минимизировать его, но он контролирует только столбец, т. е. число т2.

Мы должны теперь попытаться найти удовлетворительную интерпретацию для выхода из этого своеобразного перетягивания каната

14.2. Минорантная и мажорантная игры

14.2. Вместо того чтобы пытаться непосредственно приступать к разрешению самой игры Г, к чему мы еще не подготовлены, рассмотрим две другие игры, которые тесно связаны с игрой Г и которые поддаются непосредственному обсуждению.

Ясно, что трудность при анализе игры Г заключается в том, что игрок 1, выбирая ть не знает, с каким выбором т2 игрока 2 он столкнется, и наоборот. Поэтому сравним игру Г с другими играми, для которых эта трудность не возникает.

Определим первую игру Г4, которая совпадает с игрой Г во всех деталях, за исключением того, что в игрок 1 делает свой выбор Tt

х) Конечно, дело в том, что это не просто перетягивание. Два игрока имеют противоположные цели, но средства, при помощи которых они продвигаются к ним, не противоположны друг другу. Напротив, эти средства , т. е. выборы ти т2, очевидно, независимы. Это противоречие характеризует проблему в целом.

до того, как игрок 2 сделает свой выбор т2, а затем игрок 2 делает свой выбор, зная, какое значение придал игрок 1 переменной т4 (т. е. ход пер вого игрока предшествует ходу второго)*). Очевидно, в этой игре Г4 игрок 1 находится в невыгодном положении по сравнению с его положением в исходной игре Г. Поэтому мы будем называть 1\ минорантной игрой, соответствующей игре Г.

Аналогично определим вторую игру Г2, которая также совпадает с Г во всех деталях, за исключением того, что теперь игрок 2 делает свой выбор т2 до того, как игрок 1 сделал свой выбор т4, и лишь затем игрок 1 совершает выбор, зная, какое значение придал игрок 2 переменной т2 (т. е. ход второго игрока предшествует ходу первого) 2). Очевидно, в этой игре Г2 игрок 1 находится в выгодном положении по сравнению с его положением в игре Г. Будем поэтому называть Г2 мажорантной игрой соответствующей игре Г.

Введением этих двух игр Г4, Г2 достигается следующее. Должно быть очевидно из общих соображений, а мы установим это также и путем строгих рассуждений, что для каждой из игр 1\ и Г2ясен наилучший способ игры , т. е. ясна теория рационального поведения. С другой стороны, очевидно, что игра Г лежит между играми Г4 и Г2. Например, с точки зрения игрока 1, игра Г\ всегда менее, а игра Г2 всегда более выгодна, чем игра Г3). Таким образом, можно ожидать, что Г4 и Г2 описывают нижнюю и верхнюю границы для важнейших характеристик игры Г. Конечно, мы будем рассматривать все это совершенно строгим образом. Априори эти границы могут существенно отличаться друг от друга и оставлять значительную неопределенность для соответствующих характеристик игры Г. Действительно, на первый взгляд может показаться, что так обстоит дело для многих игр. Но, действуя этим методом и введя некоторые дополнительные операции, мы добьемся того, что получим в конце концов точную теорию для игры Г, которая полностью ответит на все вопросы.

14.3. Рассмотрение вспомогательных игр

14.3.1. Рассмотрим сначала минорантную игру Г4. После того как игрок 1 выберет т 4, игрок 2 выбирает т2, зная значение т4. Так как второй игрок желает минимизировать Ж (т4, т2), он, несомненно, выберет т2 так, чтобы сделать значение Ж (т4, т2) минимальным при данном т4. Другими словами, -когда игрок 1 выбирает определенное значение т4, он уже может предвидеть, каково будет значение Ж (т4, т2). Это будет min Ж (ti, т2) 4). Это функция только от т4. Поскольку игрок 1 хочет

максимизировать Ж (т4, т2) и так как его выбор т4 ведет к значению min Ж (Ti, т2), которое зависит только от т4 и совеем не зависит от т2\

. он выберет хх так, чтобы максимизировать min Ж (т1} т2). Таким образом,

х) Таким образом, игра Г4, хотя она и чрезвычайно проста, уже не является игрой в нормальной форме.

2) Таким образом, игра Г2, хотя она и чрезвычайно проста, уже не является игрой в нормальной форме.

3) Конечно, чтобы быть точными, мы должны говорить не более вместо менее и не менее вместо более .

4) Отметим, что т2 не обязано определяться единственным образом: для данного rt функция Ж (т4, т2), как функция т2, может достигать своего минимума при нескольких значениях т2. Однако значение Ж (т4, т2) будет одним и тем же для всех этих т2, а именно единственно определяемым минимальным значением min Ж (т4, т2). (См. п. 13.2.1).

окончательное значение этой величины будет

max min Ж (т4, т2) *).

Резюмируем:

(14:А:а) Оптимальным способом игры (стратегией) для первого игрока в минорантной игре Г4 является выбор .принадлежащего множеству А, где А - множество тех т1? для которых min Ж (т4, т2)

достигает своего максимального значения max min Ж (ti, т2).

Ti Т2

(14:A:b) Оптимальным способом игры (стратегией) для второго игрока является следующий. Если первый игрок выбрал определенное значение т4 2), то т2 должно быть выбрано из множества ВХхУ где В%1 - множество тех т2, для которых Ж (т4, т2) достигает своего минимального значения min Ж (%и т2) 3).

На основании этого мы можем утверждать следующее:

(14:А:с) Если оба игрока играют минорантную игру Г4 оптимальным образом, т. е. если xi принадлежит А и т2 принадлежит Вх±, то значение Ж (т1? т2) будет равно

vt = max min Ж (xi9 т2).

Истинность высказанного выше утверждения в математическом отношении устанавливается непосредственно, если вспомнить определения множеств А и ВХ1 и соответственно подставить их в утверждение. Мы оставляем это упражнение, которое является лишь классической операцией подстановки определенного в определяемое , читателю. Кроме того, наше утверждение должно быть ясно и из общих соображений.

\ Все рассмотренное делает очевидным, что каждая партия игры Tt имеет определенное значение для каждого игрока. Этим значением для игрока 1 является упоминавшееся выше vt и, следовательно, -vt для игрока 2.

Еще более детальное представление о смысле v* можно получить следующим путем:

(14:A:d). Игрок 1 может, играя надлежащим образом, обеспечить себе выигрыш vt независимо от того, что делает игрок 2. Игрок 2, играя надлежащим образом, может обеспечить себе выигрыш - v4 независимо от того, что делает игрок 1.

*) Из тех же самых соображений, что и в предыдущей сноске, значение г4 может определяться неоднозначно, но величина min Ж (tl7 т2) будет одной и той же для всех

рассматриваемых т1? а именно однозначно определяемым максимальным значением

max min Ж (ti, т2).

Ti Т2

2) Второй информирован о значении г1т когда приступает к выбору это правило игры Ti. В этом случае из определения стратегии следует (см. п. 4.1.2 и конец п. 11.1.1), что для второго игрока должны быть предусмотрены выборы т2 для каждого значения t4, независимо от того, хорошо ли играет первый или нет, т. е. независимо от того, принадлежит ли выбранное значение Л.

3) Вообще, tt рассматривается как известный параметр, от которого зависит все, и в том числе множество В из которого должно быть выбрано т2.