тем, что любой выбор игрока 2 при oJliK (т. е. любое о к = 1, . . ., ах) даст тот же самый результат, что и исходный случайный ход о/Их. Взглянув на табл. 14, мы увидим, что столбец о = ок этой матрицы содержит каждое из чисел о = б (о, о ) = 1, . . ., ах ровно один раз, т. е. что функция б (а, о ) принимает значения 1, . . ., а% (стратегии игрока 1) с равными вероятностями 1/а точно так же, как это сделал бы ход<г#х. Таким образом, с точки зрения игрока 1, игра Г* не хуже игры Г. Те же самые доводы, если при этом поменять ролями игроков 1 и 2, т. е. если поменять ролями строки и столбцы в матрице на табл. 14, показывают, что, с точки зрения игрока 2, игра Г* также не хуже игры Г.

Поскольку точки зрения двух игроков противоположны, это означает, что игры Г и Г* эквивалентны1).

18.7. Интерпретация этого результата

18.7.1. Последовательное применение ко всем случайным ходам игры Г операций, описанных в пп. 18.6.2, 18.6.3, позволит избавиться от них; тем самым заключительное утверждение из п. 18.6.1 доказано. Для того чтобы лучше понять сущность этого результата, приведем несколько практических примеров, иллюстрирующих это преобразование.

(A) Рассмотрим следующую совсем элементарную игру случая . Два игрока при помощи случайного устройства с распределением 50% на 50% решают, кто платит другому одну единицу. Применение схемы из пп. 18.6.2 и 18.6.3 преобразует эту игру, состоящую ровно из одного случайного хода, в игру с двумя личными ходами. Взглянув на матрицу табл. 14 при ак = 2, мы придем к выводу, что она совпадает с матрицей табл. 2, если значения б (а, а ), равные 1, 2, заменить на фактические выигрыши. Вспоминая пп. 14.7.2, 14.7.3, мы видим (ход рассуждений достаточно прозрачен), что наша игра является игрой в орлянку .

Таким образом, игра в орлянку является естественной схемой получения вероятностей 1/2, 1/2 в случае личных ходов и неполной информации. (Вспомним п. 17.1!)

(B) Модифицируем пример (А) так, чтобы допустить возможность ничьей . Два игрока с помощью случайного устройства, дающего исходы

с вероятностями 33 %, 33 у %, 33 %, решают, кто будет платить другому

одну единицу или же никто никому совсем ничего не заплатит. Снова применяем схему из пп. 18.6.2, 18.6.3. Теперь матрица табл. 14 с ах = 3 совпадает с матрицей табл. 3 после замены в ней значений 1, 2, 3, принимаемых функцией б (а, а ), на фактические выигрыши 0, 1, -1. Воспользовавшись пп. 14.7.2, 14.7.3, мы видим, что это есть игра камень, мешок и ножницы .

Таким образом, игра камень, мешок и ножницы является естественной схемой получения вероятностей 1/3, 1/3, 1/3 в случае личных ходов и неполной информации. (Вспомним п. 17.4!)

18.7.2. (С) Функцию б (о, о ) в табл. 14 можно заменить другой функцией, и даже области ок = 1, . . ., ах и ок = 1, . . ., ах можно заменить на другие области ок = 1, . . ., ак и ох - 1, . . ., ах, лишь бы было

г) Мы предоставляем читателю привести эти рассуждения в соответствие с точными формализованными рассуждениями в § 11 и пп. 17.2, 17.8. Это не представляет затруднений, но несколько длинно. Мы надеемся, что проведенные выше неформальные аргументы подчеркивают существенные особенности рассматриваемого явления более простым и ясным путем.

выполнено следующее условие. Каждый столбец матрицы табл. 14 содержит каждое число 1, . . ., ах одно и то же число раз *), и каждая строка содержит каждое из чисел 1, . . ., ах одно и то же число раз 2). Действительно, в рассуждениях в п. 18.6.2 использовались только эти два свойства функции б (ах, Ох) (и ак, cQ.

Нетрудно видеть, что предосторожность, заключающаяся в подсня-тии колоды карт перед сдачей, попадает в эту категорию. Когда одна из 52 карт должна быть выбрана случайным образом с вероятностью 1/52, это обычно обеспечивается тасованием колоды. В этом и заключается случайность хода, но если игрок, тасующий колоду, шулер, то он может передернуть , что и будет его личным ходом. Для защиты от этого другому игроку разрешается указать в перетасованной колоде место, с которого рассматриваемая колода должна быть подснята . Эта комбинация двух ходов - даже если они личные - эквивалентна случайному ходу, который имелся в виду первоначально. Отсутствие информации, конечно, является необходимым условием эффективности этой схемы.

Здесь ах = 52, ак = 52! равно числу возможных расположений карт в колоде, = 52 - количество способов подснятия . Мы предоставляем читателю возможность самостоятельно восстановить детали и выбрать в этой ситуации б (ох, ок) 3).

§ 19. ПОКЕР И БЛЕФ

19.1. Описание покера

19.1.1. Неоднократно подчеркивалось, что случай р4 = р2 = 2, рассмотренный в п. 18.3 и более детально в п. 18.4, охватывает лишь самые простые игры двух лиц с нулевой суммой. Затем в п. 18.5 мы привели несколько более сложных примеров, возникающих при рассмотрении общего случая игры двух лиц с нулевой суммой, но для лучшего понимания наших общих результатов целесообразно, по-видимому, обсудить детально еще одну частную игру более сложного типа. Это тем более желательно, что для игр с р± = р2 = 2 выборы т1? т2, называемые (чистыми) стратегиями, едва ли заслуживают это имя: естественнее было бы называть их ходами . Действительно, в этих чрезвычайно простых играх вряд ли могло бы проявиться какое-либо различие между позиционной и нормальной формами, и поэтому тождественность ходов и стратегий (характеризующих игру в нормальной форме), в этих играх не пропадает. Мы будем теперь рассматривать игру в позиционной форме, в которой игрок имеет несколько ходов, так что переход к нормальной форме и к стратегиям станет уже достаточно содержательной операцией.

19.1.2. Игра, которую мы собираемся рассмотреть, - это покер.

Замечание. Рассмотрение в общем виде вопросов, связанных с покером, и математическое обсуждение вариантов осуществлено Дж. фон Нейманом в 1926-28 гг., л о до сих пор не опубликовано. Этот круг вопросов освещен в последующих пунктах (см. общее упоминание в Zur Theorie der Gesellschaftsspiele , Math. Ann., 100 (1928)). Это относится, в частности, к симметричному варианту в пп. 19.4-19.10, к вариантам -1-

*) Именно осх/сСи раз; поэтому должно делиться на ах.

2) Именно ах/а раз; поэтому ах должно делиться на ак.

3) Мы предполагаем, что тасование используется для последующего выбора только одной карты. Если сдается более одной карты, то подснятие не будет абсолютно надежным средством. Шулер может подтасовать колоду таким образом, что одно подснятие не расстроит его планы и информация о такой колоде даст шулеру незаконное преимущество.

(А) и (В) из пп. 19.11-19.13 и ко всей интерпретации блефа, который преобладает во всех этих обсуждениях. Несимметричный вариант (С) из пп. 19.14-19.16 рассматривался в 1942 г. специально для этой книги. В работе Э. Бореля и Ж. Билля, упомянутой в замечании на стр. 177, также рассматривается покер (Vol. IV, Applications aux Jeux de Hasard , Chap. V: Le Jeu de Poker ). Эти работы очень поучительны, но основное внимание уделено в них оценке вероятностей применительно к покеру. Эта оценка произведена более или менее эвристическим путем без систематического использования каких бы то ни было основ общей теории игр.

Чисто стратегическая разновидность покера ( La Relance - повышение ) анализируется на стр. 91-97 упомянутой работы. Ее можно рассматривать также как упрощенный вариант покера, подобный двум вариантам, рассмотренным в пп. 19.4- 19.10 и пп. 19.14-19.16. В действительности он тесно связан с последним.

Читателю, который захочет сравнить эти два варианта, будут полезны следующие указания:

(I) Наши ставки а, Ъ соответствуют 1 + а, 1 из указанной работы. (II) Различие между нашим вариантом из пп. 19.4-19.10 и вариантом Бореля и Билля состоит в следующем. Если игрок 1 начинает с низкой ставки, то наш вариант приводит к сравниванию карт, в то время как в упомянутом варианте игрок безусловно теряет низкую ставку. Это значит, что мы трактуем начальную низкую ставку как уравнивание (см. обсуждение в начале п. 19.14 и, в частности, сноску 1 на стр. 233), в то время как в указанном варианте это трактуется как пасование. Мы считаем, что наша трактовка лучше описывает эту фазу реального покера й, в частности, это необходимо для правильного анализа и интерпретации блефа. По поводу технических деталей см. сноску 1 на стр. 240.

Настоящий покер является слишком сложной игрой и не поддается исчерпывающему анализу; поэтому нам придется ограничиться некоторыми упрощенными модификациями, при этом некоторые из упрощений действительно весьма существенны 1). Тем не менее основная идея покера и свойства его решений в нашей упрощенной форме, по-видимому, сохраняются. Поэтому окажется возможным при помощи результатов, полученных в уже разработанной теории, обосновать общие выводы и дать их интерпретацию.

Заметим, прежде всего, что в обычном покере участвует произвольное число игроков 2); поскольку, однако, мы сейчас рассматриваем игры двух лиц с нулевой суммой, количество игроков мы примем равным двум.

Игра в покер начинается с раздачи из колоды 3) каждому игроку по 5 карт. Возможные комбинации по пяти карт, а их всего 4) 2 598 960, называются раскладами . Эти расклады линейно упорядочиваются, т. е. указывается исчерпывающее правило, определяющее, какой расклад является самым старшим среди всех, какой - вторым, третьим, от самого старшего к самому младшему 5). Покер играется в различных вариантах, которые распадаются на два класса: короткая и длинная игры. В короткой игре расклад игрока, получаемый им с самого начала, остается неизменным в течение всей партии. В длинных играх у игрока имеется несколько способов изменить весь свой расклад или его часть; в некоторых вариантах игры игрок может проделывать это несколько

*) См., однако, п. 19.11 и конец п. 19.16.

2) Оптимальным (в смысле, который мы не будем пытаться интерпретировать) числом участников,покера является 4 или 5.

3) Обычно колода состоит из 52 карт, но при небольшом числе участников используется уменьшенная колода (обычно из 32 или из 28 карт).

4) Это справедливо для полной колоды. Читатель, знакомый с элементами комбинаторики, заметит, что это число равно числу сочетаний из 52 по 5:

б) Это описание содержит такие общеизвестные технические термины, как флепГ рояль , стрит , каре на королях , фул и т. п. Здесь мь! не собираемся обсуждать эту терминологию. 4