Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [ 45 ] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

Доказательство завершено.

Сами числа tu . . ., tp из (16:2:d) можно рассматривать и как компо-

->

ненты вектора t = {tu . . ., tp} в Lp. Поэтому множество возможных значений вектора, которое определяется условиями

2 = 1,

удобно как-то именовать. Мы будем обозначать его через Sp. Обозначим, далее, множество векторов t9 удовлетворяющих только первой группе1



Рис. 13.

Рис. 14.

tp 0, через Рр. Оба множе-

предыдущих условий, т. е. О, ства Sp и Рр являются выпуклыми.

Изобразим графически случаи р = 2 (плоскость) и р = 3 (пространство). Р2 есть положительный квадрант - множество точек между положительными полуосями xt и х2 (рис. 13). Р3 есть положительный октант - пространство, заключенное между положительными полуосями xi, х2 и х3, т. е. между плоскими квадрантами, ограниченными парами х1у х2; х х3; х2, х3 (рис. 14). S2 есть прямолинейный отрезок, пересекающий Р2 (рис. 13). S3 - плоский треугольник, аналогичным образом пересекающий Р3 (рис. 14). Полезно изобразить отдельно множества S2, S3 без Р2, Р3 (и тем более без L2, L3), в которые они естественно погружаются (рис. 15 и 16). На рисунках отмечены расстояния, пропорциональные xiy х2 и соответственно Xi, х2, х3.

(Подчеркнем еще раз: расстояния, отмеченные на рис. 15 и 16

как хи х2, х3, не являются самими координатами х±, х2, х3. Последние лежат в L2 или в L3 вне S2 или S3 и поэтому не могут быть изображены на S2 или на S3. Однако, как можно легко показать, они пропорциональны этим координатам.)



Рис. 16.



16.2.3. Другим важным понятием является понятие длины вектора. Длиной вектора х = {х . .,. х} называется


Расстоянием между двумя точками (векторами) называется длина вэктора разности

1*- = У 2 (г-г/г)2 -7 г=1

Таким образом, длина вектора х есть его расстояние от начала коорди-нат 0 *).

16.3. Теорема об опорной гиперплоскости

16.3. Установим теперь одно важное общее свойство выпуклых множеств.

-> -> - .

{16:В) Пусть дано р векторов х\ . . ., хр. Тогда вектор у либо принадлежит выпуклому множеству С, натянутому на векторы

х1, . . ., хр (см. (16:А:с) в п. 16.2.1), либо существует такая, ->

содержащая г/, гиперплоскость (см. (16:2:а) в п. 16.2.1), что множество Ссодержится в одном из полупространств, порождаемых этой гиперплоскостью (скажем, (16:2:Ь) в п. 16.211; см. (16:А:Ь) там же).

Это утверждение справедливо и втом случае, когда выпуклое множе-

-V ->

ство, натянутое на ж1, . . ., #р, заменено любым выпуклым множеством.


Рис 17. Рис. 18.

В такой форме это утверждение является основным рабочим аппаратом современной теории выпуклых множеств.

Картина в случае п = 2 (т/е. для плоскости) оказывается следующей. На рис. 17 изображено выпуклое множество С с рис. 12 (которое натянуто на конечное число точек), тогда как на рис. 18 изображено выпуклое множество С общего вида 2).

г) Евклидов и пифагоров смысл этих понятий очевиден.

2) Для читателя, знакомого с топологией, мы добавим следующее. Для того чтобы оставаться строгим, это предложение должно быть уточнено - утверждение верно для замкнутых выпуклых множеств. Это гарантирует существование минимума, которым мы пользуемся при доказательстве. Об этом см. также замечание на страницах 397, 398.



Прежде чем доказывать (16:В), заметим, что вторая альтернатива

явным образом исключает первую, поскольку у принадлежит гиперплоскости, а не полупространству (т. е. выполняется (16:2:а), а не (16:2:Ь) из (16:А:Ь)).

Перейдем теперь к доказательству.

Доказательство. Предположим, что у не принадлежит С.

Возьмем тогда точку из С, которая лежит ближе всего к г/, т. е. для которой величина

достигает своего минимального значения.

Рассмотрим любую другую точку и из С. Тогда при любом t, для которого 0 5g t :g 1, tu + (1 - t) z также принадлежит С. Из свойства минимальности точки z (см. выше) мы имеем

\ta + (l-t)z-y\*\l-y\\

т. е.

\(7-y) + t(u-7)\\7-y\\

2 {(zt - у г) +1 (щ - zt)Y 3> S (z, - г/г)2-

г=1 г=1

Выполняя элементарные алгебраические преобразования, мы получаем

2 2 (zi-yi)(ui-zi)t + 2 (Ui-Zi)H0. Для t>0 (причем, конечно, Jgl) имеем, следовательно,

2 2 (Zi-yt)(ut-zi)+ 2 (M*-Zf)2f0.

г=1 г=1

Если £ -> 0, то левая сторона неравенства стремится к

2 2 (zi - yt) (Ui - zt).

Таким образом,

(16:3) 2(**--Жи-**)3=0/

Так как ui - yi - {ui - zi)-\-(Zi - yi), это означает следующее: 2 (а, - г/;) (UJ - г/г)= 2 -Ы2 = Н- 1ГГ3-

г=1 г=1

Далее, гфу (z принадлежит С, а у - нет); следовательно, z - г/2>0. Значит, и левая сторона неравенства >> 0. Мы получаем

(16:4) 2 (Zi-Vi) Щ > 2 (zt -уг) уь

г=1 г=1

11 Дж. Нейман, О. Моргенштерн



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [ 45 ] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227