пустыми) * 2). Иначе говоря,

Г Q ровно для одного к, скажем для к = ки В\ (к) - j 0 дЛЯ всех кфк

Это число kt = 0, 1, . . ., п определяет природу g#4; оно является параметром ki из п. 6.2.1. Если ki = 1, . . ., п, т. е. если ход личный, то At также будет подразбиением S4 (kt). (См. (10:l:d) из п. 10.1.1. Это определялось только для Bi (к, но Bt (&4) = Q). Следовательно, 35 i (kt) также состоит из единственного множества Q 3). Значит, при к Ф kt 35t (к), являющееся разбиением в Bt (к) = 0 (см. (10:А:а) из п. 10.1.1), должно быть пустым.

Таким образом, мы получаем ровно одно множество At из At, которое совпадает с Q, и для &4 = 1, . . ., п ровно одно Dt во всех 35t (к), также совпадающее с Q, в то время как при &4 = 0 ни в одном из 351 (к) не содержится множеств Dt.

Ход oMt состоит в выборе некоторого С4 из 4 (&4); этот выбор случаен, если kt = 0, и производится игроком &4, если ki = 1, . . ., п. Ci автоматически оказывается подмножеством единственного множества А± (= Q) в первом случае и подмножеством единственного Di (== О) во втором. Число таких С4 равно а4 (см. п. 9.1.5, сноску 1 на стр. 96); поскольку же рассматриваемые At или Di фиксированы, а4 является вполне определенной константой, cxi - число альтернатив при ходе <з#4, где а4 определялось в пп. 6.2.1 и 15.1.2.

Эти Ci отвечают а4 = 1, . . ., а4 из п. 15.1.2, и мы будем обозначать их соответственно через Ci (1), . . ., С4 (а4) 4). Теперь утверждение (10:l:h) в п. 10.1.1 показывает, как мы это уже заметили, что Jb2 также является множеством из Ci (1), . . ., С4 (а4), т. е. равно 4.

До сих пор наш анализ был совершенно общим; он был справедлив для oMi (а при некотором обобщении - и для оМ2) в условиях любой игры Г. Читатель может перевести эти свойства на повседневную терминологию в смысле пп. 8.4.2 и 10.4.2.

Перейдем теперь к Г- Этот переход, как было описано в п. 15.1.2, осуществляется предписанием выбора при ходе оМ т. е. принятием <т4 = 01- В то же самое время ходы в игре Г- ограничиваются множеством ©#2> <v. Это означает, что элемент я, представляющий партию в игре, не может более принимать произвольные значения из Q, а ограничен в пределах С4 (а4). Разбиения, перечисленные в п. 9.2Л, ограничиваются теми, ,для которых х = 2, . . ., v 5) (и х = v -f- 1 для АК).

15.2.2. Перейдем теперь к ограничениям, эквивалентным тем, которые описывались в п. 15.1.3.

Возможность осуществления изменений, сформулированных в конце п. 15.2.1, зависит от некоторых ограничений, налагаемых на Г.

г) Si представляет собой исключение из (8:В:а) в,п. 8.3.1; см. замечание по поводу этого (8:В:а) в сноске 1 на стр. 89, а также сноску 1 на стр. 95.

2) Доказательство. Q принадлежит А и которое является подразбиением 3S\\ следовательно, Q оказывается подмножеством некоторого элемента из $4. Этот элемент должен быть равен Q. Все остальные элементы .53 4 поэтому с Q не пересекаются (см. п. 8.3.1), т. е. пусты.

3) Как А и так и 35 (&4), в отличие от (см. выше), должны удовлетворять обоим условиям (8:В:а) и (8:В:Ь) из п. 8.3.1, следовательно, они не содержат других элементов, кроме Q.

4) Они представляют собой альтернативы А\ (1), . . ., А± (а4) из пп. 6.2, 9.1.4 и 9.1.5.

5) Мы не будем менять нумерацию на х = 1, v - 1 (см. сноску 1 на странице 140).

Как было показано, мы стремимся ограничить партию, т. е. л, в рамках С4 (oi). Поэтому все множества, фигурирующие в описании Г и являющиеся подмножествами Q, должны быть заменены подмножествами Ci (oi), а разбиения - разбиениями в С4 (о4) (или в подмножествах Ci (о4)). Как это должно быть сделано?

Разбиения, с помощью которых описывается игра Г (см. п. 9.2.1), распадаются на два класса: те, которые представляет объективные факты - Ау, 98 у = (By (0), . . ., В% (п)) и %у (к), к = 0, 1, . . ., п, - и те, которые представляют только состояние информации игрока г) - ЗЗу (к), к = 1, . . ., п. Мы предполагаем, конечно, что х 2 (см. конец п. 15.2.1).

В первом классе разбиений достаточно лишь заменить каждый элемент на его пересечение с С4 (о4). Таким образом, 98 К видоизменяется заменой его элементов By (0), . . ., By (п) соответственно на

Ci(Oi)[]By(0), С4(54)П£иИ.

В Л у и этого делать не надо. Оно является подразбиением А2 (поскольку х 2, см. п. 10.4.1), т. е. системы попарно непересекающихся множеств (С4(1), . . ., Cf (а4)) (см. п. 5.2.1); следовательно, достаточно оставить только элементы из Л у, являющиеся подмножествами С4 (о4), т. е. часть Л у, содержащуюся в С4 (о4). К %у (к) следует подходить так же, как и к 98 у, однако мы предпочитаем отложить это рассмотрение.

Во втором классе разбиений, т. е. для ЗЗу (к), ничего подобного делать нельзя. Замена элементов из ЗЗу (к) их пересечениями с С4 (о4) приводит к изменению состояния информации игрока 2), и, таким образом, недопустима. Единственно возможной процедурой является процедура, выполнимая в случае Ау, замена 33у (к) той его частью, которая лежит в С4 (о4). Однако это применимо только лишь в том случае, когда ЗЗу (к) (как ранее А у) является подразбиением А2 (при х 2).

Теперь *ёу (к) само позаботится о себе: оно является подразбиением ЗЗу (к) (см. (10:1:с) в п. 10:1:1); следовательно, таковым оказывается и Az (согласно сделанному выше предположению); поэтому мы можем заменить его на ту его часть, которая содержится в С4 (о4).

Итак, мы видим, что необходимым ограничением, налагаемым на Г, является то, 4TQ каждое ЗЗу (к) (при к± 2) должно быть подразбиением А2. Вспомним теперь интерпретацию п. 8.4.2 и утверждения (10:A:d*) и (10:A:g*) в п. 10.1.2. Эти ограничения имеют тот смысл, что каждый игрок при совершении им личного хода в оМ2, . полностью инфор-

мирован о состоянии дел после хода с#4 (до совершения хода оМ2), что выражается через А2 (см. также рассмотрение, предшествующее (10:В) в п. 10.4.2). Сказанное означает, что ход ©#4 должен предварять все ходы

Таким образом, мы вновь получили условие (15:А:а) из п. 15.1.3. Мы предоставляем читателю простую проверку того, что игра удовлетворяет требованиям п. 10.1.1.

х) представляет собой состояние информации посредника, но оно есть объективный факт: события, произошедшие до этого момента, определяют течение партии в точности до этого момента (см. П.9.1.2).

2) Именно, ему сообщается дополнительная информация.

15.3. Точное условие (индуктивный переход)

15.3.1. Как было указано в конце п. 15.1.2, мы стремимся вывести свойства игры Г из свойств игр Г- , а4 = 1, . . ., а4: в случае успеха это и будет типичным индуктивным переходом.

К настоящему моменту тем не менее единственный класс игр, свойства (математические) [которого нам известны, состоит из игр двух лиц с нулевой суммой: для них мы имеем величины v4 и v2 (см. п. 15.1.1). Предположим поэтому, что Г - игра двух лиц с нулевой суммой.

Покажем теперь, что величины v4 и v2, определенные для игры Г, могут быть выражены с помощью соответствующих величин для Г,

o~i == 1, . . ., (Xi (см. п. 15.1.2). Это обстоятельство пробуждает желание проводить индукцию и дальше, т. е. строить таким же способом игры

Га Ъ Га Ъ о * Га а а Существенно ЗДвСЬ ТО, ЧТО ЧИСЛО

шагов в этих играх последовательно убывает от v (для Г), v - 1 (для Г), принимая значения v - 2, v - 3, . . ., до 0 (для игры Г-х -g ~v); здесь Г~1 -2 -v - пустая игра (похожая на игру, упомянутую в замечании на странице 102). Она не содержит ходов: игрок к получает фиксированный выигрыш

д(alf ..., av).

Это - терминология из пп. 15.1.2. 15.1.3, т. е. из §§ 6 и 7. В терминах пп. 15.2.1 и 15.2.2, т. е. из §§ 9, 10, мы сказали бы, что Q (для Г) последовательно ограничивается С4 (а4) из Jh2 (для Г-), далее С2 (ои а2) из Лг (для Г-1Г(Т2), C3(oi, a2, a3) из (для Г-ь-з) и т. д. и, наконец,

Сх (Oi, a2, . . ., av) из v+i (Для -2 -). Но это последнее множество состоит из единственного элемента ((10:l:g) из п. 10.1.1), скажем л. Следовательно, исход игры Г- ~2 ~v оказывается фиксированным. Игрок к получает фиксированный выигрыш k (я).

Следовательно, природа игры Г- ~2 ~v очевидна: понятно, что является ее значением для каждого игрока. Поэтому процесс, ведущий от Г- к Г, если его удастся построить, может быть использован для работы и в обратном направлении: от Г-х - к - ,

к Г-ь - 2 и т. д., и т. д., к Г-ь-2, к Г- и, наконец, к Г.

Однако все это возможно только в том случае, когда мы в состоянии построить все игры последовательности Г- -2, Г-у ~2 -g , ... . . ., Г- -v, т. е. если для всех этих игр выполняются последние условия из п. 15.1.3 или из п. 15.2.2. Это требование можно снова сформулировать для произвольной общей игры п лиц Г, и мы опять возвращаемся к таким Г.

15.3.2. Нужное требование (в терминах пп. 15.1.2, 15.1.3, т. е. из §§ 6 и 7) состоит в том, что ход g#! должен предварять все ходы оМ2, . . . . . ., gMv, ход оМ2 должен предварять все оМг, . . ., ©#v и т. д., и т. д., т. е. предварение должно совпадать с предшествованием.

г) Oi = 1, . . :, a4; а2 = 1, . . ., а2, где а2 = а2 (а4); а3 = 1, . . ., а3, где а3 = = а3 (а4, а2), и т. д.