как частная, билинейная природа К (£, т]) составляет основу приведенного в п. 17.6 доказательства равенства (17.9),

-у -у

Замечание. Билинейность К (£, г\) происходит оттого, что она является математическим ожиданием выигрыша. Представляется существенным, что линейность этой функции связана с существованием решения в том смысле, в котором мы его нашли. С математической точки зрения это открывает нам довольно интересные перспективы: можно исследовать, какие иные понятия, кроме математического ожидания , не будут противоречить нашему решению, т. е. получению результата п. 17.6 для игр двух лиц с нулевой суммой.

Понятие математического ожидания является фундаментальным со многих точек зрения. Его значимость с точки зрения теории полезности обсуждалась в п. 317.1.

17.7.2. При всей правдоподобности может показаться парадоксальным, -у -у

что функция К (£, т]) имеет более частный вид, чем ё% т2), несмотря на то что первая получена из второй с помощью процесса, имеющего все признаки обобщения: мы получили ее заменой понятия чистой стратегии на понятие смешанной стратегии, как это было описано в п. 17.2,

-у -у

т. е. заменой хх и т2 на £ и г].

Однако более пристальное рассмотрение разрешает этот парадокс.

-у -у

К (£, г]) является функцией очень частного вида по сравнению с (т4, т2), однако ее переменные имеют значительно более широкую область изменения, чем первоначальные переменные %х и т2. Действительно, т4 имеет

областью значений конечное множество 1, . . ., р4, тогда как \ изменяется во всем множестве Spv которое является (pi - 1)-мерной поверхностью в ргмерном линейном пространстве Spt (см. конец п. 16.2.2 и п. 17.2).

Аналогичное справедливо по отношению к т2 и т).

Замечание. Заметим, что вектор g == . . ., с компонентами gTl, где т4 = 1, . . ., Pi, также содержит т4; однако здесь имеется существенное отличие. В Ж (т1? т2) само Tt является переменной. В К Й, т]) переменной является £, в то время

как т4 оказывается как бы переменной внутри переменной. \ фактически является функцией от %i (см. конец п. 16.1.2), и эта функция как таковая является переменной

-у -у

в К (£, г)). То же относится и к т2, т].

Выразим то же в терминах тА итг : Ж (т4, т2) является функцией от т4 и/г2, в то

-у -у

время как К (£, г\) является функцией от функции от переменных ть т2 (т. е. тем, что в математике называется функционалом).

Среди точек из находятся точки, фактически соответствующие различным Ti из 1, . . ., Pi- Для каждого хх можно построить (как это

делалось в п. 16.1.3 и в конце п. 17.2) координатный вектор g = 6Т*, выражающий выбор стратегии 2** при исключении всех остальных стратегий. Таким же способом каждой чистой стратегии т2 из 1, . . ., р2

можно поставить в соответствие некоторый вектор г) из S$2. Для этого

-У -У

по данному т2 можно построить координатный вектор г) = 6Т2, выражающий выбор стратегии 2J2 с исключением всех остальных. Теперь очевидно, что

01 02

К (в*1, бТ2) = 2 S Г К* т2) &ritAit* = ЙГ (Tlf т2)!).

*) Смысл этой формулы очевиден; достаточно только вспомнить, как выборы

стратегий осуществляют 6 1ибТ2.

Таким образом, несмотря на свой частный вид, функция К (£, г]) содержит функцию Ж (Ti, т2) и поэтому является более общей. Она действи-

тельно шире, чем Ж (т, т2), поскольку не все п, имеют вид oTl, ot2, т. е. не все смешанные стратегии являются чистыми *). Можно сказать, что

К (£, г)) является продолжением Ж (хи т2) с более узкой области опреде-

-> -> -> ->

ления Ti, т2 (т. е. с STl, 8Т2) на более широкую область £, г) (т. е. на все S$v S$2): с области чистых стратегий на область смешанных стратегий.

Билинейность функции К (£, т) выражает лишь тот факт, что это продолжение осуществляется путем линейной интерполяции. То, что пришлось применить именно этот процесс, объясняется линейным характером математического ожидания 2).

17.7.3. Возвращаясь к равенствам (17:9) - (17:12), мы видим теперь, что можно следующим образом выразить справедливость (17:9) -(17:11) и неправильность (17:12).

(17:9) и (17:10) выражают тот факт, что каждый из игроков полностью защищен от раскрытия его стратегии противником в том случае, если

он пользуется смешанными стратегиями т вместо чистых тА, т2. (17:11) утверждает, что это остается в силе и в том случае, когда игрок, раскрывший стратегию противника, использует ть т2, в то время как противник

продолжает использовать т). Наконец, неверность (17:12) показывает,

что оба игрока - ив особенности тот, стратегия которого окажется

раскрытой,- не могут, вообще говоря, безнаказанно обойтись без исполь-

-> -у

зования смешанных стратегий г).

17.8. Исследование полной определенности в общем случае

17.8.1. Переформулируем содержание п. 14.5, как указывалось в конце п. 17.4, особо подчеркивая тот установленный в п. 17.6 результат, что всякая игра двух лиц с нулевой суммой Г вполне определена в общем.

Согласно этому результату мы можем определить

v = max min К (£, г]) = min max К (g, т]) = Sa >-> К (g, т]) I л л £

(см. также (13:С*) в п. 13.5.2 и конец п. 13.4.3).

Построим теперь по аналогии с множествами А и В в (14:D:a), (14:D:b) из п. 14.5.1 множества А и 5, являющиеся соответственно подмножествами Sfa и Sр2 Это будут множества Аф и Вч> из п. 13.5.1 (здесь ф соответствует нашему К). Таким образом, мы определяем:

(17:В:а) А есть множество тех £ 5, для которых min К (£, г\)

принимает свое максимальное значение, т. е. тех, для которых

-у -> -> -+

min К (£, т)) = max min К (g, г)) = v.

-> ->->-

л I л

х) То есть с положительными вероятностями могут использоваться несколько стратегий.

2) Фундаментальная связь между понятием числовой полезности и линейным математическим ожиданием была отмечена в конце п. 3.7.1.

- -> -> ->

(17:В:Ь) В есть множество тех г) £ З, для которых max К (£, т])

-> ё

принимает свое минимальное значение, т. е. тех, для которых

-у -У -> ->

max К г\) = min max К (£, т}) = v.

Т л ?

Теперь можно повторить рассуждения из п. 14.5. При этом мы будем использовать нумерацию, которая соответствует перечислению утверждений (14:С:а) - (14:C:f) в п. 14.5 х).

Во-первых, заметим следующее;

(17:C:d) Игрок 1, играя надлежащим образом, независимо от действий второго игрока может обеспечить себе выигрыш v.

Игрок 2, играя надлежащим образом, независимо от действий первого игрока может обеспечить себе выигрыш - v\

-> -

Доказательство. Пусть игрок 1 выбирает £ А. Тогда независимо от действий игрока, 2, т. е. для всех т), мы имеем К (£, ц) min К (£, т) = v. Пусть игрок 2 выбирает ц £ В. Тогда независимо

от действий игрока 1, т. е. для всех мы имеем К (£, n) 5g max К (£, г]) =

= v. Это завершает доказательство.

Во-вторых, утверждение (17:C:d), очевидно, эквивалентно следующему:

(17:С:е) Игрок 2, играя надлежащим образом, может быть уверен в том, что выигрыш игрока 1 будет v, т. е. он может не дать игроку 1 выиграть > v независимо от того, что делает игрок 1.

Игрок 1, играя надлежащим образом, может быть уверен в том, что выигрыш игрока 2 будет rg - v, т. е. он может не дать выиграть игроку 2 > - v независимо от того, что делает игрок 2.

17.8.2. В третьих, можно утверждать, опираясь на (17:C:d) и(17:С:е) и на рассуждения, приведенные при доказательстве (17:C:d), что

(17:С:а) Оптимальный способ игры (комбинация стратегий) для игрока 1 в игре Г заключается в выборе произвольного I 6 А, где А - множество, определенное в (17:В:а).

(17:С:Ь) Оптимальный способ игры (комбинация стратегий) для игрока 2 в игре Г заключается в выборе произвольного г\ £В, где В - множество, определенное в (17:В:Ь).

В-четвертых, объединение утверждений из (17:G:d) или, что равносильно, из (17:С:е) дает:

(17:С:с) Если оба игрока 1 и 2 оптимально играют в игру Г, т. е. если

£ £ Л, а г] £ то значение К (£, т)) будет равно значению партии (для игрока 1), т. е. v\

г) В связи с этим (а) - (f) появляются в необычном порядке. Это относится также и к п. 14.5, поскольку нумерация в нем основывалась на пп. 14.3.1, 14.3.3, а рассуждения в этих пунктах шли по несколько иному пути.