самого утверждения, которое мы уже получили. Действительно, то, что мы утверждаем:

Vi v2,

совпадает с (13:А*) в п. 13.4.3 (где ф, хя у соответствуют нашим 5i\ ти т2).

Вместо того, чтобы рассматривать v4 и v2 в качестве значений для двух игр Г4 и Г2, отличных от Г, мы можем связать их с самой игрой Г при соответствующих предположениях относительно интеллекта игроков 1 и 2.

Действительно, правила игры Г предписывают, чтобы каждый игрок делал свой выбор (свой собственный ход) при полном неведении о выборе своего противника. Тем не менее возможно, что один из игроков, скажем 2, раскрывает своего противника, т. е. что он как-то получил информацию о его стратегии х).

Мы не будем касаться вопроса об источнике этой информации; им может быть (но не обязательно будет) опыт, накопленный в предыдущих партиях. Во всяком случае, мы предполагаем, что игрок 2 такой инфор-цией обладает. Возможно, конечно, что в этой ситуации игрок 1 изменит свою стратегию, но мы опять предположим, что по каким-то причинам он не делает этого2). При этих предположениях мы можем говорить, что игрок 2 раскрыл своего противника.

В этом случае условия в Г становятся точно такими же, как и в Г4, и, следовательно, все рассуждения п. 14.3.1 применимы дословно. Аналогично можно представить себе противоположную возможность, что игрок 1 раскрыл своего противника. Тогда условия в Г становятся точно такими же, как в игре Г2, и, следовательно, все рассуждения п. 14.3.3 применимы дословно.

В свете изложенного выше мы можем сказать следующее. Значение партии игры Г является определенной величиной, если делается одно из следующих двух крайних предположений: или что игрок 2 раскрывает своего противника, или что игрок 1 раскрывает своего противника. В первом случае значение партии есть v4 для 1 и -v4 для 2, во втором случае значение партии есть v2 для 1 и -v2 для 2.

14.4.2. Эти рассуждения показывают, что если значение партии самой игры Г (без каких-либо дальнейших ограничений или модификаций) вообще может быть определено, то оно должно лежать между значениями Vi и v2. (Мы имеем в виду значение для игрока 1.) То есть если мы обозначим через v значение партии для игры Г (для игрока 1), то должно быть

Vi v v2.

Длина этого интервала, в котором может находиться v, есть

A = v2 - ViO.

В то же время А выражает преимущество, которого добивается (в игре Г) игрок, раскрыв своего противника вместо того, чтобы быть раскрытым самому 3).

х) В игре Г, которая является игрой в нормальной форме, стратегия есть просто фактический выбор при единственном индивидуальном ходе игрока. Вспомнив, как эта нормальная форма получается из первоначальной позиционной формы игры, мы убедимся, что этот выбор в точности соответствует стратегии в первоначальной игре.

2) По поводу интерпретации всех этих предположений см. п. 17.3.1.

3) Отметим, что это выражение для преимущества в игре Г применимо к обоим игрокам. Преимущество для игрока 1 равно v2 - v4, для игрока 2 оно равно ( -Vi) - (-v2), и оба выражения равны друг другу, т. е. равны А.

Далее, игра может быть такой, что неважно, какой игрок раскрыл своего оппонента, т. е. что получаемое преимущество при этом равно нулю. В соответствии со сказанным выше, это может быть в том и только в том случае, когда

Д = 0

или, что то же самое, когда

Vi = v2.

Или, если мы заменим v4 и v2 выражениями, которые их определяют, max min Ж (ть т2) = min max Ж (т4, т2).

Если игра Г обладает этими свойствами, то будем называть ее вполне определенной.

Последняя форма этого условия требует сравнения с (13:3) в п. 13.3.1 и с рассуждениями в пп. 13.4.1-13.5.2 (снова ф, хж у там соответствуют нашим Ж, тит/г). Действительно, утверждение (13:В*) в п. 13.4.3 говорит, что игра Г вполне определена тогда и только тогда, когда существует седловая точка функции Ж (г4, т2).

14.5. Анализ полной определенности

14.5.1. Предположим, что игра Г вполне определена, т. е. что существует седловая точка функции Ж (г4, т2).

В этом случае анализ в п. 14.4.2 вселяет надежду, что станет возможным интерпретировать величину

v = vt = v2

как значение партии для Г (для игрока 1). Вспоминая определения у4и v2 и определение седловой точки в п. 13.4.3 и используя (13:С*) в п. 13.5.2, мы видим, что последнее равенство может быть записано как

v = max min Ж (т4, т2) = min max Ж (т4, т2) = SaTl/t23f (тА, т2).

Ti Т2 Т2 х1

Повторяя шаг за шагом то, что делалось в конце п. 14.3.1 и в конце п. 14.3.3, нетрудно установить, что v можно интерпретировать как значение партии для Г (для игрока 1).

В частности, (14:А:с), (14:A:d), (14:А:е), (14:В:с), (14:B:d), (14:В:е) из п. 14.3.1 и п. 14.3.3, где они применялись к Г4 и Г2 соответственно, теперь могут быть получены для Г. Начнем с того, что воспроизведем утверждение, эквивалентное (14:A:d) и (14:B:d) г):

(14:C:d) Игрок 1 может, играя надлежащим образом, обеспечить себе выигрыш £2: v независимо от того, что делает игрок 2.

Игрок 2 может, играя надлежащим образом, обеспечить себе выигрыш -v независимо от того, что делает игрок 1.

Для того чтобы доказать это, мы снова образуем множество А из (14:А:а) в п. 14.3.1 и множество В из (14:В:а) в п. 14.3.3. Они являются фактически множествами Аф, В® из п. 13.5.1 (ф соответствует нашей Ж). Мы повторяем:

х) Здесь (а) - (f) появляются в необычном порядке, так как нумерация основывается на пп. 14.3.1 и 14.3.3, а рассуждения в этих пунктах шли по несколько иному пути.

(14:D:a) А есть множество тех т1? для которых minG%b(t1, т2) дости-гает своего максимального значения, т. е. для которых minS?,(t1, т2) = max min Ж (т4, t2) = v.

Т2 %1 %2

(14:D:b) В есть множество тех т2, для которых шдхЖ {хи т2) достигает своего минимального значения, т. е. для которых тахе(т1? т2) =minmax(2%T (t4, t2) = v.

Теперь легко доказывается утверждение (14:C:d). Пусть игрок 1 выбирает т4 из А. Тогда, независимо от действий игрока 2 (т. е. для каждого т2), мы имеем Ж (ть т2) min Ж (т4, т2) = v,

т. е. выигрыш игрока 1 v.

Пусть игрок 2 выбирает т2 из В. Тогда, независимо от действий игрока 1 (т. е. для каждого т, мы имеем Ж (т4, t2)5gmaxe%r (т4, т2) =

= v, т. е. выигрыш игрока Ivh, таким образом, выигрыш игрока 2

-v.

Это завершает доказательство.

Теперь перейдем к утверждению, эквивалентному (14:А:е) и (14:В:е). Действительно, (14:C:d) эквивалентно можно сформулировать так:

(14:С:е) Игрок 2, играя соответствующим образом, может добиться того, что выигрыш игрока 1 будет g v, т. е. может воспрепятствовать ему выиграть > v независимо от его действий.

Игрок 1, играя соответствующим образом, может добиться того, что выигрыш игрока 2 будет g -v, т. е. воспрепятствовать ему выиграть > -v независимо от его действий. (14:C:d) и (14:С:е) вполне устанавливают нашу интерпретацию v, как значения партии для Г для игрока 1 и -v для игрока 2.

14.5.2. Рассмотрим теперь эквиваленты утверждений (14:А:а),

(14:А:Ь), (14:В:а), (14:В:Ь).

Благодаря (14:C:d) в п. 14.5.1 разумно определять оптимальный способ игры игрока 1 в игре Г как способ, гарантирующий ему выигрыш, больший или равный значению партии для 1, независимо от действия 2, т.е. выбор т4, для которого Ж (т4, t2)v при всех т2. Эквивалентно это можно записать как min Ж (т4, т2)) v.

Далее, всегда верно

min Ж (т4, т2) max min Ж (т4, т2) = v.

2 Tl Т2

Следовательно, высказанное выше условие для т4 превращается в min Ж (ti, т2) = v, т. е. (благодаря (14:D:a) в п. 14.5.1) т4 принадле-

жит А.

С другой стороны, ввиду (14:C:d) в п. 14.5.1 разумно определять оптимальный способ игры для игрока 2 в игре Г как способ, гарантирующий ему выигрыш, больший или равный значению партии для 2, независимо от действий 1, т. е. выбор т2, для которого - Ж (т4, т2) - v при всех т4. Это значит, что Ж (т4, т2) rg v для всех т4. В эквивалентной форме это можно записать как max Ж (т4, t2)rgv.