(Доказательство. Первое устанавливается выбором произвольного Xi яз А. Второе устанавливается произвольным выбором т2 из BXl *). Мы снова оставляем детали читателю; они совсем тривиальны.)

Сказанное выше можно эквивалентно сформулировать так:

(14:А:е) Игрок 2, играя надлежащим образом, может добиться того, что выигрыш игрока 1 будет v4, т. е. воспрепятствовать ему выиграть > v4 независимо от действий игрока 1. Игрок 1, играя надлежащим образом, может добиться того, что выигрыш игрока 2 будет rg - v4, т. е. воспрепятствовать ему выиграть > -v4 независимо от действий игрока 2.

14.3.2. Мы провели обсуждение игры Г4 весьма детально, хотя решение здесь довольно очевидно. То есть вполне возможно, что кто-нибудь, внимательно посмотрев на ситуацию, легко придет к тем же самым выводам нематематически , используя только общие соображения. Тем не менее, мы вынуждены были обсудить этот случай так подробно, потому что он является прототипом для ряда других, где ситуация будет гораздо менее доступна нематематическому взгляду. Кроме того, все существенные элементы сложности, так же как и основания для преодоления их, на самом деле присутствуют уже в этом простейшем случае. Рассматривая соответствующие положения этих элементов сложности, ясные в данном случае, можно будет отчетливо представить себе их в последующих, более сложных случаях. И только таким образом можно будет точно судить о том, чего можно достичь каждым конкретным способом.

14.3.3. Рассмотрим теперь мажорантную игру Г2.

Игра Г2 отличается от игры Г4 только тем, что в ней игроки 1 и 2 поменялись ролями. Теперь игрок 2 должен выбирать т2 первым, а затем игрок 1 выбирает т4, зная значение т2.

Но, говоря, что Г2 получается из Г4 переменой ролей игроков 1 и 2, следует помнить, что в этом процессе игроки сохраняют свои функции ffli хъ) и Ж2 (ti, т2), т. е. соответственно Ж (т4, т2) и - Ж (хи т2). Это значит, что игрок 1 желает максимизировать, а игрок 2 - минимизировать Ж (т4, т2).

Отдав себе в этом отчет, оставим практически дословное повторение рассуждения п. 14.3.1 читателю. Мы ограничимся повторением существенных определений в той форме, в которой, они применимык Г2.

(14:В:а) Оптимальным способом игры (стратегией) для игрока 2 в мажорантной игре Г2 является выбор т2, принадлежащего множеству В, где В -- множество тех т2, для которых шах Ж (т1? т2) дости-

гает своего минимального значения min max Ж (т4, т2).

Т2 Cl

(14:В:Ь) Оптимальным способом игры (стратегией) для игрока 1 является следующий: если игрок 2 выбрал определенное значение т2 2), то т4 должно быть выбрано из множества А%2, где АХ2 - множество тех ть для которых Ж (ть т2) достигает своего максимального значения max Ж (ть т2) 3). *i

г) Напомним, что т4 должно выбираться без знания значения т2, в то время как т2 выбирается после того, как известно т.

2) Первый информирован о значении т2, когда он приступает к выбору xt. Это правило игры Г2 (см. сноску 2 на стр. 128).

3) Вообще, т2 рассматривается как известный параметр, от которого зависит все, и в том числе множество ЛТ2, из которого должно быть выбрано т4.

На основе сказанного мы можем утверждать следующее:

(14:В:с) Если оба игрока 1 и 2 играют мажорантную игру Г2 оптимально, т. е. если т2 принадлежит В, а т4 принадлежит ЛТ2, то значение Ж (ть т2) будет равно

v2 = min max Ж (ть т2).

Из всего рассмотренного должно быть ясно, что каждая партия игры Г2 имеет определенное значение для каждого игрока. Этим значением является введенное выше v2 для игрока 1 и поэтому -v2 для игрока 2.

Чтобы подчеркнуть симметричность всей аргументации, мы повторим, сделав соответствующие изменения, те выводы, которыми заканчивается п. 14.3.1. Они полезны для того, чтобы дать более детальное представление о смысле v2.

(14:B:d) Игрок 1 может, играя надлежащим образом, обеспечить себе выигрыш v2 независимо от того, что делает игрок 2. Игрок 2 может, играя надлежащим образом, обеспечить себе выигрыш -v2 независимо от того, что делает игрок 1-

(Доказательство. Второе устанавливается выбором произвольного т2 из 5. Первое устанавливается произвольным выбором т4 из АХ2 г). Ср. с доказательством, приведенным раньше.)

Сказанное выше снова можно эквивалентно сформулировать так:

(14:В:е) Игрок 2 может, играя соответствующим образом, добиться того, чтобы выигрыш игрока 1 был v2, т. е. воспрепятствовать ему выиграть > v2 независимо от действий игрока 1. Игрок 1 может, действуя соответствующим образом, добиться того, чтобы выигрыш игрока 2 был :fg -v2, т. е. воспрепятствовать ему выиграть > -v2 независимо от действий игрока 2.

14.3.4. Обсуждения игр 1\ и Г2, проведенные соответственно в п. 14.3.1 и в п. 14.3.3, находятся в отношении симметрии, или двойственности друг к другу. Они получаются друг из друга, как отмечалось раньше (в начале п. 14.3.3), переменой ролей игроков 1 и 2.

Ни игра Г4, ни Г2 сами по себе не являются симметричными относительно такого изменения. Действительно, это лишь повторное утверждение того факта, что перемена ролей игроков 1 и 2 переводит игры Г4 и Г2 друг в друга и, таким образом, изменяет обе эти игры. Это находится в соответствии с тем, что различные утверждения, которые мы устанавливали в п. 14.3.1 и п. 14.3.3 относительно оптимальных стратегий соответственно в играх в Ti и Г2, т. е. (14:А:а), (14:А:Ь), (14:В:а), (14:В:Ь), не были симметричны относительно игроков 1 и 2. И снова мы видим, что перемена ролей игроков 1 и 2 меняет местами основные определения для игр Ti и Г2 и тем самым изменяет обе эти игры 2).

г) Напомним, что т2 должно быть выбрано без знания г4, в то время как т4 выбирается после того, как известно значение т2.

2) Отметим, что исходная игра Г будет симметричной относительно игроков 1 и 2, если мы допустим, что за каждым игроком сохраняется его функция Ж\ (т, т2), Ж2 т2) при изменении их ролей, т. е. индивидуальные действия игроков 1 и 2 имеют тот же самый характер, что и в Г.

Для более узкого понятия симметрии, когда функции <Ж± (ги т2), Ж\ (т, т2) считаются фиксированными, см. п. 14.6.

Поэтому весьма знаменательно, что характеризация значения партии (Vi для Г*1, v2 для Г2), введенная в конце п. 14.3.1 и п. 14.3.3, т. е. (14:А:с), (14:A:d), (14:А:е), (14:В:с), (14:B:d), (14:В:е) (за исключением формул в конце (14:А:с) и (14:В:с)), полностью симметрична относительно игроков 1 и 2. В соответствии с тем, что говорилось выше, это совпадает с утверждением о том, что эти характеризации установлены одним и тем же способом для 1\ и для Г2 х). Все это, конечно, является в равной мере очевидным при непосредственной проверке соответствующих мест.

Итак, нам удалось определить значения партии одинаковым способом для игр Ti и Г2 и симметрично для игроков 1 и 2: в (14:А:с), (14:A:d), (14:А:е), (14:В:с), (14:B:d) и (14:В:е) в п. 14.3.1 и в п. 14.3.3. Это было сделано, несмотря на существенное различие индивидуальных ролей каждого игрока в обеих играх. Все это внушает надежду, что определение значения партии может быть использовано в той же форме и с таким же успехом и для других игр, в частности для игры Г, которая занимает промежуточное положение между Г4 и Г2. Эта надежда касается, конечно, только самого понятия значения, но не тех рассуждений, которые приводят к нему. Они специфичны в ГА ив Г2, фактически различны для Г4 и для Г2 и вообще непригодны для самой игры Г. Иными словами, в дальнейшем мы ожидаем большего от (14:A:d), (14:А:е), (14:B:d) и (14:В:е), чем от (14:А:а), (14:А:Ь) и (14:В:а), (14:В:Ь).

Ясно, что это - только эвристические соображения. До сих пор мы даже не пытались доказать, что численное значение партии для Г может быть определено этим путем. Теперь мы приступим к детальному рассмотрению, которое восполнит этот пробел. Мы увидим, что сначала некоторые определенные и серьезные трудности ограничат на первый взгляд применимость этой методики, но в дальнейшем будет возможно устранить их введением нового аппарата. (См. соответственно п. 14.7.1 и пп. 17.1-17.3.)

14.4. Выводы

14.4.1. Мы видели, что вполне правдоподобной интерпретацией значения партии являются величины

V£ = max min &£ (т4, т2), v2 =- min max $C (xu т2)

соответственно для игр Г4 и Г2 относительно игрока 1 2).

Так как игра Г4 менее благоприятна для игрока 1, чем игра Г2 (в 1\ он должен сделать ход до хода своего противника, которому будет известен его ход, в то время как в игре Г2 наблюдается обратная ситуация), разумным является вывод о том, что значение для Г4 меньше или равно (т. е. наверняка не больше), чем значение для Г2. Каждый может судить о строгости этого доказательства . Этот вопрос решить трудно, но, во всяком случае, тщательный анализ словесных аргументов показывает, что они по существу воспроизводят математическое доказательство того же

*) Этот вопрос заслуживает внимательного рассмотрения. Естественно, что эти две характеризации должны получаться друг из друга путем изменения ролей игроков 1 и 2. Но в этом случае утверждения совпадают непосредственно, когда никакого изменения игроков не делается. Это следует из их индивидуальной симметрии.

2) Следовательно, для игрока 2 значениями являются - y± и -v2.