время v4 Ф v2, видно из примеров орлянки и игры камень, мешок и ножницы 1). Поэтому мы можем утверждать, что переход от полной определенности в частном смысле к полной определенности в общем смысле действительно является шагом вперед. Однако на данный момент мы не знаем, относится ли это ко всем играм; может оказаться, что существуют такие игры Г двух лиц с нулевой суммой, которые не вполне определены даже в общем: мы еще не исключили возможности неравенства

v;<v;.

Если эта возможность реализуется, то все сказанное в п. 14.7.1 будет снова применимо и даже более широко: раскрытие стратегии противника будет составлять определенное преимущество

A = v2-v;>0,

и трудно себе представить, как может быть построена теория такой игры без дополнительной гипотезы о том, кто чью стратегию раскроет .

Решающим фактором поэтому является возможность доказательства ого, что это никогда не произойдет. Для всех игр Г

т. е.

(17:6) max min К (g, г)) = min max К (g, г]),

£ Tl Tl l)

или, что то же самое (снова подставляя £, г), К вместо х, у, ф

в (13:В) из п. 13.4.3), седловая точка функции К (£, г\) существует. Это - общая теорема, которая имеет место для всех функций

К (, л) вида

3l 32

(17:2) К (£, т) = 2 2 Ж (т4, т2) £Tlr]t2.

Ti=l Т2=1

Выбор коэффициентов Ж (xi9 т2) здесь абсолютно неограничен; они образуют, как это было описано в п. 14.1.3, некоторую совершенно произ-

-у ->

вольную матрицу. Переменные \ и г) представляют собой фактически последовательности вещественных чисел . . ., £рх и r\i, . . ., т)р2, областями изменения которых являются множества и £р2 (см. сноску 1

на стр. 174). Функции К (£, т)) вида (17:2) называются билинейными формами.

3 амечание. Эта теорема впервые была сформулирована и доказана в статье одного] из авторов теории игр: J. von Neumann, Zur Theorie de Gesellschaftsspiele, Math. Annalen, 100 (1928), 295-320. Несколько более общая форма этой минимаксной проблемы возникает в математической экономике в связи с уравнениями производства: J. von Neumann, Tiber ein okonomisches Gleichungssystem und eine Ver-allgemeinerung des Browerschen Fixpunktsatzes, Ergebnisse eines Math. Kolloquinms, 8*(1937), 73-83. Следует заметить, что две совершенно различные задачи, изучаемые совершенно различными методами, приводят к одной и той же математической задаче необычного, минимаксного вида. По-видимому, здесь имеют место и более глубокие формальные связи, как и в других направлениях, о которых упоминается во второй статье. Это обстоятельство должно быть разъяснено.

J) В обеих играх vi = - l,v2 = 1 (см. пп. 14.7.2 и 14.7.3), а рассуждения в п. 17.1 можно рассматривать как доказательство того, что vi = v2 = 0.

Доказательство нашей теоремы, приведенное в первой статье, довольно запутанным, образом использует аппарат топологии и теории функций. Доказательство во второй статье полностью топологическое и связано с теоремой, являющейся важным методом этой дисциплины, так называемой теоремой о неподвижной точке Л. Е. И. Бра-уера. Этот аспект был в дальнейшем прояснен, а доказательство упрощено С. К а к у-т а н и: A Generalization of Brouwer s Fixed Point Theorem Duke Math. Journal, 8 (1941), 457-459. Все эти доказательства определенно не являются элементарными. Первое элементарное доказательство было дано Ж. Биллем вместе с Е. Боре-л е м и его сотрудниками: Traite du Calcul des Probabilites et de ses Applications, IV, 2, Application aux Jeux de Hasard, Paris, 1938; J. V i 11 e, Sur la Theorie Generale des Jeux au Intervient IHabilete des Joueurs, 105-ИЗ. Доказательство, которое мы здесь приводим, является дальнейшей элементаризацией доказательства Ж. Билля и представляется особенно простым. Основным здесь является, конечно, связь с теорией выпуклых множеств, изложенной в § 16, и в особенности с результатами из п. 16.4.3.

Доказательство получается просто при помощи результатов п. 16.4.3. Приведем его.

Применим (16:19:а) и (16:19:Ь) из п. 16.4.3, заменяя i, у, п, т и

-У -У -У -У

a(i, 7) на ti, т2, Pi, р2 и Ж (хи т2), а векторы w и я -на £ и ц.

Если выполняемся (16:19:Ь), то существует такой вектор i, что 3i

2 fa, T2)Stl0 ДЛЯ T2=lf р2,

т. е.

min 2 3F(Ti, т2)?Т10.

Т2 Ti=l

Следовательно, формула (17:5:а) из п. 17.5.2 дает нам

Если выполняется (16:19:а), то существует вектор г)£#р2 для которого

2 Ж fa, т2) Т)Т20 для Ti = l, р1?

т2=1

т. е.

max 2 (Ti т2) Цх2 = 0. Следовательно, формула (17:5:Ь) из ц. 17.5.2 дает

Мы видим теперь, что имеет место либо 0 либо v2 0, т. е.

(17:7) Невозможно < 0 < v2.

Возьмем теперь произвольное число w и заменим функцию Ж (хи т2) на Ж (хи т2) - w г).

> > 3l 32 ->

При этом К (£, т)) заменяется на К (£, n)-w 2 2 1xx2- Так как I и п

ti=l т2=1

3i З2

принадлежат соответственно и 5р2, должно быть 2 £ti = 2 Лтг = 1*

П=1 Т2=1

г) Это значит, что игра Г заменяется новой игрой, правила которой в точности совпадают с правилами игры Г, за исключением того, что в конце партии игрок 1 получает меньше, а игрок 2 больше на фиксированную величину w.

и фактически К(, ц) заменяется на К (£, r\) - w. Следовательно, у[ и у2 заменяются на у[ - w и у2-w *). Применяя утверждение (17:7) к уг - w, у2 -w, мы получаем:

(17:8) Невозможно vi < w < v2.

Заметим теперь, что число w было выбрано совершенно произвольно. Вместе с тем при v < у2 можно будет выбрать w так, чтобы было у[ < w < v2, однако это противоречит (17:8). Итак, неравенство v < v2 невозможно, и мы доказали v = v2, что и требовалось. Доказательство завершено.

17.7. Сравнение подходов для чистых и для смешанных стратегий

17.7.1. Прежде чем двинуться дальше, обсудим еще раз смысл равенства

Его существенной чертой является то, что всегда имеет место v = v2, но не всегда v4 = v2, т. е. всегда имеет место полная определенность в общем и не всегда вполне определенность в частном (см. начало п. 17.6).

Выразим сказанное математически.

Всегда имеет место равенство

-> -у -у -у

(17:9) max min К (£, rj) = minmaxK(g, г]),

-У -у -у -у

£ л ч I

т. е.

Pi Зз 3i 32

(17:10) max min 2 2 (тА, т2) £tlr]t2 = min max 2 2 (ть тг) Sti%2-

- Ti=i Т2=1 -- Ti=l Т2=1

Используя (17:А), можно даже написать, что

Pi 32

(17:11) maxmin 2j Ж (ть т2) Xl = min max V $К (тА, т2) т]Т2.

1 Т2 Ti=l Ti X2Z=1

Однако не всегда выполняется

(17:12) max min (т4, т2) = min max Ж* (т15 т2).

Ti Т2 t2 Tl

Сравним (17:9) с (17:12). Равенство (17:9) верно всегда, чего нельзя сказать о (17:12). Единственно, чем они отличаются, это величинами г], К и т4, т2, Ж. Почему же подстановка одних на место других превращает неправильное утверждение (17:12) в правильное (17:9)?

Причина этого заключается в том, что Ж (т4, т2) из (17:12) является совершенно произвольной функцией своих переменных тА и т2 (см. п. 14.1.3),

-у -у

тогда как К (£, г\) в (17:9) является функцией весьма частного вида пере-

-У -у

менных и т), т. е.

Ii> 3i %> ПЗг

а именно билинейной формой. (См. первую часть п. 17.6.) Большая общность Ж (Ti, т2) делает невозможным доказательство (17:12), в то время

х) Это становится очевидным, если вспомнить интерпретацию из сноски 1 на стр. 178.;