Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [ 66 ] 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

Далее, на интервале 0 z 1 могут существовать подинтервалыг для которых всегда pf = О или всегда р* = 1 х). Всякое z, не принадлежащее ни одному из подинтервалов такого типа, т. е. вблизи которого справедливо как pf Ф О, так и pf Ф 1, мы будем называть промежуточными. Поскольку из pf == 0 или из pf == 1 (т. е. из pf Ф 0) вытекает, что minyf =

= yf или Yf соответственно, мы видим, что вблизи любого промежуточного z выполняется как неравенство yf yf, так и неравенство yyf Следовательно, для таких z в силу непрерывности мы имеем 2) у\ = у, т. е*.

Подставляя (19:9:а*), (19:9:с*) и вспоминая (19:12), (19:13), мы получаем:

2 1 1

(а + 6) j pji dz± - (а - 6) j р? dz4 + 26 j (1 - pji) dz* = 0,

0 2 2

т. е.

(19:15) (a+ 6) ( j pf1- ( pj1) + 26(1 -z)=0.

Рассмотрим теперь два промежуточных z, z . Подставляя в (19:15) z = zr и z = z и вычитая, мы получим

2(a + b) j pfidz4 - 26(z - z) = 0;

отсюда

(19:16) F=FjpP&i = ST?-

Словесно это означает, что между двумя промежуточными ъ1 и z среднее-

значение р\ равно -р .

Далее, ни одно из тождеств pf = 0 и pf = 1 не может выполняться на всем интервале

zzz ,

поскольку среднее значение было бы тогда равно 0 или 1. Следовательно, этот интервал должен содержать еще хотя бы одно промежуточное z, т. е. между любыми двумя промежуточными z лежит хотя бы одно третье промежуточное z. Повторение этих рассуждений показывает, что между двумя промежуточными z и z другие промежуточные z лежат всюду плотно. Поэтому z и z , для которых выполняется (19:16), лежат всюду плотно* между z и z . Но тогда в силу непрерывности соотношение (19:16) должно* иметь место для всех z, z 3) между z и z . Это не оставляет иной возможности, кроме как утверждать, что р\ = всюду между z и z .

г) То есть когда стратегия предписывает игроку делать всегда высокую ставку либо всегда делать низкую ставку (с последующим пасованием).

2) Величины у\ определяются интегралами (19:9:а*), (19:9:Ь*), (19:9:с*); поэтому они заведомо непрерывны.

3) Интеграл в (19:16), конечно, непрерывен.



Замечание. Очевидно, при этом допускаются изолированные исключения составляющие область z меры 0, т. е. область общей нулевой вероятности (например, конечное число фиксированных значений z). Они не влияют на интегралы. Легко провести точное математическое рассуждение, но, по-видимому, оно здесь не требуется (см. сноску 4 на стр. 221). Таким образом, наиболее простым будет, по-видимому г

предположение, что pf = в интервале z z z , без каких бы то ни было

исключений.

Это следует иметь в виду при рассмотрении формул на следующих страницах где, с одной стороны, имеется интервал ъ z z h, с другой стороны, интервалы О < z <с z и z <С ъ 1. Иначе говоря, точки, z и z отнесены к первому из названных интервалов. Это, конечно, не является существенным: две фиксированные изолированные точки - в данном случае z и z - можно рассмотреть произвольным, образом (см. выше).

Читатель должен заметить, однако, что, в то время как при сравнении между собой значений z нет существенных , различий между случаями << и , для у2- дело* обстоит иначе. Мы видели, что из неравенства yf > Уз вытекало pf = 0. Однако из неравенства yf = Уз аналогичных заключений сделать нельзя. (Ср. также обсуждение рис. 25 и рис. 28, 29.)

19.8.3. Далее, если промежуточные z существуют, то существуют также наименьшее и наибольшее среди них; обозначим их через z, z Мы имеем:

(19:17) pz==-р. всюду в zfzz\

Если промежуточных z нет, то должно быть pf == 0 (для всех z) или pf = 1 (для всех z). Легко видеть, что ни одно из них не является решением *). Поэтому промежуточные z заведомо существуют, а с ними существуют и V, z , так что формула (19:17) справедлива.

19.8.4. Левая часть в (19:15) равна у* - у* при всех z; следовательно, для z = 1 мы имеем

У1-У\ = (а + Ъ) Jp?tfei>0

(поскольку случай pf1 = 0 исключен). В силу непрерывности неравенство* Уз ~~~ 7i > 0 или yl <С 7з остается справедливым даже при значениях z, близких к 1. Тогда для этих z будет pf. = 0, т. е. pf =1. Таким образом, из (19:17) с необходимостью вытекает, что z <С 1. Далее, пусть в интервале z z 1 не существует промежуточных z; тогда во всем этом интервале мы имеем pf = 0 или же pf = 1. Первую из этих возможностей наши предыдущие результаты исключают. Следовательно,

(19:18) = 1 всюду в ?z<;l.

19.8.5. Рассмотрим, наконец, нижнюю границу z в (19:17). Если z > 0, то мы имеем интервал 0 z z. Этот интервал не содержит

х) Иначе говоря, ни высокая ставка, ни низкая ставка (с последующим пасованием) не будут при всех условиях оптимальными стратегиями.

Математическое доказательство. Пусть pf = 0. Находим: Y? = - Ь, Уз = +&; следовательно, у? < УЬ что противоречит р = 1 Ф 0. Пусть pz = 1. Находим: у\ = а, уЕ = Ь; следовательно, yl < Y? что противоречит pf = 1 Ф 0~



промежуточных z; следовательно, мы имеем в интервале 0 :g z :g z либо всюду pf s== 0, либо всюду pf = 1. Первая производная от у% - -yf, т. е. от левой части (19jl5), равна, очевидно, 2 (а + 6) pf - 26. Поэтому в интервале 0 z < z эта производная равна 2 (а + 6)-О - 26 = -26 < <0, если pf = 0, и 2 (а + 6)-1 - 26 = 2а >J3, если pf = 1; таким образом, разность у* - yf в интервале 0 rg z < z или монотонно убывает, или монотонно возрастает. Поскольку на правом конце (промежуточная точка z) ее значение равно нулю, мы имеем соответственно у\ - у\> О или < 0, т. е. соответственно Yf < 4l или Tf > Vl ВСЮДУ на интервале О fg z <С z. Тогда из первого неравенства мы заключаем, что в интервале О rg z < z должно быть pf = 0, pf = 1, а из последнего, что pf == 0. Но вначале мы предположили, что на этом интервале соответственно pf == 0 или pf = 1. Таким образом, в каждом из случаев получено противоречие.

Следовательно,

(19:19) ? = 0.

19.8.6. Теперь для определения z воспользуемся тождеством (19:15), лодставив туда промежуточное z = z = 0. Мы получаем

Но (19:17), (19:18), (19:19) дают 1

(а + Ь) j pfidz1 + 2b==0,

Таким образом, мы имеем

,1 а - 2Ъ 1--rrZ

a-\-b a-\-b

а - л 2b а - b Z = 1

т. е.

(19:20) , ?==-

Воспользовавшись (19:17), (19:18), (19:19), (19:20), получаем

для Org zgi-,

<19:21) рг=<

1 для -<С z = 1

Вместе с (19:12), (19:13) это полностью описывает стратегию.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [ 66 ] 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227