Достаточно ограничиться рассмотрением игры Г4 (см. начало п. 14.3.4), к чему мы и перейдем.

Для игры Ti будем пользоваться обозначениями %v %2, Ж (т, т2) и v, v2, а соответствующие понятия для игры Г будем обозначать через т4, т2, Ж (т4, т2), Vi, v2.

Стратегия игрока 1 в игре Г4 состоит в выборе (фиксированного) значения Ti (=1, . . ., Pi), в то время как стратегия игрока 2вГА состоит в выборе значения т2 (= 1, . . р2) в зависимости от выбора ть Ti (=1, . . ., Pi) *). Таким образом, т2 является функцией от т4: т2 = = J2 (Ti).

Таким образом, %[ есть т1§ тогда как т2 соответствует функциям J2, а Ж (%[, т2) превращается в Ж (т1? J2 (т4)). Поэтому

y[ = max m i n Ж (т J2 (т4)),

v min max Ж (tlf J2(t4)). Ji *i

Следовательно, утверждение о полной определенности игры Г1? т. е. о равенстве v = v2, полностью совпадает с равенством (13:Е) из п. 13.5.3; для этого достаточно заменить х, и, / (#), if) (#, / (ж))] соответственно на т4, т2, J2 (т4), Ж (Ti, J2 (тО).

Эквивалентность результата п. 13.5.3 и полной определенности игры Г4 делает понятным значимость его для дальнейших рассмотрений. Г4 является очень простым примером игры с полной информацией,- эти игры становятся теперь конечной целью наших исследований (см. конец п. 15.3.2). Первый ход в игре Г4 - точно такого же типа, как и тот, который нам теперь нужно рассмотреть: он личный и принадлежит игроку 1, т. е. ki = 1 2).

15.5. Точное исследование индуктивного перехода (продолжение)

15.5.1. Рассмотрим теперь случай, когда /Ь± = 1, т.е. когда М± есть личный ход игрока 1.

Стратегия 2J1 игрока 1 в Г состоит, очевидно, из указания фиксированного значения aj (= 1, . . ., a4), а также фиксированной стратегии

So/i1 2)> т е- 2Tl соответствует парам aj, xQyV

Стратегия 2 J2 игрока 2 в Г состоит в выборе стратегии 2/22 игрока 2 в Гао при всех значениях переменной о\ = 1, . . ., а4. Тем самым тао/2 оказывается функцией от aj: Tao/i = J2 (aj), т. e. 2J2 соответствует функциям J2, и, очевидно,

gr(tl, т2) = ЗГ0о(тао/2, J. )). Поэтому наша формула для v4 дает.

max minoo, J2 (aj)) - max max min 3£оо (тоо/г J2(oJ)). а?,таоу1 СГг tao71 0J 2

x) Это интуитивно очевидно. Переформулировав определение п. 14.2 на языке разбиений и множеств и используя определения из п. 11.1.1 и (11 :А) из п. 11.1.3, читатель может провести формальный вывод. .

Существенно то, что в Г4 личный ход игрока 1 предшествует ходу игрока 2.

2) См. сноску 1 на стр. 145 и предыдущую сноску.

Из равенства (13:G) в п. 13.5.3 мы получаем заменой х, и, / (#) и *ф (#, у) соответственно на aj, rao/2, J2(aJ) и &Рао(т:аоп, j)1)

тахттЗГао(т J2 (aj)) =max minT 0/1, to).

Далее имеем

Vi = maxmaxminSSrao(Tao/lf *<#/2) =

= maxmaxminSFao (та?/1§ Tmaxv,.

<*? V/1V/2 <*l

Формула для v2 дает нам2)

v2 = min max Жао (xaofi, J2 (oj)) = J* A Ta?/i = min max max ЗГо {a\/vCf% (<??))

Теперь

min max max о (т f/1, J2 (aj)) = 2 a? *aS/1

= maxminmax,ao (y., J2(aJ)) = maxminmaxo (тао т£о/2)

следует из (13:E) и (13:G) из п. 13.5.3; достаточно только заменить и, f(x), $(х, и) на oj, тао/2, J2(orJ), тахЗГо (тао/4, гао/2)3). Следовательно,

v2 == max min max Жсо (xao/v тао/2) = max vao/2.

Резюмируя (и заменяя aj на aA), мы получаем (15:4) Vi = maxvai/i,

(15:5) v2 = maxvai/2.

15.5.2. Рассмотрим, наконец, случай к\ = 2, при котором ход Jlf принадлежит игроку 2.

Перемена ролями игроков 1 и 2 сводит этот случай к предыдущему.

*) В этом случае т 0 следует понимать как константу. Этот шаг, очевидно, три-

Gi/1

виален - см. приведенную выше аргументацию.

°) В отличие от п. 15.4.2, здесь наблюдается существенное различие в толковании смысла Vi и v2.

3) т о исключается операцией максимизации max. Этот шаг не тривиален. Он

ai/1 V/i

использует (13:Е) из п. 13.5.3 и является существенным результатом этого пункта, как отмечается в п. 15.4.3.

(15:8) Mffa)-

Тогда

2 аЫ/Ы при Л4 = 0,

ai=l

max / (сх4) при kt = 1,

min/(a4) при &4 = 2.

Vfe = М\уо1/к при к = 1, 2.

Подчеркнем некоторые простые свойства введенных операций Mq\. Во-первых, Мо\ связывает переменную о4 : М%[ / (di) не зависит более от о4. Для kt = 1, 2, т. е. для max, min, это было обнаружено

CTl CTl

в п. 13.2.3. Для ki = 0 это очевидно; эта операция, таким образом, аналогична операции интегрирования, упомянутой в качестве иллюстрации в сноске 1 на стр. 117.

Во-вторых, Мо{ явно зависит от игры Г. Это очевидно, поскольку Ма\ зависит от kt, а о4 принимает значения 1, . . ., а4. Дальнейшая зависимость появляется ввиду использования рх (1), . . ., р4 (а4) в случае ki = 0.

В-третьих, зависимость Yh от vGi/k одна и та же при к = 1, 2 для всех значений &4.

Мы закончим замечанием, что можно было бы легко сделать эти фор-

мулы - охватывающие математическое ожидание 2 Р\ (ai) / (ai) Для СЛУ

чайного хода, максимум для личного хода первого игрока и минимум для хода его противника - достаточно правдоподобными при помощи чисто словесных (нематематических) рассуждений. Тем не менее представляется необходимым дать точное математическое описание, чтобы полностью отдать должное роли v4 и v2. Чисто словесная аргументация, которая могла бы это осуществить, неизбежно окажется настолько сложной (если вообще понятной), что не будет представлять большой ценности.

15.6. Результат для случая полной информации

15.6.1. Возвратимся к ситуации, описанной в конце п. 15.3.2, и примем все упомянутые там допущения; предположим, что игра Г является игрой двух лиц с нулевой суммой с полной информацией. Вместе с формулой (15:8) из п. 15.5.3, обеспечивающей индуктивный переход, приведенная

Как было показано в п. 14.6, эта перемена приводит к замене v4 и v2 на -v2 и -Vi и, следовательно, vai/4 и vai/2 на -vGl/2 и -vai/i. При подстановке полученных после замены значений в формулы (15:4) и (15:5) становится очевидной замена шах на min, и мы получаем

(15:6) v4 = min vai/4,

(15:7) v2 = min vai/2.

15.5.3- Формулы (15.2)-(15:7) из пп. 15.4.2, 15.5.1 и 15.5.2 можно объединить следующим образом.

Для произвольной функции / (а4) переменной а4 (= 1, . . ., а4) определим операции М%\, &4 = О, 1, 2, полагая