(18:С) Игра Г вполне определена в том и только том случае, когда

некоторая строка (столбец) доминирует другую (другой).

18.3.4. В том, что условие (18:С) достаточно для полной определенности, нет ничего удивительного. Оно означает, что для одного из двух игроков одна из его чистых стратегий во всех случаях не хуже других (ср. выше). Таким образом, он знает, что делать ему, а его противник знает, что его ожидает. Это и соответствует полной определенности.

Проведенное рассуждение основано, конечно, на предположении о рациональном поведении другого игрока. Наше первоначальное обсуждение свободно от такого предположения. Замечания, сделанные в начале и в конце п. 15.8, применимы до некоторой степени и в этой более простой ситуации. Существенно здесь то, что на самом деле результат (18:С) является и необходимым условием. Иными словами, из того, что могло бы обеспечить полную определенность игры, нет ничего более тонкого, чем непосредственное доминирование строк или столбцов.

Следует помнить, что нами рассматривался самый простой случай: Pi = р2 = 2. В п. Г8.5 мы увидим, какие следует добавить условия в тех случаях, когда Pi и р2 увеличиваются.

18.4. Обсуждение некоторых конкретных (обобщения игры в орлянку )

18.4.1. Рассмотрим некоторые применения результатов из пп. 18.2 и 18.3.

(а) Игра в орлянку в ее обычной форме с матрицей 5Г (табл. 7) задается так, как это указано в табл. 2 (стр. 120). Нам известно, что значение этой игры

v = 0

и (единственные) оптимальные стратегии

(См. п. 17.1. Это получается сразу же из формул п. 18.2.)

18.4.2.(Ь) Игра в орлянку , где выбор решетки дает двойной выигрыш. Таким образом, матрица табл. 7 отличается от матрицы табл. 2 тем, что у нее элемент (1, 1) в два раза больше (см. табл. 8).

Диагонали здесь отделены (1 и 2 больше, чем - 1); следовательно, оптимальные стратегии единственны и они будут смешанными (см. (18:А), (18:В)). Используя соответствующие формулы из случая (В2) в п. 18.2.5, мы получаем значение

Таблица 8

V =5

и оптимальные стратегии

={4-4} 4 = {ipt}-

Заметим, что выигрыш при угадывании решетки увеличил значение игры для игрока 1, который пытается угадать. Кроме того, это обстоятельство заставляет его выбирать решетку менее часто, поскольку выигрыш делает этот выбор правдоподобным и, следовательно, опасным. Прямая угроза большой потери из-за выбора решетки влияет на игрока 2 анало-

гичным образом. Это рассуждение весьма правдоподобно, но недостаточно строго. Однако наши формулы, из которых этот результат был получен, достаточно строги.

18.4.3.(с) Игра в орлянку , в которой совпадение решеток дает двойной выигрыш, а несовпадение при выборе решетки игроком 1 влечет тройной штраф. Таким образом, матрица табл. 7 модифицируется так, как показано в табл. 9.

Диагонали отделены (1 и 2 больше, чем -1, -3); следовательно, оптимальные стратегии \ единственны и оказываются смешанными (ср. с полученными выше результатами). В этом случае использованные ранее формулы приводят к значению

Таблица 9

и к оптимальным стратегиям

={тт} 11=1 {т у}

примеров это-

Мы предоставляем читателю дать качествен ную интерпретацию этого результата в том же смысле, что и выше. Конструирование дальнейших го типа можно теперь осуществить без труда.

18.4.4.(d) В п. 18.1.2 мы видели, что рассмотренные нами различные варианты игры в орлянку являются простейшими примерами игр двух лиц с нулевой суммой. В силу этого обстоятельства они приобрели общую значимость, которая затем подтвердилась результатами в пп. 18.2 и 18.3: действительно, мы там обнаружили, что этот класс игр выявил уже на простейших формулах условия, при которых чередуются случаи полной и неполной определенности. В качестве дальнейшего дополнения в этом же духе мы укажем, что взаимосвязь этих игр с игрой в орлянку подчеркивает только один частный аспект. Другие игры, встречающиеся в совершенно ином оформлении, могут в действительности также принадлежать этому классу. Рассмотрим один пример такой игры.

Игра, которую мы сейчас рассмотрим, является эпизодом из приключений Шерлока Холмса 2).

Шерлок Холмс намерен отправиться из Лондона в Дувр и далее на континент, чтобы спастись от профессора Мориарти, который его преследует. Сев в поезд, он после отхода поезда заметил на платформе профессора Мориарти. Шерлок Холмс допускает - и предполагается, что в этом он совершенно прав,- что его противник, который увидел его, может взять специальный поезд и догнать его. Перед Шерлоком Холмсом альтернатива: или продолжать поездку в Дувр, или покинуть поезд в Кентербери,

*) Ко н а ы Дойль, Приключения Шерлока Холмса, Собр. соч., т. 2., изд-во Правда , М., 1966, стр. 231-233.

2) Интересующая нас ситуация должна быть снова оценена, конечно, как пример одной из многих возможных в практической жизни конфликтных ситуаций. Она изложена, например, О. Моргенштерном в Wirtschaftsprognosen , Vienna, 1928, стр. 98.

Автор, однако, не разделяет несколько пессимистическую точку зрения, высказанную там или в Vollkommene Voraussicht und wirtschaftliches Gleichgewicht , Zeitschrift fur Nationalokonomie, 6 (1934).

Поэтому наше решение отвечает также на сомнения, высказанные К. Менгером в статье Neuere Fortschritte in den exacten Wissenchiften. Einige neuere Fortschritte in der exacten Behandlung sozialwissenschaftlicher Problem , Vienna, 1936, стр. 117, 131.

единственной промежуточной станции. Его противник, который, как предполагается, достаточно умен, чтобы представить себе такие возможности, стоит перед тем же самым выбором. Оба противника должны выбрать место выхода из поезда, не зная о соответствующем решении, принимаемом каждым из них. Если в результате принятия решений они окажутся в конце концов на одной и той же платформе, то Шерлок Холмс может с достоверностью считать себя убитым Мориарти. Если Шерлок Холмс благополучно достигнет Дувра, то он может считать себя спасенным.

Каковы оптимальные стратегии, в частности, для Шерлока Холмса? Эта игра имеет, очевидно, определенное сходство с игрой в орлянку ; профессора Мориарти можно принять за того игрока, который стремится угадать. Назовем его игроком 1, а Шерлока Холмса - игроком 2. Обозначим выбор выхода в Дувре через 1, а выбор выхода на промежуточной станции через 2. (Это относится как к т4, так и к т2.)

Рассмотрим теперь матрицу &С в табл. 7. Клетки (1, 1) и (2, 2) соответствуют поимке профессором Мориарти Шерлока Холмса. Элементы матрицы, соответствующие этим выборам, должны быть, по вполне понятным

причинам, очень большими, например 100. Клетка (2, 1) означает, что Шерлок Холмс благополучно попадает в Дувр, в то время как Мориарти останавливается в Кентербери. Это - поражение Мориарти; поскольку оно касается обоих соперников, этой ситуации должно соответствовать в матрице большое по абсолютной величине отрицательное число, но меньшее, чем упомянутое выше положительное число. Пусть, например, это отрицательное число есть -50. Клетка (1, 2) означает, что Шерлок Холмс ускользает от Мориарти на промежуточной станции, *но не попадает на континент. Это лучше всего назвать ничьей и соответствующему элементу матрицы приписать значение 0.

Матрица &С изображена в табл. 10.

Как в рассмотренных ранее примерах (Ь) и (с), диагонали отделены (100 больше, чем 0 и чем - 50); следовательно, оптимальные стратегии снова единственны и являются смешанными. Использованные выше формулы дают значение (для Мориарти) игры

v = 40

и оптимальные стратегии (£ для Мориарти, ц для Шерлока Ходмса): ? ГЗ 21 - Г 2 31

Таким образом, Мориарти должен с вероятностью 60% ехать в Дуврг в то время как Шерлок Холмс должен с вероятностью 60% сойти на промежуточной станции; оставшиеся 40% соответствуют в каждом случае другой возможности.

Замечание. В рассказе Конан Дойль, естественно, не рассматривает смешанные стратегии и вместо этого описывает фактическое развитие событий. Поэтому Шерлок Холмс выходит на промежуточной* станции и победоносно провожает взглядом специальный поезд Мориарти, проследовавший в Дувр. Решение Конан Дойля является наилучшим при его ограничениях (только чистые стратегии), поскольку он предписал каждому сопернику то поведение, которое, как мы нашли, является наиболее