Глава IV

ИГРЫ ДВУХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ.

ПРИМЕРЫ

§ 18. НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИГРЫ

18.1. Простейшие игры

18.1.1. Наше общее обсуждение игры двух лиц с нулевой суммой закончено. Теперь мы перейдем к рассмотрению характерных примеров таких игр. Эти примеры лучше, чем какие бы то ни было общие абстрактные рассуждения, выявят истинную значимость различных компонент этой теории. Они покажут, в частности, как с точки зрения здравого смысла можно интерпретировать некоторые формальные шаги, предписываемые нашей теорией. Окажется, что можно строго формализовать основные аспекты таких практических и психологических явлений, которые будут упомянуты в пп. 19.2, 19.10 и 19.16 *).

18.1.2. Числа р4, р2 - т.е. количество возможностей, имеющихся у двух игроков в игре в нормальной форме,- дают естественную первую

оценку степени сложности игры Г. Тот случай, Таблица 7 когда одно из этих чисел (или оба) равно 1, можно не рассматривать. Это условие означало бы, что у рассматриваемого игрока вообще нет выбора, благодаря которому он мог бы влиять на ход игры 2). Поэтому простейшими играми того класса, который представляет для нас интерес, являются игры, для которых

(18:1) Pi = P2 = 2.

В п. 14.7 мы видели, что игра в орлянку является игрой такого типа; ее матричная схема приведена в табл. 2 в 13.4.1. Другой пример такой игры дан там же в табл. 4.

Рассмотрим теперь игру наиболее общего вида, удовлетворяющую условию (18:1), т. е. игру, представленную в табл. 7. Это приложимо, например, к игре в орлянку , если различным способам совпадения сторон монет не обязательно соответствует один и тот же выигрыш (или вообще выигрыш), а также различным способам несовпадения - один и тот же проигрыш (или вообще проигрыш) 3). Мы намерены применительно к этому случаю обсудить результаты из п. 17.8, а именно значение игры Г и множества оптимальных стратегий А и В. Эти понятия были введены при доказательстве основных результатов в п. 17.8 (доказательстве, основ-ванном на теореме из п. 17.6); но теперь мы хотим вычислить их снова

2) Мы это подчеркиваем из-за широко распространенного мнения, что такие вещи по самому существу непригодны для строгого (математического) изучения.

2) Таким образом, игра была бы, по существу, игрой одного лица, но, конечно, уже не игрой с нулевой суммой.

3) Сравнение табл. 2 и табл. 7 показывает, что в игре в орлянку Ж (1, 1) = = $С (2, 2) = 1 (выигрыш при совпадении); Ж (1, 2) = Ж (2, 1) = -1 (проигрыш в противном случае).

в явном виде для этого частного случая и тем самым еще дальше проникнуть в их назначение и возможности.

18.1.3. Для представленной в табл. 7 игры можно принять несколько тривиальных соглашений, которые существенно упрощают ее анализ.

Во-первых, совершенно безразлично, какой из двух выборов игрока 1 мы обозначим через т4 = 1, а какой через т4 = 2; мы можем их переставить, т. е. поменять местами две строки матрицы.

Во-вторых, также безразлично, какой из двух выборов игрока 2 мы обозначим через т2=1, а какой через т2 = 2; мы можем переставить и их, т. е. поменять местами два столбца матрицы.

Наконец, безразлично также, какого из двух игроков мы будем называть 1, а какого 2; мы можем переставить их, т. е. заменить Ж (%и т2) на - Ж (т1? т2) (см. пп. 14.6 и 17.11). Это равносильно тому, что меняются ролями строки и столбцы матрицы и, кроме того, изменяется знак каждого ее элемента. t

Итак, мы имеем здесь 2x2x2 = 8 возможных вариантов, каждый из которых описывает, по существу, одну и ту же игру.

18.2. Подробное количественное рассмотрение этих игр

18.2.1. Теперь мы переходим непосредственно к обсуждению. Оно будет состоять в рассмотрении нескольких альтернативных возможностей, случаев , которые будут далее перечислены.

Эти случаи отличаются друг от друга различными возможностями, соответствующими положению максимума или минимума по обоим аргументам функции S?(ti, т2); на первый взгляд такое разграничение могло бы показаться произвольным, но тот факт, что оно приводит к полному перечислению всех возможностей, оправдывает его.

Рассмотрим поэтому max Ж (ть т2) и min Ж (ть т2). Следует считать,

Tl, Т2 Tl, Т2

что каждое из этих значений достигается хотя бы в одной точке, причем можно допустить, что они достигаются и более чем в одной точке х); но для нас это не изменяет положения дел. Начинаем теперь с определения различных случаев.

18.2.2. Случай (А): клетки таблицы можно выбрать так, чтобы max и min лежали в разных строках и в разных столбцах.

Tl, Х9,

Изменяя нумерацию т4 =1,2 точно так же, как и т2 =1,2, мы можем первую из указанных клеток ( шах ) сделать клеткой (1, 1). Тогда

ti, т2

второй клеткой ( min ) должна быть клетка (2, 2). Следовательно, имеем

ti, т2

[>Ж{1, 2)>1 (18:2) {iljih2

Поэтому (1, 2) является седловой точкой2).

Таким образом, в этом случае игра вполне определена и

(18:3) v = v = S8e(l, 2).

х) В игре в орлянку (см. сноску 3 на стр. 192) шах равен 1 и достигается на (1, 1)

1, т2

и (2, 2), в то время как min равен -1 и достигается на (1, 2) и (2, 1). ti, т2

2) Вспомните п. 13.4.2. Заметим, что мы должны выбрать (1, 2), а не (2, 1). 13 Д?к. Но йман, О. Моргенштерн

18.2.3. Случай (В): описанный выше выбор невозможен. Возьмем две интересующие нас клетки ( max и min ); тогда они будут

Tl, То Tl, Т2

лежать либо в одной и той же строке, либо в одном и том же столбце. Если имеет место первый случай, то можно поменять ролями игроков 1 и 2; поэтому всегда можно будет считать, что эти две клетки лежат в одном и том же столбце

Переставляя т4 = 1, 2 (если это необходимо, одновременно с т2 = - 1, 2), мы опять можем сделать так, чтобы первой из указанных клеток ( max ) была бы (1, 1). Таким образом, номер интересующего нас столбца

Tl, т2

будет т2 = 1. Тогда второй из указанных клеток ( min ) должна быть (2,1)2).

Tl, т2

Следовательно, мы имеем

(18:4) ЦЖ!).

Фактически случаи Ж (1, 1) = Ж(1, 2) или Ж (2, 2) = Ж (2, 1) исключаются, поскольку иначе для max и min был бы возможен альтернатив-

тъ Т2 Ti, т2

ный выбор (1, 2), (2, 1) или (1, 1), (2, 2) и мы попадали бы в условия случая (А)3).

Таким образом, мы можем усилить (18:4), именно:

[>Ж(1, 2)Л (18:5) *&Ъ[>п\2,2)>}*<2Ч-

Теперь мы должны произвести дальнейшее разделение.

18.2.4. Случай (В4):

(18:6) <ЙГ(1, 2)Ж(2, 2).

Тогда неравенства (18:5) можно усилить:

(18:7) Ж (1, 1) > Ж (1, 2) Ж (2, 2) > Ж (2, 1).-

Поэтому (1, 2) снова оказывается седловой точкой.

Таким образом, и в этом случае игра тоже вполне определена, и опять

(18:8) у = у = й:(1, 2).

18.2.5. Случай (В2):

(18:9) Ж(1, 2)<Ж(2, 2).

г) Эта перестановка игроков изменяет знак каждого элемента матрицы (см. выше), поэтому она меняет местами шах и min. Но тем не менее они окажутся в одном

Tl, Т2 Tl, Т2

и том же столбце.

2) Точнее, это могла бы быть клетка (1, 1). Но тогда для Ж (хи т2) значения max

Tl, т2

и min совпадают, т. е. функция Ж (ti, т2) постоянна. Тогда мы можем использовать ti, т2

(2, 1) также для min.

Tl,T2

3) Как показывает пример игры в орлянку , случай Ж (1, 1) = Ж (2, 2) и Ж (1, 2) = Ж (2, 1) возможен. См. сноску 3 на стр. 192 и сноску 1 на стр. 195.