19.4. Точная формулировка правил

19.4. Теперь мы можем подвести итоги предыдущего описания нашего упрощенного покера, точно сформулировав принятые правила.

Сначала каждый игрок в результате случайного хода получает свой расклад, являющийся числом s = 1, ...,£; каждое из этих чисел имеет одну и ту же вероятность 1/S. Расклады игроков 1 и 2 мы обозначим соответственно через si9 s2.

Затем каждый игрок выбирает при своем личном ходе либо а, либо Ъ (высокую или низкую ставку). Каждый игрок производит выбор (ставку), ознакомившись со своим раскладом и не зная ничего ни о раскладе, ни о выборе (ставке) своего противника.

Наконец, каждому игроку становится известным выбор другого, но не его расклад. (Каждому игроку по-прежнему известны свои расклад и выбор). Если оказывается, что одна ставка высокая, а другая низкая, то игрок с низкой ставкой может либо раскрыться, либо пасовать.

Это и есть партия. По окончании партии выплаты производятся следующим образом. Если ставки обоих игроков высокие или ставка одного высокая, а ставка другого низкая, но сопровождается раскрытием, то

при Si = s2 игрок 2 выплачивает игроку 1 соответственно сумму 0. < -а

Если ставки обоих игроков низкие , то при = s2 игрок 2 выплачивает

игроку 1 соответственно сумму 0. Если ставка одного игрока высокая,

а ставка другого низкая и сопровождается пасованием, причем с высшей

ставкой оказывается игрок , то игрок 2 выплачивает игроку 1 сумму

Замечание. Ради формальной корректности это построение следовало бы еще привести в соответствие с моделями из §§ 6 и 7 в гл. II. Таким образом, упомянутые выше первые случайные ходы (имеющие дело с раскладами) следовало бы назвать ходами 1 и 2, последующие два хода (ставки) - ходами 3 и 4 и последний личный ход (пасование или раскрытие) - ходом 5.

В случае хода 5 как игрок, личным ходомкоторого он является, так и количество возможностей зависят от предыдущего хода игры, как это описано в пп. 7.1.2 и 9.1.5. (Если ставки обоих игроков одновременно высокие или низкие, то количество возможностей равно 1 и не имеет значения, какому игроку мы припишем этот пустой личный ход. Если же ставка одного игрока высокая, а другого низкая, то личный ход делает назначивший низкую ставку.)

Последовательное использование упомянутых обозначений заставило бы писать aii °*2 Для Si, 52; сг3, сг4 для высокой или низкой ставки, сг5 для пасования или раскрытия.

Мы предоставляем читателю сгладить все эти различия. ,

19.5. Описание стратегий

19.5.1. Всякая (чистая) стратегия в этой игре состоит, очевидно, в следующем. * Для каждого расклада 5 = 1, . . ., S указывается, какая будет назначена ставка, высокая или низкая, и в последнем случае делается дополнительное заявление относительно последующего течения игры: если с этой низкой ставкой сочетается высокая ставка противника, то игрок может раскрыться или пасовать. Проще всего записать это с помощью числового индекса is = 1, 2, 3; is = 1 соответствует высокой ставке; is = 2 соответствует низкой ставке с последующим раскрытием (если таковое происходит); is = 3 соответствует низкой ставке с последующим

пасованием (если таковое происходит). Таким образом, стратегия заключается в задании для каждого $ = 1, . . ., S значения индекса is, т. е. в задании последовательности г4, . . is.

Сказанное относится к обоим игрокам 1 и 2. Поэтому описанную выше стратегию мы будем обозначать соответственно через

Si (Ч,----, is) или 22 (/i, . .., /s).

Таким образом, у каждого игрока имеется одно и то же число стратегий: столько, сколько существует последовательностей iu . . ., is, т. е. 3s. Используя старые обозначения из п. 11.2.2, имеем

Pi = Ps = P = 3S.

Если бы мы хотели придерживаться введенных выше прежних строгих обозначений, то нам следовало бы перенумеровать теперь эти последовательности iu . . ., is при помощи ti = 1, . . ., 3 и затем (чистые) стратегии игроков 1 и 2 обозначить соответственно через SJ2. Но мы предпочитаем применять наши новые обозначения.

Теперь мы должны записать выигрыш, получаемый игроком 1, если игроки используют стратегии 24 (ц, . . ., is) и 22(7i, . . 7s)- Этим выигрышем является элемент матрицы SK . . ., is\ji, 7s) 1)-

Таблица 17. Jjf (f, /)

Таблица 15. (i, /)

Таблица 16. J£0 (*, 7)

Если игроки фактически получили расклады $4 и s2, то выигрыш, получаемый игроком 1, можно записать (используя сформулированные выше правила) следующим образом. Этот выигрыш равен J£Sign(si-s2) js2)-> где sign (Si - s2) - знак 2) числа sx - s2, и три функции

#+(*,/), X0(i, J), ,/ = 1,2,3,

можно задать с помощью матриц3), приведенных в табл. 15 -17.

*) Индексом строки является вся последовательность £1? . . ., £g, а индексом столбца - вся последовательность /4, . . ., /д. В наших старых обозначениях мы имели бы стратегии EJ2 и элемент матрицы Ж (т4, т2).

2) Этот знак есть 0 соответственно для 54 = s2. Эта функция арифметически

показывает, какая ставка старше.

3) Читателю полезно сравнить эти матрицы с нашим словесным описанием правил и проверить их,соответствие.

Другим обстоятельством, на которое следует обратить внимание, является симметричность игры, соответствующая тождествам

%+ (*, /) = (/ i), %ъ (*, 7) s - Jif о (/, *)

Числа Si, s2 появляются в результате случайных ходов, как это описано выше. Поэтому1)

Ж (i ... ,i& I 7i, - 7s) - i 2 sign(si-s2) 7*82)-

81 S2=l

19.5.2. Перейдем теперь к смешанным стратегиям в смысле п.17.2. -у ->

Они являются векторами т), принадлежащими множеству iSp. Имея в виду используемые сейчас обозначения, мы должны задать компоненты этих векторов также по-новому. Мы должны писать 1ц.....is, 1\Н,-*з8 вместо

Напишем формулу (17:2) из п.17.4.1, оценивающую ожидаемый выигрыш игрока 1:

к(1 Л)= 2 - - * *s 17± - - - .7s) Eii..........is =

ii, ...,is, ii, .... js

~~£2~ 2 2 sign(si-s2) (?8ц *s2) in, i8.

h.....*Si ii..... is si, s2

Изменим здесь порядок суммирования, тогда

К(Е Г0=~2~~2 2 sign(si-s2) (*sn *s2) lii, igHil, ;s-

81, S2 H, is, ii, js

Если теперь положить

(19:1) рГ= S Ьх.....is,

ii, is, исключая iSl *si=*

(19:2) o?=. . S . r,ix.....is,

3i, Jg* исключая jS2

то наше равенство можно переписать в виде

(19:3) К(Гч)42 2 ЯШЫ-н) (i, ]) РМ

si, s2 i, i

Целесообразно пояснить смысл равенств (19:1) - (19:3).

Равенство (19:1) показывает, что pf1 есть вероятность того, что игрок 1, использующий смешанную стратегию £, выберет i, имея расклад sA; равенство (19:2) показывает, что of есть вероятность того, что игрок 2, использующий смешанную стратегию ц, выберет /, имея 2) расклад s2.

г) Читатель может проверить, что тождество

Ж . . ., is I /1, /s) = - Ж (/i, . . ., is I ii, is) является следствием соотношений в конце сноски 3 на стр. 214, т. е. матрица

Ж {ц, . . ., is I /V, . 7s)

является кососимметрической, что еще раз подчеркивает симметричность игры.

2) Из п. 19.4 нам известно, что i или/ = 1 соответствует высокой ставке, i = 2,3 соответствует низкой ставке с последующим раскрытием или пасованием.