Теперь интуитивно ясно, что ожидаемое значение К (I, ц) зависит только от этих вероятностей pf1, of и не зависит от отдельных вероятностей

Замечание. Это означает, что две различные смешанные (чистые) стратегии могут с точки зрения фактического эффекта быть одинаковыми.

Для иллюстрации этого рассмотрим простой пример. Пусть S - 2, т. е. имеются только высокий и низкий расклады. Рассмотрим i = 2, 3 как один случай, т. е. пусть имеется только высокая и низкая ставки. Тогда будут существовать четыре возможные (чистые) стратегии, которым мы дадим специальные имена.

Отважная : при каждом раскладе высокая ставка.

Осторожная : при каждом раскладе низкая ставка.

Нормальная : высокая ставка при высоком раскладе и низкая при низком.

Блеф : высокая ставка при низком раскладе и низкая при высоком.

Тогда (50-50)-смесь отважной и осторожной стратегий эквивалентна (50-50)-

смеси нормальной стратегии и блефа, поскольку в каждом из этих случаев игрок будет,

в соответствии с исходом случайного испытания, назначать 50-50 высокую или низкую

ставку при любом раскладе.

Тем не менее в принятых нами обозначениях эти смешанные стратегии оказыва-

->

ются различными, т. е. они оказываются различными векторами £.

Это означает, конечно, что наши обозначения, будучи полностью подходящими в общем случае, оказываются для многих конкретных игр избыточными. Это частое явление при математических рассмотрениях, преследующих общие цели. Пока мы разрабатывали общую теорию, у нас не было причин принимать во внимание эту избыточность. Но сейчас, при рассмотрении конкретной игры, мы от нее избавимся.

Легко видеть, как непосредственно интерпретируется формула (19:3). Дляэтого достаточно вспомнить смысл функции Xsign (si-s2) (& 1) и интерпретацию величин pf1, of.

19.5.3. Понятно, что как по своему смыслу, так и в силу формальных определений (19:1), (19:2) числа pf1, of удовлетворяют условиям

(19:4) все р?0, Spfl,

все ofO, 5Х2 = 1-

С другой стороны, любые pf1, of, удовлетворяющие этим условиям*

можно получить из соответствующих £, г] по формулам (19:1), (19:2). Это понятно как математически х), так и интуитивно. Любая система таких чисел pf1, of является набором вероятностей, определяющих возможный способ поведения. Поэтому они должны соответствовать некоторой смешанной стратегии.

Соотношения (19:4) и (19:5) дают возможность составлять трехмерные векторы

Тогда условия (19:4), (19:5) утверждают, что все pSl, принадлежат S3.

Это показывает, каких больших упрощений мы добились благодаря

-у ->-

введению этих векторов. Именно вектор (или т]) принадлежал S$,

*) Положим, например, £ib f ig = р1. . . pfg, т];ь . . is == ah а% и проверим, что (17:1:а) и (17:1:Ь) из п. 17.2.1 являются следствием условий (19:4) (19:5).

(19:5)

т. е. зависел от р - 1 = 3s - 1 числовых параметров; psi (или о82) составляют множество, состоящее из S векторов в 53, т. е. каждый из них зависит от двух числовых констант. Число 3 - 1 много больше числа 2S даже при умеренных *) S.

19.6. Формулировка задачи

19.6. Поскольку мы имеем дело с симметричной игрой, мы можем

использовать характеристику оптимальных (смешанных) стратегий,

-> -

т. е. характеристику £ £ А, указанную в (17:Н) из п. 17.11.2. Она состоит

в следующем: стратегия £ должна быть оптимальной против самой себя, т. е. предполагается, что min К (g, ц) должен достигаться при ц =

~> ->

Далее, в п. 19.5 мы видели, что функция К (g, rj) фактически зависит -> -> ->- >->->

OTpS1, aS2. Поэтому можно переписатьее в виде К (р1, . . ., psj а1, . . . , os).-Тогда формула (19:3) из п. 19.5.2 утверждает (мы несколько изменили порядок суммирования), что

(19:6) К (р\ ..., ps а\ ..., 0s) ==-L 2 2 2Wn(Sl-82) (i, j) p!xaf,

si, г S2, j

и p1, ..., ps для оптимальной стратегии характеризуется тем, что

-> -* -> -> min К (р1, ..., ps a1, ..., os)

ai, a s

достигается при a1 = p1, . . ., as = ps. Можно найти и явные условия для этого, используя, по существу, тот же метод, который был применен

к аналогичной задаче в п. 17.9.1; мы сжато изложим его.

-> ->

Минимум по (а1, . . ., as) функции (19:6) равен минимуму, взятому

-> ->

отдельно по каждой из переменных а1, . . ., as. Рассмотрим поэтому

->

некоторую переменную oS2. Единственное ограничение, которому она удовлетворяет, состоит в принадлежности ее к £3, т. е.

все afO, 2о52=1. j=i

Функция (19:6) линейна по этим трем компонентам а®2, а2, в**. Следовательно, минимум по aS2 будет находиться там, где обратятся в нуль все те компоненты af, коэффициенты которых (по /, см. ниже) не достигают наименьшего возможного значения.

Обозначая через -- yf коэффициент при of, равный

~С2 2 <sign(s1-s2) {U /) рЛ

мы из (19:6) получаем

8i, г

(19:7) К (р1, ..., ps о1.....с*) = -±- 2 Yfor;

S2. J

*) В действительности £ равно приблизительно 2,5-10е (см. сноску 4 на стр. 209); поэтому оба числа 3s - 1 и 2S большие, но первое из них несравненно больше.

Тогда условием минимума (по о82) будет:

(19:8) Для каждой пары s2, j, для которой у)2 не достигает минимума

(по / *)), должно быть of = 0. Следовательно, характеристика оптимальной стратегии - минимиза-ция при о1 = р1, . . gs = ps - состоит в следующем:

-У -У -у -

(19:А) р1, . . ., ps описывают оптимальную стратегию, т. е. £

в том и только том случае, если для каждой пары s2, 1, Для которой yf не достигает минимума (по / х)), имеем of = 0. На основе матричных схем табл. 15-17 выпишем, наконец, явные

выражения для yf:

S2 - 1

<19:9:а) Ysi2 = 4 { 2 (~flP?~а№~Ь№)~Ъ№ +

i=i

+ 2 faPF + ep!1-6??)}.

Sl=s2 + 1

S2-1

<19:9:b) yf = -i- { S (~ P?1-&PI1 - &P11) +

Si=l

+ S (ЙР!1 + &Р1+6Р1)} Si=S2+l 82-1

< 19:9:c) yf = 4 { 2 (&P?X~ 6P?- bP?) + &P?2 +

si=l S

+ 2 (&PSl1 + &Pi1 + &PS31)}.

si=s2+l

19.7. Переход от дискретной задачи к непрерывной

19.7.1. Критерий (19:А) из п. 19.6 вместе с формулами (19:7), (19:9:а), (19:9:Ь) и (19:9:с) можно использовать для нахождения всех оптимальных стратегий 2). Эти рассуждения носят несколько утомительный комбинаторный характер и содержат анализ ряда возможностей. Получающиеся при этом результаты качественно сходны с результатами, получаемыми далее при несколько измененных предположениях. Различие между ними касается лишь некоторых деликатных вопросов, которые можно назвать тонкой структурой стратегии. Более подробно мы остановимся на этом в п. 19.12.

Нас сейчас интересуют главным образом основные характеристики решения, а не эти вопросы тонкой структуры . Сначала обратим внимание на дискретную структуру последовательности возможных раскладов.

х) Имеется в виду минимум по /, а не по s2, /!

2) Это нахождение было уже проделано одним из нас и будет опубликовано в другом месте.