раз в течение одной партии. Поскольку мы намерены обсудить простейшую форму покера, мы ограничимся рассмотрением короткой игры.

В этом случае несущественно различие раскладов как таковых, т. е. как комбинаций карт. Обозначим через S число возможных раскладов (для случая полной колоды, как отмечалось, S = 2 598 960). С таким же успехом мы могли бы говорить, что каждый игрок вместо комбинации карт получает число 5=1, . . ., S. Эта идея состоит в том, что значению s = S ставится в соответствие самый старший расклад, значению s = S - - 1 - следующий за ним и т. д.; наконец, значению s = 1 ставится в соответствие самый младший расклад. Условие честной игры предполагает равновероятность всех возможных раскладов. Поэтому выбор числа s мы должны интерпретировать как случайный ход, причем вероятность каждого из возможных значений 5=1, . . ., S равна 1/S. Таким образом, игра начинается двумя случайными ходами х): извлечением числа s для каждого из игроков 1 и 2. Эти числа мы обозначим через s± и s2.

19.1.3. Следующая фаза покера в общем случае состоит в том, что игроки ставят . Смысл этого состоит в том, что после ставки одного из игроков, которая состоит из некоторой суммы денег, другой игрок имеет возможность пасовать, раскрыться или повысить. Если игрок пасует, то это означает, что он согласен заплатить без каких бы то ни было условий определенную сумму из своей предыдущей ставки (которая необходимо должна быть меньше, чем последняя ставка). В этом случае несущественно, какие расклады имеют игроки. Эти расклады даже не раскрываются. Раскрытие приводит к тому, что расклады сравниваются и игрок со старшим раскладом получает сумму в размере последней ставки. Повышение означает, что партнер заменяет последнюю ставку на большую и игроки меняются ролями, т. е. игрок, ранее объявивший ставку, сам выбирает между пасом, раскрытием и повышением 2).

19.2. Блеф

19.2.1. Существо игры состоит в том, что игрок с достаточно хорошим раскладом, поскольку у него достаточно оснований надеяться на выигрыш, склонен к назначению большой ставки и к многочисленным повышениям. Поэтому противник игрока, назначившего большую ставку или повысившего, может на основании увиденного предположить, что у его партнера хороший расклад. Это может побудить его к пасованию. Однако, поскольку в случае паса расклады не сравниваются, даже игрок с младшим раскладом может в этом случае выиграть у противника с более высоким раскладом, создав (обманчивое) впечатление старшего расклада при помощи высокой ставки или повышения, побуждая, таким образом, своего партнера пасовать.

Такой прием называется блефом . Все опытные игроки несомненно пользуются этим приемом. Можно оспаривать реальность той мотивировки блефа, которую мы привели. Однако он допускает и иную интерпретацию. Именно если известно, что данный игрок назначает высокую ставку только в том случае, когда у него хорошие карты, то в таких случаях его партнеру

*) Фактически в покере второй игрок получает свой расклад из колоды, из которой уже извлечен расклад первого игрока. Мы не будем учитывать этого, точно так же как мы не учитываем и ряд других несущественных усложнений покера.

2) Обычно эта схема усложняется необходимостью сначала сделать безусловные платежи, начальные ставки - в некоторых вариантах для первого повышающего игрока, в других же - для всех желающих принять участие в игре; кроме того, в некоторых вариантах требуются дополнительные платежи за право преимущественного выбора и т. д. Все это мы не рассматриваем.

естественно пасовать. Поэтому этот игрок не сможет добиться высоких ставок или многочисленных повышений даже в тех случаях, когда имеющийся у него высокий расклад обеспечивает ему при этом выигрыш. Следовательно, в его интересах создать неопределенность в мнении своего партнера относительно таких возможностей. Это значит, что он стремится заставить партнера поверить в то, что он иногда назначает высокую ставку и при слабых картах.

Подведем итоги. Можно указать два возможных основания для блефа . Во-первых, желание создать (обманчивое) впечатление высокого расклада при (фактическом) низком и, во-вторых, желание создать (обманчивое) впечатление низкого расклада при (фактическом) высоком. Оба эти случая являются примерами подмены фактической информации на противоположную (см. п. 6.4.3), т. е. примерами введения противника в заблуждение. Следует заметить, однако, что первый тип блефа оказывается наиболее эффективным в том случае, когда он проходит , т. е. когда противник спасует, поскольку именно это обеспечивает получение желаемого выигрыша; наоборот, второй тип блефа оказывается наиболее эффективным тогда, когда он не проходит , т. е. когда противник требует раскрыться, поскольку это внушает противнику искаженную информацию.

Замечание. Здесь нас можно было бы обвинить в забвении ранее сформулированных основных принципов. В проведенном рассуждении предполагается наличие ряда партий (так что возможно статистическое наблюдение за привычками противника); тем самым оно имеет явно выраженный динамический характер. С другой стороны, мы постоянно заявляли, что наши рассуждения должны быть применимы и к одной изолированной партии, и что они тем самым являются строго статическими.

Мы отсылаем читателя к п. 17.3, где это кажущееся противоречие тщательно исследуется. Приведенное там рассуждение полностью справедливо также и в данном случае и должно оправдать нашу процедуру. Здесь мы только добавим, что наша непоследовательность - использование многих партий и динамической терминологии - является чисто словесной. Формально мы могли бы сделать наши рассуждения более сжатыми и более близкими к способу обсуждения различных вещей в повседневной речи. Но в п. 17.3 было тщательно разобрано, каким образом все эти оспариваемые картины можно заменить на строго статическую задачу нахождения оптимальной стратегии.

19.2.2. Возможность такого косвенного и явно иррационального мотивирования ставок имеет еще и другое последствие. Такие ставки всегда являются рискованными, и поэтому может оказаться целесообразным сделать их йце более рискованными путем применения соответствующих контрмер. Это ограничит использование их партнером. Но такие контрмеры как таковые также являются косвенно мотивированными ходами.

Мы уделили так много внимания этим эвристическим рассуждениям потому, что в нашей точной теории все эти запутанные мотивировки могут быть разъяснены. В пп. 19.10, 19.15.3 и 19.16.2 будет показано, каким образом можно количественно оценить ситуации, возникающие в связи с блефом, и каким образом мотивы связываются с такими основными стратегическими особенностями игры, как обладание инициативой и т. д.

19.3. Описание покера (продолжение)

19.3.1. Вернемся теперь к техническим правилам покера. Для того чтобы избежать бесконечных повышений, обычно их число ограничивается х). Для того чтобы избежать нереально высоких ставок -с едва предвидимым иррациональным влиянием на противника,-существуют

1) Это ii есть правило остановки из п. 7.2.3.

также ограничения на максимальные размеры ставок и повышений. Обычно накладывают также ограничения, исключающие слишком мелкие повышения; мы будем последовательно указывать, что послужило поводом для введения этих ограничений (см. конец п. 19.13). Ограничения на размер ставок и повышений мы выразим в простейшей из возможных форм. Мы будем предполагать, что заранее даны такие два числа а и &, для которых

а>6>0,

и что для каждой ставки имеется только Две возможности: ставка может быть либо высокой , и в этом случае она равна а, либо низкой , и в этом

случае она равна &. Меняя отношение ~, которое, очевидно, является здесь единственным существенным соотношением, мы можем сделать игру азартной, если отношение у существенно больше единицы, или относительно спокойной, если отношение ~ лишь немного больше

единицы.

Ограниченность числа ставок и повышений будет использована сейчас для упрощения всей схемы. В реальном покере один из игроков начинает с начальной ставки; затем игроки чередуют свои ходы.

Преимущества или недостатки того обстоятельства, что инициатива находится у одного из игроков, который зато должен начинать первым, сами по себе представляют интересную задачу. В пп. 19.14, 19.15 мы обсудим одну (несимметричную) разновидность покера, в которой это обстоятельство учитывается. Сначала, однако, нам не хотелось бы слишком усложнять исследуемый вопрос. Иными словами, на некоторое время нам хотелось бы избежать рассмотрения всех отклонений от симметричности, для того чтобы выявить наиболее характерные особенности покера в их наиболее чистом и простом виде. Поэтому мы будем предполагать, что начальные ставки делают оба игрока одновременно и ни один не знает о выборе другого. Только после того, как оба игрока назначат начальные ставки, они узнают, чья ставка выше или ниже.

19.3.2. Дальнейшее упрощение состоит в том, что игроки могут либо пасовать, либо раскрыться, т. е. исключается повышение. В самом деле, повышение является лишь более сложным и интенсивным выражением тенденции, содержащейся уже в высокой начальной ставке. Поскольку мы хотим по возможности упростить исследование, мы будем избегать рассмотрения нескольких путей проявления одной и той же тенденции. (См., однако, (С) в пп. 19.11, 19.14 и 19.15.)

В соответствии со сказанным сформулируем следующие условия. Рассмотрим момент, когда оба игрока информированы о сделанных ставках. Если при этом обе ставки оказываются либо высокими, либо низкими, то расклады сравниваются и игрок с более сильным раскладом получает от партнера соответственно а или Ь. Если расклады игроков равны, то расплата не производится. Если же одна из ставок оказывается высокой, а другая низкой, то игрок с низкой ставкой может либо пасовать, либо раскрыться. Пасование означает, что он платит своему партнеру сумму в размере низкой ставки (без какого бы то ни было сравнения раскладов). Раскрытие означает, что он изменяет свою низкую ставку на высокую, и эта ситуация рассматривается как такая, в которой оба игрока с самого начала назначили высокие ставки.