Тогда неравенства (18:5) можно усилить:

(18:10) 0Г(1, 1)(2, 2)>ЙГ(1, 2) г5Г(2, I)1).

Эта игра не является вполне определенной 2).

Однако нетрудно найти оптимальные стратегии (т. е. £ из А и г) из Б),

как удовлетворяющие характеристическому условию (17:D) из п. 17.9.

-> ~>

Мы в состоянии сделать даже большее: можно выбрать т) и так. чтобы

соответственно сумма 2 (ть т2) 2 сохраняла свое значение для всех

Т2=1

ti, а сумма 2 (Ti т2) - Для всех т2. Для этого необходимо, чтобы

T1=j

Г l)T]i + (l, 2)ть = аГ(2, 1) 4i + (2, 2)%,

(1Ь:11) 1 SST(lf ЩН-£Г(2, 1) Ea = SSr (1, 2)61 + ST(2> 2) ga-

(18:12) (

Это означает, что

£i:g2=(Sr(2, 2) -ST (2f 1)):(ЙГ(1, 2)),

= (Й8Г (2, 2) -$Г(1, 2)):(5Г(1, 1) -5Г(2, 1)).

Эти отношения должны удовлетворять еще и требованиям

Этим требованием удовлетворить можно, поскольку приведенные отношения (т. е. правые части в (18:12)) положительны в силу (18:10). Мы имеем

Можно показать даже, что эти векторы £, т] единственны, т. е. множества А, В не имеют других элементов.

Доказательство. Если бы вектор £ или г] отличался от найденного нами, то в силу характеристического условия (17:D) из п. 17.9

вектор г] или соответственно вектор должен был бы иметь одну равную

нулю компоненту. Но тогда г) или I должны были бы отличаться от

*) Этот случай фактически соответствует игре в орлянку . См. сноски 3 на стр. 192 и 3 на стр. 194.

2) Ясно, что vA = max min Ж (т4, т2) = Ж (1, 2), v2 = min max Ж (ть т2) =

Ti Т2 Т2 Ti

= Ж (2, 2), и поэтому Vi < v2.

приведенных выше, поскольку у них обе компоненты положительны. Таким

-> ->

образом, отличаться от приведенных значений должны одновременно и £ и Г), но тогда оба они должны иметь по одной равной нулю компоненте. Для

обоих другая компонента будет тогда равна 1, т. е. оба являются коорди-

> ->

натными векторами г). Следовательно, седловая точка функции К (£, т]), которую они представляют, совпадала бы с седловой точкой функции Ж (%и т2); ср. (17:Е) из п. 17.9. Таким образом, игра была бы вполне определенной, но мы знаем, что в данном случае это не так. Это завершает доказательство.

Теперь видно, что все четыре выражения в (18:11) равны одному и тому же значению, именно:

Ж{\, 1)оЖ(2, 2) -Ж (1, 2)(2, 1)

Ж{1, 1)4-(2, 2)-оЖ(1, 2) - ойГ (2, 1)

а в силу (17:5:а), (17:5:Ь) из п. 17.5.2 этим значением является v\ Таким образом, мы имеем

(18-13) v = 1)с2 2)-сйГ(1, 2)аЖ(2, 1)

Ж(1, \)+Ж{2, 2) -суГ(1, 2) -аЖ(2, 1)

18.3. Качественное описание

18.3.1. Полученные в п. 18.2 формальные результаты можно резюмировать различными способами, которые сделают их более ясными. Начнем прежде всего со следующего критерия.

Клетки (1, 1), (2, 2) образуют одну диагональ матрицы в табл. 7. Клетки (1, 2), (2, 1) образуют другую диагональ.

Будем говорить, что два множества чисел Е и F отделены, если либо каждый элемент множества Е больше любого элемента из F, либо каждый элемент из Е меньше любого элемента из F.

Рассмотрим теперь случаи (А), (В4), (В2) из п. 18.2. В первых двух случаях игра вполне определена, а элементы, расположенные на одной диагонали матрицы, не отделяются от элементов, расположенных на другой диагонали 2). В последнем случае игра не является вполне определенной и элементы, образующие одну диагональ матрицы, отделяются от элементов, образующих другую диагональ 3).

Таким образом, отделимость диагоналей необходима и достаточна для того, чтобы игра не была вполне определенной. Этот критерий основан на результатах, полученных в п. 18.2 благодаря соглашению в п. 18.1.3 Но описанные в п. 18.1.3 три соглашения не затрагивали ни полной определенности игры, ни отделимости диагоналей 4). Следовательно, наш первый критерий всегда справедлив. Переформулируем его:

(18:А) Игра не является вполне определенной в том и только том

случае, когда элементы одной диагонали матрицы отделяются от элементов другой диагонали.

г) (1, 0} или {0, 1}.

2) Случай (А): Ж (1, 1) Ш Ж (1, 2) > Ж (2, 2) в силу (18:2). Случай (В*): Ж (1, 1) > Ж (1, 2) Ш Ж (2, 2) в силу (18:7).

3) Случай (В2): Ж (1, 1) Ш Ж (2, 2) > Ж (1, 2) > Ж (2, 1) в силу (18:10).

4) Первое очевидно, поскольку эти соглашения касаются только обозначений, что для игры несущественно. Второе легко проверить.

18.3.2. В случае (В2), т. е. когда игра не вполне определена, найденные нами (единственный) вектор из А и (единственный) вектор г) из В имеют обе ненулевые координаты. Это, так же как и утверждение о единственности, не зависит от соглашений, описанных в п. 18.1.3 *). Таким образом, мы имеем:

(18:В) Если игра не является вполне определенной, то существуют

~> -

только одна оптимальная стратегия £ (т. е. из А) и только одна

-> -

оптимальная стратегия г] (т. е. из В) и обе компоненты этих стратегий положительны.

Иными словами, оба игрока действительно должны использовать смешанные стратегии.

В силу (18:В) ни одна из компонент векторов £ и у] ( из А, г] из В) не равна нулю. Поэтому критерий из п. 17.9 показывает, что утверждение, предшествующее выводу (18:11), - (который являлся тогда достаточным, но не был необходимым) теперь является необходимым (и достаточным). Поэтому условия (18:11) должны быть выполнены, и, следовательно, все полученные из них заключения справедливы. Это относится, в частности, к значениям £4, £2, Ль Л2> полученным после (18:11), и к значению v\ даваемому формулой (18:13).

Таким образом, всякий раз, когда игра не является вполне определенной, применимы все эти формулы.

18.3.3. Сейчас мы сформулируем другой критерий. Будем говорить, что в матрице общего вида &С (т4, т2) (см. табл. 5 на стр. 126) при произвольных Pi и р2 строка (скажем, х[) или столбец (скажем, т2) доминирует соответственно другую строку (скажем, т) или другой столбец (скажем, т2), если это справедливо для всех без исключения соответствующих элементов. Иными словами, если (т, т2) &С {х\, т2) для всех т2 или соответственно если $С (Ti, т2) SK (т17 т2) для всех хх.

Это определение имеет простой смысл. Оно означает, что для игрока 1 выбор х[ не хуже выбора х х или что для игрока 2 выбор т2 не лучше выбора т2, и в обоих случаях это справедливо независимо от действий противника 2).

Вернемся теперь к нашей задаче (рА - р2 = 2). Вновь рассмотрим случаи (A), (Bi), (В2) из п. 18.2. В первых двух случаях имеется доминирующая строка или столбец 3). В последнем случае нет ни того ни другого 4).

Таким образом, тот факт, что какая-то строка (столбец) доминирует другую, является необходимым и достаточным условием полной определенности игры Г. Подобно нашему первому критерию, этот критерий основан на использовании в п. 18.2 сформулированных в п. 18.1.3 соглашений. И точно так же, как и в п. 18.2, эти соглашения не влияют ни на полную определенность, ни на доминирование строк или столбцов. Следовательно, и этот критерий также всегда справедлив. Переформулируем его.

х) Это также легко проверить.

2) Это, конечно, исключительный случай. Вообще, сравнительное достоинство возможных выборов будет зависеть от действий противника.

3) Случай (А): столбец 1 доминирует столбец 2 в силу (18:2). Случай (ВА): строка 1 доминирует строку 2 в силу (18:7).

4) Случай (В2): как нетрудно проверить, неравенства (18:10) исключают все четыре возможности.