17.1 1.2. Мы можем также строго установить, когда игра Г является симметричной. Это будет в том случае, когда игроки 1 и 2 играют одну и ту же роль, т. е. когда игра Г совпадает с игрой, которая получается из нее в результате перемены ролей игроков 1 и 2. В соответствии с тем, что было сказано выше, это означает, что

т2) = - ЗГ(т2, т,)

или, что то же самое,

К(, л)=-К(л,1).

Это свойство матрицы Ж (ть т2) или билинейной формы К (£, т)) было впервые введено в п. 16.4.4 и было названо кососимметричностью.

Замечание 1. Для матрицы Ж (tj, т2) или для соответствующей билинейной формы К (£, г)) симметричность определяется следующим образом:

с#0ч, т2)=Г(т2, т4)

или, что равносильно,

К(, тТ) = К(л, I),

Следует заметить, что симметрия игры Г эквивалентна кососимметричности, а не симметричности матрицы выигрышей или билинейной формы.

Замечание 2. Кососимметричность означает, что отражение матрицы табл. 5 от ее главной диагонали (состоящей из элементов с индексами (1. 1), (2. 2) и т. д.) изменяет ее знак (симметричность в этом смысле означала бы, что такое отражение переводит матрицу в себя). В рассматриваемом случае матричная схема табл. 5 должна быть квадратной, т. е. р4 = р2- Это, однако, выполняется автоматически, так как мы предположили, что роли игроков 1 и 2 в игре Г одинаковы.

В этом случае v4 и v2 должны совпадать с-v2 и-v4, следовательно, v4 = - v2, а так как v4 v2, должно быть v4 0. Однако v должно совпадать с - v, поэтому мы можем даже утверждать, что

v-O1).

Мы видим, таким образом, что значение каждой партии симметричной игры равно нулю.

Следует заметить, что значение v каждой партии игры Г может быть нулем и без того, чтобы игра Г была симметричной. Игра, для которой v = 0, называется безобидной.

Это обстоятельство иллюстрируют примеры пп. 17.7.2, 14.7.3. Игра камень, мешок и ножницы симметрична (и, следовательно, безобидна); игра в орлянку безобидна, не будучи симметричной.

Зам ечание 3. Роли игроков в игре в орлянку различны. Игрок 1 стремится угадать, а 2 стремится избежать угадывания. Чувствуется, конечно, что такое различие несущественно и что безобидность игры вызвана незначительностью этой асимметрии. Эти рассуждения можно уточнить; однако, в данном случае мы этого делать не намерены. Более удачный пример безобидной игры без симметрии можно было бы дать в виде резко несимметричной игры, в которой успех и неуспех каждого из игроков подобраны столь разумно, что в результате получается безобидная игра, т. е. значение ее v = 0.

Не во всех отношениях удачным примером такой игры может служить игра в кости. В этой игре игрок 1, называемый игроком , бросает две кости, на каждой

г) Это, конечно, следует из того, что v[ = v2. Без этого равенства, т.е. без общей теоремы (16:F) из п. 16.4.3, мы могли бы относительно и v2 утверждать только то, что мы получили ранее для vf и v2, а именно что v{ = -v2, а так как v2, имеем у[ 0.

из которых обозначены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Таким образом, результатом каждого бросания может оказаться любое из чисел 2, . . ., 12. Эти числа имеют вероятности, приведенные в табл. 6.

Таблица 6

Если игрок выбрасывает 7 или 11, то он выигрывает. Если он выбрасывает 2, 3 или 12, то он проигрывает. Если он выбрасывает что-либо другое (4, 5, 6 или 8, 9, 10), то игра повторяется до тех пор, пока он не выбрасывает того же числа, что на первом шаге (в этом случае он выигрывает), или пока не выбрасывает 7 (в этом случае он проигрывает). Игрок 2 ( банк ) на игру не влияет.

Несмотря на существенные различия правил, определяющих поведение игроков 1 и 2 ( игрока и банка ), их шансы примерно равны. Простые вычисления, приводить которые мы здесь не будем, показывают, что игрок имеет 244 шанса из 495 против 251 шанса, которые имеет банк . Поэтому значение партии для единичной ставки равно

244-251 7

495 =-495=-1>414 /о-

Таким образом, получается достаточно хорошее приближение к безобидности.

В симметричной игре множества А и Б из (17:В:а), (17:В:Ь) в п. 17.8, очевидно, совпадают; так как А = В9 то в (17:D) из п. 17.9 мы можем положить I = г\. Переформулируем результат для этого случая.

-у -

(17:Н) В симметричной игре £ £ А в том и только в том случае, когда

для всех т2 --= 1, . . ., 32, Для которых 2 т2) £ti не дости-

Ti=l

гает своего минимума (по т2), имеет место £Т2 = 0. Используя терминологию заключительного замечания из п. 17.9,

мы можем сказать, что g оптимальна против самой себя.

17.11.3. Результаты пп. 17.11.1 и 17.11.2 о том, что для любой симметричной игры v =0, можно объединить с (17:C:d) в п.17.8. Тогда мы получим следующее.

(17:1) В симметричной игре каждый из игроков, играя надлежащим

образом, может избежать потерь х) независимо от действий противника.

Математически это можно сформулировать следующим образом. Если матрица &С (т1? т2) кососимметрична, то существует такой вектор

->

I 6 Spi, что

S (ть Ъ)1тг=%0 Для та = 1, ...,р2*

Это неравенство можно также получить и непосредственно, потому что оно совпадает с последним результатом (16: G) п. 16.4.4. Для того чтобы это показать, достаточно ввести там новые обозначения: заменить имеющие-

-> -У

ся там г, /, а (г, ;) на наши т1т т2, Ж (ть т2) и w на £.

х) То есть обеспечить себе выигрыш 0.

Этим фактом можно даже обосновать всю нашу теорию, т. е. вывести из него теорему п. 17.6. Другими словами, полная определенность в общем для произвольной игры Г может быть выведена из таковой для симметричных игр. Доказательство этого представляет самостоятельный интерес, однако мы не будем его здесь рассматривать, поскольку рассуждения в п. 17.6 являются более прямыми.

Возможность защитить себя от потерь (в симметричной игре) имеется

-> ->

только благодаря применению смешанных стратегий £, ц (см. конец п. 17.7). В случае, когда игроки ограничиваются выбором чистых стратегий %t и т2 существует опасность раскрытия стратегии противником и связанных с этим потерь. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно вспомнить игру камень, мешок и ножницы (см. пп. 14.7 и 17.1.1). Мы еще раз встретимся с этим в п. 19.2.1 в связи с покером и необходимостью блефа .