показывают, сколько рискует потерять игрок (с точки зрения значения партии для него) х), используя данную стратегию. Под риском мы понимаем здесь наихудшее, что может произойти при данных условиях 2).

-> ->

Тем не менее необходимо отдавать себе отчет в том, что а (g) и (3 (т) не указывают, какая именно стратегия противника причиняет эту

(максимальную) потерю для игрока, использующего g или г). В частности, вовсе не очевидно, что если противник использует некоторую оптимальную стратегию, т. е. некоторое г)0 £ В или g0 £А, то это само по себе приведет к максимальным потерям. Если игроки используют отличные

-У -У

от оптимальных стратегии g или г), то максимальные потери достигаются на тех стратегиях т] или g противника, для которых

(17:14:a) К(, rf) = mmK(f, ц),

(17:14:Ь) К(1, ч) = тахКЙ, ч),

т. е. если стратегия ц оптимальна против данной g или g оптимальна

против данной г. При этом мы никогда не можем установить, будет ли

-У -У -У

некоторая фиксированная стратегия г]0 или g0 оптимальной против всех g или Т).

-У -У

17.10.2. Назовем поэтому стратегию г) или стратегию g, которая

-У -У

оптимальна против всех ц или g, т. е. стратегию, для которой выполняются (17:14:а) или (17:14:Ь) в п. 17.10.1 для всех g, т),-- перманентно опти-

-У -У

малъной. Всякая перманентно оптимальная стратегия г) или g необходимо является оптимальной; с концептуальной точки зрения это должно быть ясно, и строгое доказательство является простым.

Доказательство. Достаточно провести доказательство для т; доказательство для g аналогично.

Пусть стратегия ц перманентно оптимальна. Выберем стратегию g*, которая оптимальна против г], т. е. для которой

K(f*, ) = maxK(, V).

х) Под потерей игрока понимается значение партии минус его фактический выигрыш:

для игрока 1 v - К (g, т));

для игрока 2 (-v)- (-К (g, ц))=К(1, rjj - v.

2) Действительно, используя предыдущую сноску, а также (17:13:а) и (17:13:Ь), мы имеем

a(g) = v-minK (g, rf) = max{v -К (g, rj)},

-у -у

Р0п) = тахК (f, v = max{K(g, л)-у}.

Таким образом, каждая из этих функций выражает максимальные потери.

По определению

К(*, л) = ттК(*, ц).

-У -> * -> -У

Таким образом, £* и т) образуют седловую точку функции К (g, г]), и, следовательно, согласно (17:C:f) в п. 17.8.2 т) принадлежите, т. е. является оптимальной стратегией.

Однако открытым остается вопрос: все ли оптимальные стратегии являются перманентно оптимальными? Более того: существуют ли перманентно оптимальные стратегии вообще?

В общем случае ответ оказывается отрицательным. Так, например,

в орлянке , в игре камень, мешок и ножницы единственной оптимальной

-> ->

стратегией (для игрока 1, равно как и для игрока 2) является £ = г\ = = {1/2, 1/2} или соответственно {1/3, 1/3, 1/3} х). Если игрок 1 играет определенным образом, например выбирая всегда решетку или всегда камень 2), то он проиграет, если противник будет выбирать соответственно герб 3) или мешок 3). Однако в этом случае стратегия противника не будет оптимальной; она не будет совпадать с {1/2, 1/2} в одном случае и с {1/3, 1/3, 1/3} в другом. Если противник играет оптимальную стратегию, то ошибки игрока не имеют значения 4).

Далее мы приведем другой пример - в более тонком и сложном случае, касающемся покера и необходимости блефа (см. пп. 19.2 и 19.10.3).

Все сказанное можно резюмировать заметив, что, в то время как наши оптимальные стратегии совершенны с оборонительной точки зрения, они (в общем случае) не дают максимального выигрыша при (возможных) ошибках противника, т. е. они не рассчитаны на наступление.

Следует, однако, помнить, что наши рассуждения в п. 17.8 остаются в силе: теория наступления, в указанном смысле, без существенно новых идей невозможна. Читатель, который не склонен принять это, может еще раз рассмотреть положение дел в орлянке или в игре камень, мешок и ножницы ; исключительная простота этих двух игр делает наиболее важные моменты особенно ясными.

Другим предостережением против переоценки этой точки зрения является следующее. Во многих случаях слово наступательный употребляется в повседневной речи не в том смысле, как мы только что употребляли; оно употребляется именно в том смысле, который полностью охватывается настоящей теорией. Это, как будет показано в п. 17.10.3, имеет место для всех игр с полной информацией,5) а также в случае таких типично агрессивных операций (обусловленных неполной информацией), как блеф в покере 6).

17.10.3. Закончим этот параграф замечанием о том, что существует важный класс игр двух лиц с нулевой суммой, в которых существуют

*) См. п. 17.1. Любые другие вероятности приведут к потерям в случае раскрытия . См. далее. ч

-V ->

2) То есть 1 = 6= {1, 0} или соответственно {1, 0, 0}.

3) То есть т = 6 = {0, 1} или соответственно {0, 1, 0}.

4) То есть плохая стратегия решетка (или камень ) может быть побеждена только стратегией герб (или мешок ), которая сама по себе является плохой стратегией.

5) Шахматы и трик-трак относятся к таким играм.

6) Предыдущие рассуждения относятся скорее к отсутствию блефа . См. § 19.2 и п. 19.10.3.

перманентно оптимальные стратегии. Это игры с полной информацией, которые исследовались нами в § 15 и, в частности, в пп. 15.3.2, 15.6 и 15.7. Действительно, небольшое видоизменение доказательства полной определенности в частном достаточно для доказательства и того утверждения. Мы получим при этом перманентно оптимальные чистые стратегии. Однако не будем здесь вдаваться в подробности.

Поскольку игры с полной информацией всегда вполне определены в частном (см. сказанное выше), можно ожидать наличия более тесной связи между вполне определенными в частном играми и играми, в которых существуют перманентно оптимальные стратегии (для обоих игроков). Мы не будем дальше обсуждать эти вопросы, а отметим только некоторые существенные моменты.

(17:G:a) Можно показать, что если существуют перманентно оптимальные стратегии для обоих игроков, то игра вполне определена в частном.

(17:G:b) Можно показать, что обратное к (17:G:a) не имеет места.

(17:G:c) Некоторые утончения понятия полной определенности в частном могут указать на более тесные связи с существованием перманентно оптимальных стратегий.

17.11. Перемена ролей игроков. Симметрия

17.11.1. Рассмотрим значение симметрии или, в более общем случае, эффект, получаемый от перемены ролей игроков. Это будет естественным продолжением анализа п. 14.6.

Как там было отмечено, эта перемена ролей игроков ведет к замене функции Ж (хи т/2) на - Ж (т2, т4). Формула (17:2) из п. 17.4.1 и п. 17.6

показывают, что это в свою очередь влечет замену К (£, т]) на -К (т), £). В терминах п. 16.4.2 матрица (Ж (т4, т2) см. п. 14.1.3) заменяется на отрицательно транспонированную к ней.

Таким образом, продолжается полная аналогия с рассуждениями § 14; мы снова получаем те же формальные результаты, заменяя ть т2,

(ti, т2) соответственно на £, т), К (£, г\) (см. пп. 17.4 и 17.8, где это впервые было проделано).

В п. 14.6 мы увидели, что замена Ж (ть т/2) на - Ж (ть т2) влечет замену у4и v2 на-v2h-у4. Дословное повторение этих рассуждений показы-

-> - -> ->

вает, что в нашем случае замена К (£, т]) на -К (т), £) влечет за собой замену у[ и v2 на-у2и-v. Подведем итоги: перемена игроков местами влечет за собой замену vb v2, v, v2 на -v2, -v4, -v2, -v.

Результат п. 14.6, установленный для случая полной определенности (в частном), заключался в том, что равенство v = v4 = v2 превращалось в -v = -Vi = -v2.

Теперь мы знаем, что полная определенность в общем имеет место всегда, так что v = v[ = v2. Следовательно, это равенство переходит в -v =

= - v; = - v2.

Словесно содержание этого результата ясно. Поскольку нам удалось определить удовлетворительное понятие значения партии для Г (для игрока 1) v, то весьма естественно, что эта величина изменяет знак при перемене ролей игроков.