1 и -1 в матрице выражает, что мешок побеждает камень , ножницы побеждают мешок , а камень побеждает ножницы х). Таким образом, игрок 1 выигрывает (единицу), если он побеждает игрока 2, и проигрывает (единицу), если оказывается побежденным. В противном случае (если оба игрока делают одинаковый выбор) игра заканчивается вничью.

14.7.3. Эти два примера в достаточно ясной форме показывают трудности, которые встретились нам в не вполне определенных играх. Благодаря чрезвычайной простоте примеров эти трудности отчетливо выделены здесь. Дело в том, что в играх орлянка и камень, мешок и ножницы любой способ игры (т. е. любое т4 или любое т2) так же хорош, как и любой другой. Нет существенной выгоды или невыгоды непосредственно в гербе или в решетке . Нет их непосредственно и в камне , мешке или ножницах . Единственным, что имеет значение, является правильное угадывание действий противника. Но как приступить к описанию этого без дальнейших предположений об интеллектах игроков? 2)

Конечно, существуют и более сложные игры, которые не являются вполне определенными и которые важны с различных более тонких специальных точек зрения (см. §§ 18 и 19). Но поскольку речь идет об основной трудности, простые игры орлянка и камень, мешок и ножницы являются достаточно характерными.

14.8. Программа детального анализа полной определенности

14.8. Хотя вполне определенные игры Г, для которых наше решение строго обосновано, являются, таким образом, только частным случаем, нельзя недооценивать размеров области, которую они охватывают. Тот факт, что мы используем нормальную форму для игры Г, может привести нас к такому недооцениванию. При использовании нормальной формы многие вещи кажутся элементарнее, чем они есть на самом деле. Надо помнить, что %i и т2 представляют собой стратегии в позиционной форме игры, которая может иметь, как указывалось в п. 14.1.1, очень сложную структуру.

Следовательно, для того чтобы понять роль полной определенности, необходимо исследовать ее в связи с позиционной формой игры. Это поднимает вопросы, касающиеся детальной природы ходов (является ход случайным или выполняется игроком), состояния информации игроков и т. д. Тем самым, как упоминалось в п. 12.1.1, мы подходим к структурному анализу, основанному на позиционной форме.

Нас особенно будут интересовать те игры, в которых каждый игрок, делая свой ход, полностью информирован об исходах выборов во всех предшествующих ходах. Эти игры уже упоминались в п. 6.4.1, и там утверждалось, что их общее рассмотрение носит специфический характер. Теперь мы установим точный смысл этого, доказав, что все такие игры являются вполне определенными. Это окажется справедливым не только в том случае, когда все ходы являются ходами игроков, но и при наличии случайных ходов.

х) Камень уносится в мешке, ножницы режут мешок, камень точит ножницы .

2) Как уже упоминалось прежде, мы покажем в п. 17.1, что это может быть сделано.

§ 15. ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ 15.1. Постановка задачи. Индукция

15.1.1. Продолжим изучение игр двух лиц с нулевой суммой с целью нахождения среди них возможно более широкого класса вполне определенных игр, т. е. таких игр, для которых величины

v4 = max min Ж (т4, т2), v2 = min max Ж (т4, т2)

Т2 Ti

из п. 14.4.1, оказавшиеся столь важными для оценки игры, удовлетворяют соотношению

У4 = V2 = V.

Мы покажем, что, когда игра Г является игрой с полной информацией, т. е. когда предварение эквивалентно предшествованию (см. п. 6.4.1 и окончание п. 14.8), она вполне определена. Мы обсудим также концептуальную значимость этого результата (п. 15.8). Фактически мы получим это утверждение как частный случай более общего правила, касающегося Vi и v2 (см. п. 15.5.3).

Мы начнем наши рассмотрения даже с более общего случая - общей игры п лиц Г. Эта большая общность окажется полезной в дальнейшем.

15.1.2. Пусть Г - общая игра п лиц, заданная в позиционной форме. Мы рассмотрим некоторые аспекты этой игры, используя сначала до-теоретико-множественную терминологию из §§ 6 и 7 (в п. 15.1), а затем переведем все на язык теории разбиений и множеств из §§ 9 и 10 (в п. 15.2 и далее). Возможно, читатель получит полное представление о вопросе уже с помощью одного только первого рассмотрения; дальнейшее со своим достаточно формальным аппаратом имеет целью показать только, что фактически мы действуем на основании аксиом п. 10.1.1.

Определим последовательность ходов в Г: оМ <Мг, . . ., qMv. Зафиксируем наше внимание на первом ходе и на ситуации, которая складывается в момент этого хода. Поскольку этому ходу ничто не предшествует, то его ничто и не предваряет; иначе говоря, характеристики этого хода ни от чего не зависят; они являются константами. Это относится прежде всего к тому, является ли ход <М\ случайным или личным; в последнем случае - какому из игроков принадлежит ход оМ т. е. к значениям к± = 0, 1, . . ., п в смысле п. 6.2.1. Это относится также к числу альтернатив а4 в ходе оМ\, а для случайного хода (когда ki = 0) - и к значениям вероятностей Pi(l), . . ., Pi(ai). Результатом выбора в ходе оМ -случайном или личном - является число а4 = 1, . . ., а4.

Для математического анализа игры Г сам собой напрашивается метод, в достаточной мере отвечающий духу полной индукции , широко используемой во всех областях математики. Успешное применение этого метода позволяет заменить анализ игры Г анализом игр, содержащих на один ход меньше, чем Г *). Этот метод состоит в выборе некоторого а4 = 1, ..<х4

*) То есть вместо v мы получаем v - 1. Повторное применение индуктивного перехода (если вообще такое применение возможно) сведет игру Г к игре с 0 ходами, т. е. к игре с фиксированным, определенным исходом. А это и означает, очевидно, полное решение Г (см. (15:С:а) в 15.6.1).

и в обозначении через Г-х игры, которая совпадает с Г во всех деталях, за исключением того, что в Г- отсутствует ход <М\ и вместо выбора Oi правилами новой игры предписывается значение а4 = а4.

Замечание. Пусть, например, Г - игра в шахматы, a at - некоторый начальный ход - выбор при oMY белых , т. е. игрока 1. Тогда Г- снова оказывается

игрой в шахматы, но начинающейся ходом, который является вторым в обычных шахматах - ходом черных (т. е. игрока 2), и позицией, образовавшейся в результате открывающего хода . Этот предписанный открывающий ход может быть, а может и не быть общепринятым (типа е2 - е4).

То же происходит и в некоторых разновидностях бриджа, когда посредник сдает игрокам определенные - известные и заранее выбранные - карты. (Так делается, например, в двойном бридже .)

В первом примере предписанный ход оМ в первоначальной игре является личным (ход белых , игрока 1); во втором примере он в первоначальной игре является случайным ( сдача ). г-

Применяемые иногда в некоторых играх форы могут сводиться к одной или нескольким таким операциям.

Игра Г- содержит одним ходом меньше, чем Г. Ее ходами будут q/H<l, ... ., qMvx). Наш индуктивный метод будет успешным, если мы сможем вывести существенные свойства игры Г из свойств игр Г,

Oi = 1, . . at.

15.1.3. Тем не менее следует отметить, что возможность составления игр Г- зависит от ограничений, наложенных на игру Г. Действительно, каждый игрок, делающий личный ход в игре Г- , должен быть полностью информирован о правилах этой игры. Теперь эта информация состоит уже из информации о правилах первоначальной игры Г с добавлением предписанного выбора на <Мь т. е. а4. Следовательно, игра Г- может быть получена из игры Г без изменения правил, касающихся состояния информации в Г, только в том случае, когда выбор при <М± по правилам первоначальной игры Г известен каждому игроку при совершении им личных ходов оМг, . . ., g#v? т. е. ход <М± должен предварять все личные ходы с#2> g#v- Таким образом:

(15:А) Игру Г- можно построить, не изменяя существенно для этой цели структуру игры Г, если Г обладает следующим свойством: (15:А:а) <М\ предваряет все личные ходы ©#2> > <v 2)-

15.2. Точное условие (основание индукции)

15.2.1. Переведем теперь сказанное в пп. 15.1.2, 15.1.3 на язык разбиений и множеств из §§ 9 и 10 (см. также начало п. 15.1.2). В связи с этим мы будем пользоваться обозначениями из п. 10.1.

Ai состоит из единственного множества Q (см. (10:l:f) в п. 10.1.1) и является подразбиением 98 ((10:1:а) из п. 10.1.1); следовательно, 98\ также состоит из одного множества Q (остальные множества оказываются

*) В действительности надо пользоваться индексами 1, . . ., v - 1 и писать оМ\г) . . ., oMi для того, чтобы отметить зависимость от а4. Однако мы предпочитаем более простые обозначения оМ2, . . eMv.

2) Это терминология из п. 6.3, т. е. мы используем частную форму зависимости в смысле п. 7.2.1. Используя общее описание из п. 7.2.1, можно сформулировать (15:А:а) следующим образом: для любого личного хода оМ% (к = 2, . . ., v) множество Фх содержит функцию а4.