ИГРЫ ДВУХ ЛИЦС НУДЕВ0Й1СУММ0Й. ТЕОРИЯ

[гл. ш

16.1.3. Отметим, хотя это для дальнейшего несущественно, что Ln является не абстрактным евклидовым пространством, а таким, в котором уже выбрана определенная система отсчета (система координат) *). \Н у левой вектор, или начало координат в Ln, имеет вид

0 = {0, .... 0}

п-координатными векторами пространства! Ln являются векторы б = {0, ..., 1, ..., 0} - {61;, ..., 8nj}9 / = , и,

Г 1 для £ = /2 3),

lj ~~ \ 0 для i Ф U

После этого вступления мы можем описать основные свойства векторов из Ln и основные операции над ними.

16.2. Операции над векторами

16.2.1 Основными операциями над векторами являются операции

->

умножения на скаляр, т. е. умножение вектора х на число t, и векторное сложение, т. е. сложение двух векторов. Обе эти операции определяются с помощью соответствующих операций над координатами векторов. Более точно:

Умножение на скаляр: t- {хи . . ., хп} = {txly . . txn}. Векторное сложение:

{хи хп} + {уи yn} = {xi + yt, х* + Уп}-

Алгебра этих операций настолько проста и очевидна, что мы не будем на ней останавливаться. Отметим только, что указанные операции позво-

ляют выразить каждый вектор х = {хи . . . , хп) через его компоненты и координатные векторы в виде

х= 26>4). i=l

Перечислим некоторые важные подмножества пространства Ьп-(16:А:а) Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

(16:2:а) 2 <Ч i = b

(аи ..., ап, Ъ - постоянные). Случай #!=... =ап = 0 мы исключаем из рассмотрения,. так как в этом случае вообще не будет

х) Во всяком случае, это является ортодоксальной геометрической точкой зрения.

2) Таким образом, все координаты нулевого вектора равны нулю, в то время как /-я координата /-го координатного вектора равна 1, а остальные - нулю.

3) - символ Кронекера и Вейерштрасса , удобный для использования во-многих случаях.

~>

4) xj суть числа, и, следовательно, они в произведении xj6j играют роль скаляр-

ных множителей. 2 означает векторное сложение.

никакого уравнения. Все точки (векторы), удовлетворяющие этому уравнению, образуют гиперплоскость1).

<16:А:Ь) Пусть задана гиперплоскость

<16:2:а) 2ад = Ь;

4 г=1

она определяет две части пространства Ьп:

<16:2:Ь) 2aiSf>6

<16:2:с) , Щагхй<Ъ.

Это - два полупространства, порождаемые гиперплоскостью. Заметим, что если заменить а4, . . ., ап, Ь на -а4, . . ., -ал, -Ь, то гиперплоскость (16:2:а) останется неизменной, однако полупространства (16:2:Ь), и (16:2:с) поменяются местами. Следовательно, можно считать, что полупространство задается неравенством (16:2:Ь). 1

-> ->

{16:А:с) Пусть даны две точки (вектора) хяуп число £0, для которого

-> ->

1 - 0; тогда центром тяжести точек х, у с весами £, 1 - f

мы будем, в соответствии с механическими представлениями,

->

называть точку te + (1 - t) у. Равенства

->

х = {хи у = {уи г/я},

+(1 -0у={1 + (1-01. + - у*}

делают это определение понятным.

Подмножество С пространства Ln, содержащее все центры тяжести

своих точек (т. е. содержащее вместе с каждой парой своих точек х, у

->

все точки вида Нх + (1 - t) у, 0 й t 1), называется выпуклым.

{Читатель видит, что в случае п = 2, 3, т. е. в случае обычных плоскости и пространства, это является принятым понятием выпуклости. Действительно, множество всех точек -> ->

вида tx + (1 - t) у, 0 i§ t 1, представляет

собой прямолинейный отрезок, соединяющий Рис

->->->-> точки х, у,сегмент [х, у]. Таким образом, выпуклым называется множество, содержащее вместе с любыми своими точками и соединяющий их сегмент. Рис. 11 поясняет это условие при п = 2, т. е. в случае плоскости.

16.2.2. Очевидно, что пересечение любого числа выпуклых множеств снова выпукло. Следовательно, для любого числа точек (векторов)

я1, . . ., хр существует наименьшее выпуклое множество, которое их всех содержит: пересечение всех выпуклых множеств, содержащих

х) Для п = 3 в обычном трехмерном пространстве это просто двумерные плоскости. В общем случае это их (п - 1)-мерные аналоги; отсюда и название.

х1, . . ., хр. Это - выпуклое множество, натянутое на точки я1, . . ., хр. Полезно проиллюстрировать этот факт для случая плоскости. См. рис. 12 где р = 6. Легко проверить, что это множество состоит из всех точек; (векторов) вида

(16:2:d) 2 Ьх\ *i0, tp0,

где 2 0 = 1-

Доказательство. Точки (16:2:d) образуют множество, содер-

-У -У

жащее все ж1, . . ., хр. Действительно, чтобы получить представление для ->

х\ достаточно положить tj = 1, а все остальные tt = 0.

Точки (16:2:d) образуют выпуклое множество: если х = 2 fyk* -> р

и р = 2*/я* т°

-> п

ta + (l -*) z/ = 2

где Uj = ttj + (l - t)sj.

-У -У

Любое выпуклое множество D, содержащее я1, ..., хр, содержит*

также и все точки (16:2:d). Докажем это индукцией по р.

Доказательство. Для р = 1 это

->

очевидно, поскольку тогда = 1, и х1 будет единственной точкой, принадлежащей множеству (16:2:d).

Предположим, что утверждение верно для р-1. Докажем, что оно верно и

для /?. Если 2 h = 0, то £i = ... =

= tp ! = 0 и точка* из (16:2:d) совпадает

с яр и, следовательно, принадлежит D*

р-1 р- 1

Если 2 0>0, то полагаем £= 2

j=l ;=1

р р-1

так что l - t= 2-* 2 = Р Следовательно, 0<fgl. Положим Sj =

- tjlt для 7 = 1, /?- 1, 2 5y=l. Тогда из нашего предположения:

для /> -1 имеем, что 2 sjx° принадлежит D. Множество D выпукло, по-этому

* 2 *У+(1-о*р

также принадлежит D. Однако этот вектор равен

р-1 р ->.

2 ~f р 2=5 2

j=l 3=1

который, таким образом, также принадлежит D.