вательности партий (см. п. 17.1). Однако, с другой стороны, мы поставили в центр внимания рассуждения, касающиеся опасности угадывания стратегии игрока его противником (см. пп. 14.4, 14.7.1, и, наконец, последнюю часть п. 17.2). Как же можно иначе обнаружить стратегию игрока, в особенности если он осуществляет случайную смесь различных стратегий, как не путем продолжительного наблюдения! Мы вывели, что эти наблюдения должны распространяться на несколько партий. Для этого необходимо провести их в каждой отдельной партии. Если правила игры таковы, что допускают подобные наблюдения, т. е. если они ведут к повторяющимся партиям, то наблюдения могут дать эффект только постепенно и последовательно в ходе партий. Они не будут доступными в начале. Все будет связано с различными динамическими рассмотрениями, в то время как мы настаиваем на статичности теории! Кроме того, правила игры могут вообще исключать возможность наблюдений *), как это имеет место в орлянке или в игре камень, мешок и ножницы . Эти конфликты и противоречия возникают как в рассуждениях в § 14, где мы не использовали понятия вероятности в связи с выбором стратегий, так и в рассуждениях § 17, где вероятности используются.

Как следует их разрешить?

17.3.2. Наш ответ будет таким.

Начнем с того, что доказательства последних результатов в §§ 14 и 17, т. е. рассуждения из пп.14.5 и 17.2, не содержат этих элементов противоречия. Таким образом, мы можем утверждать, что наши окончательные результаты справедливы, хотя эвристические процедуры, ведущие к ним, можно оспаривать.

Но даже эти процедуры можно обосновать. Мы не идем здесь на уступки. Наша точка зрения статическая, и мы анализируем одну-един-ственную партию. Мы пытаемся создать удовлетворительную теорию - на данном этапе - для игры двух лиц с нулевой суммой. Следовательно, мы занимаемся не дедуктивной аргументацией на прочной основе какой-либо существующей теории, которая уже выдержала все разумные испытания, а занимаемся поисками такой теории 2). В этих целях вполне законным для нас является использование аппарата обычной логики и, в частности, косвенного доказательства. Такой аппарат состоит из предположения о наличии некоторой удовлетворительной теории некоторого нужного типа 3) и попыток обрисовать следствия из воображаемой логической ситуации и затем из заключений о том, какой же должна быть наша гипотетическая теория. Если применение этого процесса окажется успешным, то он может настолько сузить возможности для такой гипотетической теории, что останется только одна возможность; это и означает, что теория определена и открыта именно этим способом4). Конечно,

х) То есть постепенных и последовательных наблюдений за поведением противника в течение одной партии.

2) Мы пользуемся, конечно, эмпирическим методом: мы пытаемся понять, формализовать и обобщить те черты простейших игр, которые нам представляются типичными. Это - стандартный метод любой науки, опирающейся на опыт.

3) Это полное представление о том факте, что мы (пока) не обладаем такой теорией и что мы не можем представить себе (пока), какой бы она была, если бы мы ее имели.

Все это не хуже, чем любое другое косвенное доказательство в любой области науки (в качестве примера можно указать на доказательства от противного в математике и в физике). \

4) Имеется несколько важных примеров таких построений в физике. Последовательные приближения к специальной и общей теории относительности или к волновой механике могут рассматриваться как таковые. См. A. DA b г о, The Deciline of Mechanism in Modern Physics, New York, 1939.

может быть и так, что приложение этого метода оказывается более, чем успешным и сужает число возможностей до нуля; это доказывает, что непротиворечивая теория желаемого вида немыслима *).

17.3.3. Предположим, что существует теория игр двух лиц с нулевой суммой, которая указывает игроку, как ему действовать, и она является абсолютно убедительной. Если бы игроки знали такую теорию, то каждый из них предположил бы, что его стратегия раскрыта его противником. Противник знает теорию и также то, что для игрока было бы неразумным не следовать ей 2). Таким образом, предположение о существовании удовлетворительной теории узаконивает наше исследование ситуации, в которой стратегия игрока раскрывается его противником. Удовлетворительная теория 3) может быть построена только в том случае, если удастся гармонизировать две крайности Г4 и Г2, когда раскрыты стратегии игрока 1 и когда раскрыты стратегии игрока 2.

Для первоначальной трактовки предмета - без использования понятия вероятности (т. е. с одними чистыми стратегиями) - границы, до которых можно распространить теорию, были определены в п. 14.5.

Мы видели, что случай полной определенности является именно тем случаем, при котором на этой основе существует удовлетворительная теория. Постараемся теперь продвинуться дальше, используя вероятности (т. е. смешанные стратегии). Мы снова пустим в ход способ анализа раскрытия стратегии другого игрока, которым мы воспользовались в п. 14.5, когда никаких вероятностей не было.

Окажется, что теперь гипотетическая теория может быть определена полностью и во всех случаях (а не только в случае полной определенности см. пп. 17.5.1 и 17.6).

После того как теория найдена, ее нужно независимо обосновать путем прямой аргументации 4). Это было сделано в случае полной определенности в п. 14.5, а для нашей общей теории мы сделаем это в п. 17.8.

17.4. Минорантная и мажорантная игры (для смешанных стратегий)

17.4.1. Воплощение нашей идеи состоит в том, что игрок 1 выбирает произвольный элемент £ £ S$v а игрок 2 выбирает произвольный элемент Г) g 5Р2.

х) Такое случается также в физике. Анализ величин, которые не могут наблюдаться одновременно , Н. Бора - Гейзенберга в квантовой механике допускает такую интерпретацию. См. N.Bohr, Atomic and the Description of Nature, Cambridge, 1934 and P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, London, 1931, Chap. 1.

2) Почвхму неразумно не следовать теории - нас в данный момент не касается; мы предположили, что теория абсолютно убедительна.

То, что это не невозможно, будет видно из окончательного результата. Мы построим удовлетворительную теорию несмотря на то, что при ее использовании стратегия игрока оказывается обнаруженной противником. Теория предписывает ему такое поведение, при котором он от этого ничего не теряет. (См. теорему в п. 17.6 и обсуждение полного решения в п. 17.8.)

3) То есть теория, использующая только сделанные предположения. Конечно, мы не претендуем на способность делать абсолютные утверждения. Если наши настоящие требования окажутся невыполнимыми, то мы будем искать другие основания теории. Фактически мы уже сделали это однажды, при переходе от § 14 (где говорилось о чистых стратегиях) к § 17 (где говорилось о смешанных стратегиях).

4) Косвенная аргументация, как было обрисовано выше, дает только необходимые условия. Следовательно, они могут установить противоречивость доказательства приведением к абсурду или же сузить число возможностей до единицы; в последнем случае необходимо еще показать, что оставшаяся возможность удовлетворительна.

Если игрок 1 захочет играть только стратегию то он должен в качестве выбрать координатный вектор 6Tl (см. п. 16.1.3); аналогично, если игрок 2 захочет играть стратегию 2£2, то он должен в качестве г\ выбрать бТ2.

Мы предполагаем, что игрок 1 производит выбор независимо от выбора игрока 2, и наоборот.

Смысл этого состоит, конечно, в том, что после того, как выборы сделаны, игрок 1 фактически использует каждую из стратегий т4 = 1, . . ., Pi с вероятностями gTl, а игрок 2 использует стратегии т2 = 1, . . ., Р2 с вероятностями r]t2. Поскольку выборы игроков независимы, математическое ожидание выигрыша равно

-> -> 1 32

(17:2) К (g, т)= 2 2 (2)2.

Ti=l т2=1

Иными словами, мы заменили первоначальную игру Г некоторой новой игрой, которая имеет, по существу, такую же структуру, но обладает, однако, и некоторыми формальными отличиями.Числа Ti и т2 (выборы игроков) заменены теперь векторами и т). Функция $К (т4, т2) - выигрыш или, точнее, математическое ожидание выигрыша в игре -

-у ->

заменена на К (£, п). Все это указывает на идентичность нашей данной

точки зрения на игру Г с той, которая была изложена в п. 14.1.2 (с един-

-> ->

ственной разницей, заключающейся в замене т4, т2, Ж(хх, т2) на £, п, -> ->

К (£, У])). Этот изоморфизм указывает нам на возможность приложения тех же самых методов, которыми мы пользовались для исследования первоначальной игры Г, а именно сравнения с мажорантной и минорант-ной играми Ti и Г2, как это было описано в пп. 14.2, 14.3.1, 14.3.3.

17.4.2. Таким образом, в игре Г4 игрок 1 выбирает свой вектор

первым, а игрок 2 выбирает г\ после него, имея уже полную информацию

о векторе , выбранном противником. В Г2 порядок выбора изменен на противоположный. Поэтому рассуждения из п. 14.3.1 здесь применимы

дословно. Игрок 1, выбирая £, может ожидать, что игрок 2 будет выбирать т] с целью минимизировать К (£, п), т. е. что выбор игроком 1 I ведет к min К (£, Г]). Это функция только от £; следовательно, игрок 1 должен

выбрать так, чтобы максимизировать min К (£, п). Таким образом,

->

значение для партии игры Г4 (для игрока 1) равно

-У -У

v[ = max min К (g, n). If л

Аналогично мы получаем, что значение для партии игры Г2 (для игрока 1) равно

, -> -у

v2 = min max К (£, n).