Далее, всегда верно

max Ж (хх, т2)г> min max Ж (т4, т2) = v.

Следовательно, высказанное выше условие для т2 превращается в в max Ж (Ti, т2) = v, т. е. (благодаря (14:D:b) в п. 14.5.1) т2 принад-

лежит В.

Таким образом, мы имеем:

(14:С:а) Оптимальным способом игры (стратегией)1 для игрока 1 в игре Г является выбор любого т4, принадлежащего А, где А - множество из (14:D:a) в п. 14.5.1.

{14:С:Ь) Оптимальным способом игры (стратегией) для игрока 2 в игре Г является выбор любого т2, принадлежащего В, где В - множество из (14:D:b) в п. 14.5.1 *).

Наконец, наше определение оптимального способа игры, как указывалось в начале этого пункта, немедленно дает утверждение, эквивалентное (14:А:с) рли (14:В:с).

(14:С:с) Если оба игрока играют в игре Г оптимально, т. е. если т4 принадлежит А, а т2 принадлежит 5, то значение Ж (т1? т2) будет равно значению партии (для игрока 1), т. е. v. Заметим, что (13:D*) в п. 13:5.2 и замечания, изложенные перед утверждениями (14:D:a) и (14:D:b) в п. 14.5.1 относительно множеств А, В, вместе взятые, дают нам следующее.1

(14:C:f) Оба игрока 1 и 2 играют в игре Г оптимально, т. е. т4 принадлежит 4, а т2 принадлежит В тогда и только тогда, когда хи т2 является седловой точкой 8С (х\, т2).

14.6. Перемена ролей игроков. Симметрия

14.6. Утверждения (14:С:а)-(14:C:f) в пп. 14.5.1 и 14.5.2 разрешают все трудности в той мере, в какой речь идет о вполне определенных играх двух лиц. В связи с этим заметим, что в пп. 14.3.1 и 14.3.3 для игр Г4 и Г2 мы вывели (14:A:d), (14:А:е), (14:B:d), (14:В:е) из (14:А:а), (14:А:Ь), (14:В:а), (14:В:Ь), в то время как в пп. 14.5.1 и 14.5.2 для самой игры Г мы получили (14:С:а), (14:С:Ь) из (14:C:d), (14:С:е). Это является преимуществом, так как аргументы в пп. 14.3.1 и 14.3.3 в пользу (14:А:а), (14:А:Ь) (14:В:а), (14:В:Ь) носили гораздо более эвристический характер, чем аргументы в пп. 14.5.1 и 14.5.2 в пользу (14:C:d), (14:С:е).

Использование функции Ж (ть т2) == Ж± (хи т2) подразумевало определенную асимметрию расположения игроков; игроку 1 тем самым придавалась особая роль. Однако интуитивно должно быть ясно, что равнозначные результаты могут быть получены, если мы отведем эту особую роль игроку 2. Так как перемена ролей игроков 1 и 2 будет иметь определенное значение в дальнейшем, мы приведем сжатое математическое обсуждение этого вопроса.

Перемена ролей игроков 1 и 2 в игре Г, которая теперь не предполагается вполне определенной, приводит к замене функций Ж\ (т1? т2) и

г) Так как эта игра есть Г, каждый игрок должен сделать свой выбор (х± или т2), не зная о выборе другого игрока (т2 или т. Сопоставьте это с (14:А:Ь) в п. 14.3.1 для Г4 и с (14:В:Ь) в п. 14.3.3 для Г2.

52 (ti, т2) на функции Ж2 (т2, ti) и Ж± (т2, ti) 2). Поэтому такая перемена означает изменение функции Ж (т4, т2) на - Ж (т2, т4).

Далее, изменение знака влечет за собой переход операций max и min друг в друга. Следовательно, величины

max min Ж (т4, т2) = vlf min max Ж (т4, т2) = v2,

определенные в л. 14.4.1, превращаются теперь в следующие: max min [ - Ж (т2, т4)] = - min max Ж (т2, т4) =

tl Т2 Ti т2

= - min max Ж (т/4 т2)2) = -- v2r

т2 ti

min max [ - Ж (т2, т4)] = - max min 3f (т2, т4) =

t2 ti t2 ti

= - max min Ж (т41 т2) 3) = - v4.

ti t2

Таким образом, v4, v2 превращаются в -v2f -v44). Следовательно, величина

A = v2 - v4 = ( - v4) - ( - v2)

остается неизменной5). Если Г вполне определена, то это также остается верным, так как в этом случае Д = 0 и равенство v = v4 = v2 превращается в -V = -v4 = -v2.

Теперь легко проверить, что все утверждения (14:С:а) - (14:G:f) в пп. 14.5.1 и 14.5.2 остаются теми же самыми, когда произведена перемена ролей игроков 1 и 2.

14.7. Игры, не являющиеся вполне определенными

14.7.1. Все предыдущее относится только к вполне определенным играм и ни к каким другим. Игра Г , которая не является вполне определенной, характеризуется тем, что А > 0, т. е. в такой игре получает преимущество тот, кто раскроет своего противника. Отсюда вытекает существенное различие между результатами, т. е. значениями в Г4 и в Г2,

*) Это уже не та операция перемены ролей игроков, которая использовалась в п. 14.3.4. Там нас интересовало только распределение и состояние информации в каждом ходе, а игроки 1 и 2 рассматривались со своими функциями Ж (т4, т2) и Ж2 (т4, т2) (см. сноску на стр. 130). В этом смысле игра Г была симметричной, т. е. неизменной при этом преобразовании.

В данном случае мы полностью меняем роли игроков 1 и 2 и даже их функции е%?4 (т4, Тг) и Жъ (т4, Тг)-

2) Мы должны были поменять местами переменные т4 и т2, так как т4 соответствует выбору игрока 1, а т2 - выбору игрока 2. Следовательно, теперь т2 имеет область изменения 1, . . ., ($4. Итак, опять для Жъ (г2> г4) справедливо, как это раньше было для Жъ (ti, т2), что переменная перед запятой имеет область изменения 1, . . ., р4, а переменная после запятой - область изменения 1, . . ., р2.

3) Это просто изменение записи: переменные т4, т2 заменены на т2, т4.

4) Это, как и следовало ожидать, находится в соответствии со сноской 2 на стр. 131.

б) Это, как и следовало ожидать, находится в соответствии со сноской 3 на стр. 132.

а потому и между оптимальными способами игры в этих играх. Поэтому рассуждения в пп. 14.3.1 и 14.3.3- перестают быть руководящими при рассмотрении игры Г. Рассуждения в пп. 14.5.1 и 14.5.2 также неприменимы, так как они используют существование седловой точки Ж (т4, т2> и справедливость равенства

max min Ж (т1? т2) = min max Ж (т4, т2),

Tl Т2 Т2 Tl

т. е. полную определенность игры Г. Конечно, некоторое доверие внушает неравенство из начала п. 14.4.2. Согласно ему значение v партии в Г (для игрока 1) (если такое понятие вообще может быть образовано в том общем случае, для которого мы пока еще его не имеем г)) находится в пределах

ViSivrg v2,

т. е. при этом для v все еще сохраняется интервал неопределенности длины Д = v2 - Vi > 0, и, кроме того, вся ситуация в концептуальном смысле остается весьма неудовлетворительной.

Можно склоняться к тому, чтобы вообще оставить дальнейшие попытки: так как раскрытие своего оппонента в такой игре Г дает преимущество, представляется внушающей доверие мысль о том, что нет возможности обнаружить решение до тех пор, пока не будет сделано некоторое определенное предположение о том, кто кого раскрывает и в какой степени 2).

В § 17 мы увидим, что это не так и что, несмотря на Д > 0, решение может быть найдено тем же самым путем, что и раньше. Но мы, не приступая к рассмотрению этой трудности, займемся сначала перечислением некоторых игр Г с Д > 0 и других игр, для которых Д = 0. Первые, которые не являются вполне определенными, будут рассмотрены кратко; их детальное исследование будет проведено в п. 17.1. Вторые, которые являются вполне определенными, будут проанализированы значительно подробнее.

14.7,2. Так как существуют функции Ж (т4, т2) без седловых точек (см. пп. 13.4.1 и 13.4.2, где ф (х, у) есть наша Ж (т4, т2)), существуют и не вполне определенные игры Г. Имеет смысл еще раз рассмотреть прежние примеры, т. е. функции, описываемые матрицами табл. 2 и табл. 3 на стр. 120, в свете имеющихся в виду приложений. Иными словами, опишем в явном виде те игры, к которым они относятся. (В каждом случае мы заменяем ф (ж, у) на Ж (т4, т2); здесь т2 обозначает номер столбца, a %i - номер строки в каждой матрице. См. также табл. 5 на стр. 126.)

Табл. 2 - это игра в орлянку. Пусть для т4 и для т2 1 означает герб , а 2 означает решетку . Тогда элемент матрицы равен 1, если т4 и т2 совпадают, т. е. равны друг другу, и - 1 в противном случае. Таким образом, игрок 1 угадывает действия игрока 2. Он выигрывает (единицу) при совпадении и проигрывает (единицу) в противном случае.

Табл. 3 -- это игра камень, мешок и ножницы . Пусть для т4 и для т2 1 означает камень , 2 означает мешок , а 3 - ножницы . Распределение

х) Однако см. п. 17.8.1.

2) На более ясном языке: А > 0 означает, что в этой игре невозможно одновременно каждому из игроков быть умнее своего оппонента. Следовательно, представляется желательным знать, насколько умен каждый игрок.