Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

(Очевидное допущение о рациональном поведении противника не играет в действительности никакой роли, поскольку утверждения (14:А: а) - (14:А:е), (14:В:а) - (14:В:е) из пп. 14.3.1 и 14.3.3 применимы здесь дословно.)

Как это делалось в п. 14.4.1, можно обосновать тот очевидный факт, что игра Ti менее благоприятна для игрока 1, чем Г2, т. е. что

Если в справедливости этого возникнут какие-либо сомнения, то напомним, что строгое доказательство содержится в (13:А *) в п. 13.4.3. Употреб-

-> ->.

ляемые там выражения х, у, ф соответствуют нашим т), К *). Если окажется, что

то рассуждения из п. 14.5 применимы дословно. Утверждения (14:С:а) -

->

(14:C:f), (14:D:a), (14:D:b) определяют понятия оптимальных £ и г и устанавливают значение партии (для игрока 1):

v=v;=v;2).

Согласно (13:В) в п. 13.4.3, все это происходит в том и только в том случае, когда существует седловая точка функции К (переменные х, у, ф

- - ->

соответствуют нашим £, ц, К).

17.5. Полная определенность в общем случае

17.5.1. Мы заменили v4 и v2 из (14:А:с) и (14:В:с) на vh и предыдущее обсуждение показывает, что последние могут играть роль первых. Однако мы теперь в такой же степени зависим от равенства vj - v2, как раньше от v4 = v2. Естествен поэтому вопрос: приобрели ли мы что либо в результате такой замены?

Очевидно, что приобрели, если, имея равенство у[ = v2 (для любой заданной игры Г), мы располагаем лучшими перспективами, чем имея равенство v4 = v2. Мы называли игру Г вполне определенной, если имели v4 = v2. Нам представляется целесообразным фиксировать теперь различие и называть игру Г в случае v4 = v2 вполне определенной в частном, а в случае = v2 вполне определенной в общем. Такая терминология будет правомерной только в том случае, когда из первого будет следовать второе.

С точки зрения здравого смысла эта импликация вполне правдоподобна. Введение смешанных стратегий увеличивает возможность игрока обороняться против раскрытия его стратегии противником; поэтому можно ожидать, что числа у[ и v2 действительно лежат между v4 и v2. Иными словами, можно утверждать, что (17:3) v4 <; v; v: v2

(это неравенство гарантирует, конечно, правомерность использования только что упомянутой импликации).

г) Хотя и г) - векторы, т. е. последовательности вещественных чисел . . . и (%, ..., Лз2Ь но кажДЬ1И из них можно рассматривать как переменную в операциях max и min. Областями их изменения являются, конечно, и введенные нами в п. 17.2.

2) Подробное повторение рассматриваемых доводов дано в п. 17.8.



Чтобы устранить все возможные сомнения, дадим строгое доказательство неравенства (17:3). Это удобно сделать как следствие другого утверждения.

17.5.2. Докажем вначале такую лемму:

(17:А) Для любого lSfil

Pi Р2 Pi

min К (1, т]) = min 2 2 fa, т2) £Tlnt2 = min 2 SK fa, т2) gTl.

~+ Ti=l T2=l Т2 Ti=l

Для любого r\£Sp2

Pi 32 32

max К (£, г]) = max 2 2 < fa, т2) gTl%2 = max 2 fa, т2) Лт2-

1 > Т2-1 Ti Т2=1

Доказательство. Докажем только первую из этих формул; доказательство второй в точности такое же, надо только заменить max

на min, а также на > .

->-

Если в качестве т] взять вектор б 2 (см. п. 16.1.3 и конец п. 17.2), то мы получим

3l 32 01 32

min 2 2 fa, r2) Sti%2=S 2 2 ж fa т2) StA2tJ =

-> T1==lT2=l Ti==lT2=l

= 2 fa, т2) ?tr

Ti=l

Посколько это верно для всех т2, то

3i 32 3 i

(17:4:а) min 2 2 fa> тг) ЪххЧх2=кыт 2 fa, т2) gTl.

-> Ti=lT2==l Т2 Ti=l

С другой стороны, для всех т2

3i 3i

2 Ж fa. Т2) ETl min 2 fa, т2) En-

Ti=l Т2 Ti=l

Возьмем произвольное т] £ S$2, умножим обе стороны этого % нера-

венства на т]Т2 и просуммдруем по т2=1, 32. Поскольку 2 Лт*-1

т2=1

мы получим

3l 32 01

2 2 fa, т2) tXlv)x2 min 2 fa, та) £Tl.

Ti=l T2=l Т2 Ti=l

->

Так как это верно для всех т), то должно быть

(17:4:Ь) min § % Ж (т т2) gTliT2 min 2 Ж (т т2) tl.

Т] Tl= 1 Т2= 1 Т2 Ti= 1

Теперь (17:4:а) и (17:4:Ь) дают требуемое соотношение.



Сопоставляя написанные формулы с определением v и v2 из п. 17.4, мы получаем

(17:5:а) vmaxmin 2 (Ti т2) lxv

(17:5:b) vminmax 2 (Ti 2) Цт2-

~y Tl T2= 1

Эти формулы допускают простую словесную интерпретацию. При вычислении мы заботимся только о защите игрока 1 от раскрытия противником его стратегии, что выражается в использовании (вместо Tt); игрок 2 может при этом действовать по-старому и использовать т2 (вместо г]). При вычислении v2 роли игроков меняются. Это понятно и с точки зрения здравого смысла: vi относится к игре ГА (см. пп. 17.4 и 14.2); там игрок 2 выбирает после игрока 1 и полностью информирован о выборе 1; следовательно, он не нуждается в защите от раскрытия его собственной стратегии игроком 1. Для числа v2, относящегося к Г2, роли игроков меняются.

Значение не увеличится, если в приведенной выше формуле ограничить переменную в операции max. Ограничим значение вектора

векторами 6Ti (т2 = 1, . . Pi) (см. п. 16.1.3 и конец п. 17.2). Поскольку

2 (Tlf т2)б , = 35Г(т;, т2),

Ti=l

наше выражение заменяется на

max min Ж (т, т2) = vle т т2

Таким образом, мы показали, что

vi v

Аналогично (см. замечание в начале доказательства последней леммы), ограничивая г] векторами т=8 2, мы получаем

v2=:v2.

Вместе с vfgVg (см. п. 17.4) это дает нам

(17:3) vi v;v2v2,

что и требовалось.

17.6. Доказательство основной теоремы

17.6. Мы установили, что полная определённость в частном смысле (vi = v2) влечет полную определенность в общем смысле (v = v2). То, что полная определенность в общем может иметь место и тогда, когда полная определенность в частном не имеет места, т. е. что = v2 и в то же



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227