предположить, что игроку 1 можно не рассматривать выбор % v поскольку другие %[ при любых обстоятельствах будут не хуже. Математически эта ситуация выражается так:

{3i Ж К, т2) 2 Ж(ти т2)£Х1 Для всех т2,

Ет- = 0.

Для игрока 2 аналогичное положение дел возникает в том случае* когда столбец %\ (т. е. чистая стратегия игрока 2, соответствующая т 2) доминирует линейную комбинацию оставшихся столбцов т2 Ф %\ (т. е. смешанную стратегию г] с компонентой = 0). Математически эта ситуация выражается так:

(18:14:Ь)

Ж (ти т 2) Ж(%и т2)т]Т2 для всех т4,

Т2=1

Л 602, Лт; = 0-

Эти утверждения аналогичны приведенным выше.

Таким образом, игра, в которой имеют место (18:14:а) или (18:14:Ь)Г позволяет для одного из игроков быстро и естественно ограничить возможность выбора.

Замечание. Это, конечно, чисто эвристическая аргументация. Мы в ней и не нуждаемся, поскольку в нашем распоряжении имеется полное рассмотрение, проведенное в пп. 14.5 и 17.8. Однако может возникнуть иллюзия, что это рассуждение может заменить или по крайней мере упростить эти строгие доказательства. Пример, который мы собираемся привести в этом тексте, по-видимому, разбивает такие надежды.

Существует и другой путь, позволяющий получить эти результаты. Если имеет место (18:14:а) или (18:14:Ь), то комбинация этого с результатами из п. 17.8 может быть использована для получения информации о множествах оптимальных стратегий А и В. Здесь мы не собираемся этим заниматься.

18.5.5. Покажем теперь, что возможности применения утверждений (18:14:а) и (18:14:Ь) весьма ограничены. Мы построим вполне определенную игру, для которой не справедливо ни (18.14:а), ни (18:14:Ь).

Для этого вернемся к рассмотрению класса игр с матрицей, изображенной в табл. 11 (pt = = р2 = 3). Положим 0 < а < 1, Р = 0, у = -а (см. табл. 13). Читатель может сам определить, какая комбинация выбора безымянный соответствует выигрышу или штрафу в указанном выше смысле.

Обсудим эту игру. Элемент (3, 3) является, очевидно, седловой точкой; поэтому игра вполне определенная и

v = v = 0.

Таблица 13

Нетрудно показать теперь (привлекая метод, использованный в п. 18.5.3), что как множество А всех оптимальных стратегий так и множество В всех оптимальных стратегий г) содержат ровно по одному элементу: чистую стратегию б3 = {0, 0, 1}.

С другой стороны, у читателя не вызовет затруднения проверка того, что здесь не имеют места ни (18:14:а) ни (18:14:Ь), т. е. что в матрице на табл. 13 ни одна из строк не доминируется линейной комбинацией двух других и ни один столбец не доминирует линейную комбинацию двух других.

18.6. Случай и неполная информация

18.6.1. Рассмотренные в предыдущих пунктах примеры прояснили тот факт, что роль случая - более точно, вероятности - в игре не всегда очевидна, поскольку она не вытекает непосредственно из правил игры. Правила игр с матрицами табл. 7 и табл. 11 никак не предусматривают случай: все без исключения ходы делаются игроками *). Тем не менее мы обнаружили, что большинство из этих игр не является вполне определенным, т. е. оптимальные стратегии в них являются смешанными стратегиями, включающими явное использование вероятностей.

С другой стороны, анализ игр с полной информацией показал, что эти игры всегда вполне определены, т. е. что игроки в них имеют оптимальные стратегии, которые являются чистыми стратегиями, и совсем не включают вероятность (см. § 15).

Таким образом, с точки зрения поведения игроков, т. е. с точки зрения используемых ими стратегий, существенно, является ли игра вполне определенной или нет, но несущественно, содержит ли она какие-либо случайные ходы.

Результаты § 15, относящиеся к играм, в которых имеется полная информация, показывают, что существует тесная связь между полной определенностью и правилами, которые регулируют информацию игроков. Для того чтобы сделать это совершенно ясным и, в частности, показать, что наличие случайных ходов несущественно, мы установим сейчас следующее. В каждой игре двух лиц с нулевой суммой любой случайный ход можно так заменить комбинацией личных ходов, что стратегические возможности игры не изменятся. Это будет необходимо допустить для правил, включающих неполную информацию игроков, но это является именно тем, что мы хотим сейчас показать: неполная информация включает (среди другого) все возможные последствия явных случайных ходов 2).

18.6.2. Итак, рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой Г и в ней случайный ход оМ%3). Перенумеруем, как обычно, все альтернативы а у = 1, . . ., ах и примем, что их вероятности рк{\ . . ., рхак) равны

*) Приведение всех игр к нормальной форме показывает даже большее. Каждая игра эквивалентна игре без случайных ходов, поскольку нормальная форма имеет дело только с личными ходами.

2) Прямой путь устранения случайных ходов состоит, конечно, во введении (чистых) стратегий и выбора посредника, как это описано в п. 11.1. Действительно, в п. 11.2.3 на последнем шаге приведения игры к нормальной форме мы исключили оставшиеся случайные ходы путем явного введения ожидаемых значений.

Сейчас, однако, мы предлагаем исключить случайные ходы, не разрушая столь радикально структуру игры. Мы заменим каждый случайный ход личными ходами (именно двумя ходами, как это будет показано) таким образом, что их роли при определении стратегий игроков будут всегда дифференцированы и индивидуальны. По-видимому, это детальное рассмотрение сделает более ясной структуру исследуемых вопросов, чем упомянутая выше краткая процедура.

3) Для нас сейчас безразлично, зависят или нет характеристики ©#х от предыдущего развития партии.

1/ах г). Заменим теперь Л у на два личных хода о/Ну, Л у соответственно игроков 1 и 2. Пусть каждый из них имеет ак альтернатив; соответствующие выборы обозначим через сг% = 1, . . ах и 0i = 1, . . а у. Последовательность этих ходов безразлична, но мы потребуем, чтобы они производились без всякой информации относительно результатов каких бы то ни было ходов (в том числе и относительно другого хода Лу, Л у). Зададим функцию б (о, а ) с помощью матричной схемы (см. табл. 14; б (а, о ) - элемент матрицы 2)). Влияние Лу, Лу, т. е. влияние соответствующих личных выборов оу, оу, на исход игры точно такое же, как ж Лу с соответствующим (случайным) выбором о у = б (оу, ак). Обозначим эту новую игру через Г*. Мы утверждаем, что стратегические возможности игры совпадают со стратегическими возможностями игры Г.

Таблица 14

18.6.3. Действительно, пусть игрок 1 в игре Г* использует данную смешанную стратегию из игры Г с последующим уточнением относительна хода Лк 3), для того чтобы выбрать все ок = 1, . . ах с одними и теми же вероятностями 1/ах. Тогда эта игра Г* - с этой стратегией игрока 1 - будет, с точки зрения игрока 2, совпадать с игрой Г. Это объясняется

2) Это не приводит к потере общности. Для того чтобы убедиться в этом, предположим, что интересующие нас вероятности суть произвольные рациональные дроби, например rxjt, . . ra /t (числа ги . . ., га и t - целые). (Это действительно ограничение, но несущественное, поскольку любые вероятности можно с любой точностью аппроксимировать рациональными дробями.)

Теперь модифицируем случайный ходстак, что он будет иметь тч + r2 + . . . + ra - t альтернатив (вместо ах), обозначаемых через о у - 1, . . ., t (вместо ок =

= 1, . . ., ах), таким образом, каждое из первых гх значений Оу влияет на игру точно так же, как иах = 1, каждое из следующих г2 значений Gy - как ак = 2 и т. д. Поэтому все Оу = 1, . . ., t с равными вероятностями i/t оказывают точно такой же эффект, как и ок = 1, . . ., ак с исходными вероятностями rxlt, .

2) Арифметически

\ в-о + 1 + Оу дляа<а . Следовательно, 6 (о, а ) всегда будет одним из чисел 1, . . ., ак.

3) сМу - его личный ход, поэтому его стратегия в Г* должна иметь в виду этот ход. Это было не нужно в условиях игры Г, поскольку тшоМу был случайным ходом..