То же самое можно, конечно, сформулировать и в терминах пп. 15.2.1 и 15.2.2. Именно все 3)к(к), к 2, должны быть подразбиениями А2, все 3)у (к), к 3, должны быть подразбиениями А3 и т. д., и т. д., т. е. все 3) (к) должны быть подразбиениями Ах при % X 1).

Поскольку АК всегда является подразбиением Ах (см. п. 10.4.1), достаточно потребовать, чтобы все 3) (к) были подразбиениями А у Однако А у является подразбиением 3)К(к) в i?x (к) (см. (10:l:d) в п. 10.1.1); следовательно, наше требование равносильно тому, что 3)% (к) является частью Ау лежащей в ВК (к) 2). Согласно (10:В) из п. 10.4.1 это как раз означает то, что в игре Г предварение совпадает с предшествованием.

В результате всех этих рассуждений мы установили следующее:

(15:В) Для того чтобы можно было достроить полную последовательность игр

состоящих соответственно из

v, v -1, V -2, ..., 0

ходов, необходимо и достаточно, чтобы в игре Г предварение и предшествование совпадали, т. е. чтобы имела место полная информация. (См. п. 6.4.1 и конец п. 14.8.)

Если Г - игра двух лиц с нулевой суммой, то сказанное позволяет проанализировать игру Г путем движения в обратном направлении вдоль последовательности (15.1): от тривиальной игры ~2 -v к Г, пользуясь на каждом шаге способом, ведущим от Г- к Г, так, как это будет показано в п. 15.6.2.

15.4. Точное исследование индуктивного перехода

15.4.1. Перейдем теперь к выводу индуктивного перехода от Га1 3) к Г. Игра Г должна лишь удовлетворять последним условиям из п. 15.1.3 или п. 15.2.2, но она должна быть при этом игрой двух лиц с нулевой суммой.

Следовательно, мы можем построить все Г, а4 = 1, . . ., а4, и они также будут играми двух лиц с нулевой суммой. Обозначим стратегии обоих игроков в Г соответственно через SJ, . . ., 2fi и 2*, . . ., 22, а математическое ожидание выигрыша каждого из игроков в партии при использовании ими стратегий 2J1, 22 - через

йГ± (Tlt TaJssSJTfa, т2)3 fiF8(Ti, т2)-- (т4, та) (см. пп. 11.2.3 и 14.1.1). Обозначим соответствующие величины в игре Га1 через 21, . . ., и 2£l/2, . и при использовании страте-

гий 21/!, 2;/2 положим .

SToj/i (/1, т<у2/2) = $%ai (tci/i, tci 2),

5/2 (г/1, /2) = - (Jj (т/i, Tol/2).

*) Мы уже установили это для Я = 2, 3, . . .; для Я = 1 это выполняется автоматически: каждое разбиение является подразбиением А и поскольку состоит из единственного множества (см. (10-1 -j) в п. 10.1.1).

2) По поводу обоснования, если таковое потребуется, см. сноску 3 на стр. 89.

3) Начиная с этого места, будем писать aif а2, . . *v вместо <г4, а2, o v, так как ни к каким недоразумениям это не приведет,

Наша задача состоит в выражении vi и v2 через vai/i и v0l/2.

Индекс fci из пп. 15.1.2, 15.2.1, который определяет характер хода <Мь будет играть существенную роль. Поскольку п == 2, &i может принимать только значения 0, 1 и 2. Мы рассмотрим каждый из этих трех случаев отдельно.

15.4.2. Рассмотрим сначала случай kt = 0, т. е. оМ± является случайным ходом. Вероятности альтернатив а4=1, . . >, а4 равны Pi (1), . . ., Pi (ai) (pi ((Ti) равно Pi (Ci) из (10:A:h) в п. 10.1.1 при с{ = = a (at) в п. 15.2.1).

Стратегия игрока 1 состоит, очевидно, в выборе стратегии 2jT1

игрока 1 в игре Га1 для каждого из значений случайной величины а4 = = 1, . . ., di1); таким образом, 2J1 соответствует совокупности

Sl/l1, . . ., ai/l1 ДЛЯ всевозможнЫХ Комбинаций Ti/i, . . ., Taj/i.

Аналогично стратегия игрока 2 в Г состоит в выборе стратегии 2а*/2 игрока 2 в Га1 для каждого из значений (случайной величины a4 = 1, ... . ., сц; таким образом, 2J2 соответствует совокупности 21/22, . . ., 2Ta.i/2

ai/ z

для всевозможных комбинации Ti/2, . . ., Tai/2.

Математические ожидания выигрыша в играх Г и Га1 связываются очевидной формулой

Ж(ти Т2)= 2 Pl(Gi)&£Gi(l<5JU Ta /2).

Следовательно, выражение для v4 принимает вид

v4 = max min Ж (ть т2) = ti т2

= max min 2 л (а4) ЙГа (тад/1, та/2).

П/1, . . .,Tai/1 т1/2, . .., ха/2 о4=1

Соответствующе индексу а4 в стоящей справа сумме 2 слагаемое

Pi fal) (Tat/i, tai/2)

содержит только две переменные: tai/lf t<ji/2. Таким образом, пары

Т1/Ь т1/2; та4/1 Tai/2

г) Интуитивно это очевидно. Читатель может показать это и формально, применяя определения п. 11.1.1 и (11 :А) из п. 11.1.3 к ситуации, описанной в п. 15.2.1.

10 Дж. Нейман, О. Моргенштерн

Составим выражения для vlf v2 из п. 14.4.1 в игре Г и в игре Г0а, обозначая их в последнем случае через va /1, va /2. Такимобразом,

*) Эта аргументация носит чисто эвристический характер, поскольку принципы, на которых строится решение в пп. 14.3.1, 14.3.3, не совпадают с теми, которыми мы пользовались в случае полной определенности в пп. 14.5.1, 14.5.2; тем не менее они являются основой для дальнейшего. Верно также, что аргументацию можно сделать вполне удовлетворительной при помощи некоторого чисто словесного, нематематического разъяснения. Однако мы предпочитаем исследовать вопрос математически по тем же причинам, что и в аналогичном случае в п. 14.3.2.

встречаются порознь в различных о4-членах:

а4 = 1, . . .; ai = ai. Следовательно, при нахождении min можно минимизировать

т1/2 >ха1/2

облагаемые независимо друг от друга, а при нахождении max

можно эти о4-слагаемые независимо максимизировать. В соответствии с этим наше выражение принимает вид

2 p4(a4)maxmina (та/ь та/2)

°1=1 VlTV2

Таким образом, мы показали, что

(15:2) v4= 2 PiOva./i-

o1=i

Переставляя max и min, мы, применяя буквально ту же аргументацию, получаем

(15:3) v2 = 2 Pi (ai) V<V2

15.4.3. При исследовании случая &4 = 1 мы будем пользоваться результатом п. 13.5.3. Несмотря на исключительно формальный характер этого результата, представляется полезным показать читателю, что это просто формальное утверждение интуитивно правдоподобного факта, касающегося игр. Это прояснит также, почему этот результат должен сыграть определенную роль в данной конкретной ситуации.

Интерпретация результата п. 13.5.3 основана на рассмотрениях пп. 14.2-14.5 и особенно из пп. 14.5.1, 14.5.2; поэтому ее не удалось изложить в п. 13.5.3.

Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой Г в нормальной форме (см. п. 14.1.1) и минорантную и мажорантную игры Г4 и Г2 (см. п. 14.2).

Если мы решим трактовать нормальную форму игры Г так, как если бы она была позиционной, а затем с помощью правил, изложенных в пп. 11.2.2 и 11.2.3, вводить стратегии и т. д. с целью получить новую игру в нормальной форме, то, как это отмечалось в п. 11.3 и, в частности, в сноске 3 на стр. 109, ничего не произойдет. Иначе обстоит, однако, дело с мажорантной и минорантной играми Г4 и Г2. Они, как об этом упоминалось в сносках 1 и 2 на странице 127, не заданы в нормальной форме. Следовательно, представляется естественным и необходимым привести их к нормальной форме по правилам пп. 11.2.2, 11.2.3.

Поскольку полные решения игр Г4 и Г2 были найдены в пп. 14.3.1Г 14.3.3, следует ожидать, что эти игры окажутся вполне определенными *).