Если мы попытаемся изобразить старшинство всех возможных раскладов на шкале от 0% до 100% или лучше в виде дробей от 0 до 1, то самый младший из возможных раскладов, 1, будет соответствовать нулю, а самый старший из них будет соответствовать единице. Поэтому расклад s

(= 1, . . ., S) следует заменить на величину z - ~ * , принадлежащую

этой шкале. Итак, мы получаем табл. 18.

Таблица 18

Таким образом, хотя значения z заполняют интервал <19:10) Ozl

весьма плотно х), но все-таки они составляют дискретную последовательность. Это и есть упомянутая выше дискретная структура. Перейдем теперь от этого случая к непрерывному.

Будем предполагать, что случайный ход, выбирающий расклад s (т. е. число z), может воспроизвести любое z из интервала (19:10). Предположим, что вероятность любой части интервала (19:10) равна длине этой части, т. е. что величина z распределена 2) на интервале (19:10) равномерно. Обозначим расклады игроков 1 и 2 соответственно через z4 и z2.

19.7.2. Это изменение влечет за собой замену векторов psi, о62

-> ->

($i> 52 = 1, . . ., S) на векторы р21, а22 (0 z4, z2 1); при этом, конечно, они по-прежнему являются вероятностными векторами (той же природы, что и раньше, т. е. принадлежат 53). Поэтому компоненты (вероятности)

pi1, of (sb 52= 1, ..., S; г, 7 = 1, 2, 3) переходят в компоненты pf1, о)2 (OZi, z2rgl; i, /=1,2, 3). Аналогично величины yf (в формулах <19:9:а), (19:9:Ь), (19:9:с) из п. 19.6) переходят в yf.

Перепишем теперь выражения для К и у* в формулах (19:7), (19:9:а), (19:9:Ь), (19:9:с) из п. 19.6. Ясно, что все суммы

Si= 1 S2= 1

надо заменить интегралами

j .. . dzx, j ... dz2,

г) Напомним (ср. сноску 4 на стр. 219), что S есть примерно 2,5 миллиона. 2) Это так называемая геометрическая вероятность.

а суммы

- интегралами

82-1

Si=l S1=S2+1

j ... dzj, j ... dzj,

0 z2

в то время как отдельные слагаемые, стоящие в скобках с коэффициентом IIS, можно опустить \\2). Понятно, что формулы для К и у* (т. е., у)) превращаются в

(19:7*) K2j7faf2,

з о

z2 1

(19:9:а*) у? = j (- apfi - api - &pi).dz! + j (ар? + ар? - bp?) dzu

0 22

22 1

(19:9:Ь*) Т? = j (- ар? - bp? - bp?) dzt + j (ар? + bp? + bp?) dzu

0 22

Z2 1

(19:9:c*) yf = j (bp? - bp? - bp?) dz, + j (bp? + bp? + bp?) dz

0 22

a характеристика (19:A) из п. 19.6 переходит в следующую:

->

(19:В) Векторы pz (0 z 1) (все они принадлежат 3) описывают оптимальную стратегию в том и только том случае, когдасправедливо утверждение:

Для каждой пары z, /, для которой у) не достигает минимума (по 7 3)), должно быть р) - 0.

Замечание. Формулы (19:7*), (19:9:а*), (19:9:Ь*), (19:9:с*) и этот критерий можно было бы получить также и непосредственно из рассмотрения непрерыв-

ного случая с р г, а22 вместо £, т], с которых мы начинали. Мы предпочли более длинную и явную процедуру, вытекающую из пп. 19.4-19.7, чтобы сделать строгость и полноту нашего подхода очевидной. Хорошим упражнением для читателя будет осуществить более короткое и непосредственное рассмотрение этого случая.

Соблазнительно построить теорию игр, в которой систематически и непосредственно встречаются такие непрерывные параметры, т. е. с общностью, достаточной для приложимости этой теории к случаям, подобным только что рассмотренному, и без использования процессов предельного перехода от дискретных игр.

Интересный шаг в этом направлении сделан Биллем в работе, указанной в замечании на стр. 177 (см. стр.110-113 упомянутой работы). Однако сделанные там предположения о непрерывности являются, по-видимому, слишком жесткими для многих приложений и, в частности, для рассматриваемого здесь.

х) Конкретно мы имеем в виду средние члены - &pf2 и bp{2 в (19:9:а) и (19:9:с).

2) Эти члены соответствуют случаю st = s2> или, в новых обозначениях, zt = z2. Но, поскольку zi9 z2 - непрерывные случайные величины, вероятность их случайно го-совпадения равна 0.

При математическом описании этого процесса можно сказать, что мы теперь осуществляем предельный переход при S оо.

3) Мы подразумеваем по у, но не по z, /!

19.8. Математическое построение решения

~>

19.8.1. Приступим теперь к построению оптимальных стратегий р2, т. е. решения, определяемого условием (19:В) из п. 19.7.

Предположим сначала, что всегда р > О х). Для такого z необходимо min у2- = у2; следовательно, у* у*, т. е.

Подстановка сюда выражений из (9:9:а*), (19:9:b*) дает

Z 1 1

(19:11) (а-Ь) ( \ pji&i- J pjid) +26 { pjufeO.

0 z z

Обозначим, далее, через z° верхний предел тех z, для которых р£ > 0 2).

Тогда в силу непрерывности неравенство (19:11) справедливо также и для

z = z°. Поскольку для Zi > z° не может иметь места неравенство pf1 >*0

(по предположению), интеграл £ р2* cfei в (19:11) равен нулю. Поэтому

можно поставить перед ним знак + вместо знака - , тогда из (19:11) мы получаем

{а-Ь)\ p?dZi + 2b j pjidzO.

О zo

Но по предположению р21 всегда Ои иногда >0; следовательно, первое слагаемое всегда3 4) >0. Понятно, что второе слагаемое ;>0. Таким образом, получено противоречие, т. е. мы показали, что 5)

{19:12) р*-0.

19.8.2. Исключив / = 2, проанализируем теперь связь между / = 1 и у = 3. Поскольку pf = 0, должно быть р2 + р = 1, т. е.

(19:13) P5=l-tf,

и, следовательно,

(19:14) Opfl.

г) То есть что рассматриваемая оптимальная стратегия осуществляется при 7 = 2, т. е. при низкой ставке с последующим (предполагаемым) раскрытием при определенных условиях.

2) То есть наибольшее z°, для которого справедливо неравенство р > 0 при z, сколь угодно близких к 2° (мы не требуем выполнения неравенства pf > 0 для всех z<z°). Такое 2° заведомо существует, если .существует z, для которого р > 0.

3) Конечно, а - Ъ > 0.

4) Нет необходимости, по-видимому, прибегать к детальным и точным положениям теории интегрирования, меры и т. д. Мы предполагаем, что наши функции достаточно гладки, и поэтому положительная функция имеет положительный интеграл И т. д. Не составляет труда дать строгое обоснование, если воспользоваться упомянутыми выше математическими теориями.

5) Читателю следует переформулировать это словесно. Мы исключили низкие ставки с последующим (предполагаемым) раскрытием посредством анализа условий для гипотетического верхнего предела раскладов, для которых они могли бы быть сделаны, и показали, что для случаев, по крайней мере близких к таким, предпочтительнее сразу высокая ставка. Это обусловлено, конечно, нашим упрощением, которое запрещает переторговывание .